М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Вариационное исчисление (Задачи и упражнения), страница 14

Х (у! = ~ у'(1+ хгу')с[х; у( — 1)=у(2)=1. -1 а 162. У [у) = ) (1 — е а ) г[х; а у (0) = О, у (а) = Ь (а > О, Ь > 0). а 163. У [у] = ) (бу' — ум + уу') г]х; а у (0) = О, у (а) = Ь (а > О, Ь > 0). 3 а м е ч а н и е. Достаточное условие экстремума по второй вариации. Неотрицательность второй вариации необходима, но не достаточна для того, чтобы функционал т'[у] достигал иа данной кривое минимума. П р им е р 10.

Рассмотрим функционал т'[у] = ~(у'(х) [х — у (х)] ох в пространстве С(0, 1). Уравнение Эйлера имеет вид гт — — О или у = О. Вторая вариация функционала на экстремали у = О, 0<х<1 1 й'Х [О, бу] ~ (бу)' Ы» о положительна для каждой бу чь О. Однако функционал т [у] прн. нимает в любой онрестностя нуля и отрицательные значения; достаточно прк заданном е > 0 взять функцию — к+е, 0<х<е, уа(х) = О, х>е. е' Тогда 1[уз]= — — <О для любого е>0. О $ В) ' ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА )О! Определение.

Квадратичный функционал йт(й), заданный в некотором нормированном пространстве, называется сил!- но положительным, если существует такое постоянное Ф ) О, что 4,2(Ь) )й !!А([т для всех й. Достаточное условие минимума. Для тово ~!тобь! функционал У [у), определенный в нормированном пространстве, имел в стационарной точке у = уь минимум, достато тно, чтобы при у = уь его вторая вариация была сильно положительна, т, е, чтобы выполнялось условие бтг' [уа бу[ ) й [[ бу [~2, еде й = сопз(, й > О.

4'. Пусть ищется экстремум функционала т'[у1, ут ", ун[= х, = ) Р(х, уп у, ..., у„, у,, уг, ..., у„) дх, (4) х, зависящего от и функций у, (х), у, (х), ..., у„(х) прн граничных условиях Уа (хо) =Уев Уа(х!) =УМ (й = ! 2 ° и) (б) Усиленным условиел! Лежандра называется требование выполнения неравенств Ра,а, >О, Р ° , Р ° ° ... Р ° Еи"1 Вн"2 Енуи во всех точках рассматриваемой экстремалн функционала (4).

Усиленным услоаием Якоби называется требование, чтобы отрезок [хь, х![ не содержал точки, сопряженной с точкой хь. Усиленное условие Лежандра (6) в соединении с усиленным условием Якоби обеспечивают существование по крайней мере слабого мивимума функционала (4), Р °, Р Е!Е1 В!Е2 Р,, Р Е2Е! В2Е2 Р ° ° Р ° ° ... Р ,, "1'!! Е!Е2 "!Ев Р ° , Р ° , ...

Р ,, > О, ..., Узе! азиз аза„ > О (О) (гл. и ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦ1ЛОНАЛОИ П р и м е р 11. Исследовать на экстремум функционал Х[р, г]= ~ (у' +г' ) йх, о у (О) = О, г (О) = О, ~ у (1) = 1, г (!) 2. (7) (8) Рещение. Уравнения Эйлера для функционала (7)1 на=О, г"=О, так что у (х) = Сг + С,х, г (Х) = Сз + СлХ.

Используя условия (8), получим Сг=О, Сз=1, С3=0, Сл=2, Искомая зкстремаль у (х) =х, г (х) = 2х (9) есть прямая, проходящая через начало координат. Имеем с ° = 2. а'г' ~;я,=О, Усиленное условие Лежандра выполняется. [с з'д' " з'*' [ 1 2 0 Проверим теперь выполнимость усиленного условия Якоби. Одно из определений сопряженной точки таково (см, [3]). Пусть имеем семейство зкстремалей функционала (4), выходящих из начальной точки (хи уы, ..., уча) под близкими между собой, но линейно независимыми направлениями.

Точка х* щ [хи хг] называется сопряженной с точкой хл, если существует последовательность экстремалей, выходящих из начальной точки и кан угодно близких к данной экстремалн, такая, что каждая из этих экстремален пересекает данную зкстремаль и абсциссы точек пересечения сходятся к точке х*. В данном примере экстремалями являются прямыс (9). Все экстремали, выходящие иэ точки (О, О, 0), пересекают экстремаль (9) только я этой точие. Следовательно, отрезок [О, Ц изменения х не содержит точки, сопряженной с точкой хл = О.

Таким абразом, выполнены и усиленное условие Лежандра и усиленное условие Якоби, так что экстремаль (9) доставляет фуакционалу (7) слабый минимум. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ (оз 9 9. Условный экстремум рд Изопериметрнческая задача. Пусть даны две функции Е (х, у, у') 6 (х, у, у'). Ореди всех кривых у = у(х) ~а Сг [ха,хл], вдоль которых функционал К[у1= ) 6 (х, у, у') с(х «л принимает заданное значение 0 определить ту, дли которой функционал х! л [у] = ) р(х, у, у') ух «, принимает экстремальное значение.

Относительно функций Е и 6 предполагаем, что они имеют непрерывные частные производные первого и второго порядков при хэ» х» х~ и при произвольных значениях перелгенных у, у. Теорем а Эйлер а. Если кривая у = у(х) дает экстремум функционалу У [у] = ) Г (х, у, у') г(х «л при условиях «, К [у] = ( 6 (х, у, у') сгх = й у (хч) = уэ у (хг) = уп (2) и если у = у(х) не является экстрелгалью функционала К, то существует константа ь такал, что кривая у = у(х) есть Исследовать ка экстремум следующие фуккцко- налыг 1 164. У(У(х), г(х))= ) 'У'1 [ улэ [ г" агх, о у(0)=0, у(1)=2, г(0)=0, г(1)= 4. ! 165.

э'[у(х), г(х)1= ) (у' + г' + 4г)с(х, о д (0) = 0„ д (1) = 1, г (0) = О, г (1) = О. )гл. и эдстррыул! ФункциОнАлОВ аксгрелаль функционала х, Е ~ (Р (х, у, у') + ХО (х, у, у')] Дх. (3) хз П р и мер 1. (Задача Дидоны.) Среди замкну|ых кривых планы 2! найти ту, которая ограничивает наибольшую плошадь. Р е ш е н и е. Заметим прежде всего, что рассматриваемая кривая должна быть выпуклой. В свмом деле, в противном случае существовала бы прямая !.

(рис. !б) такая, что если зеркально отразить в ней кусок границы ВСО, то получим область большей плошади, чем первоначальная, при то!! же длняе гра. ницы. Рис. 16. 1(алев заметим, что всякая прямая, которая делит пополам замкнутую кривую, ограничивающую наибольшую плошадь, будет делить пополам н саму эту площадь. В самом деле, допустим противное и пусть прямая Ь не обладает этим свойством.

Отразив тогда зернально около !.г ту часть фигуры, которая имеет ббльшую площадь, мы получили бы кривую той же длины, но ограничивающую ббльшую площадь. Выбирая за ось Ох любую из прямых, делящих кривую пополам, приходим к следующей постановке задачи. Найти линию у = у(х), у( — а) = у(а) = О, которая при заданной длине ! ) 2а ограничивает вместе с отрезком — а~х(а оси Ох наибольшую площадь. Таким образом, задача свелась к разысканию экстремума функционала !]у(х)]= ] у(х) гаях, у( — а) =у(а) =О, (4) а при дополнительном условии, что а у(]у(х)] ~ )г !+у' (х)Нх ! (!>2а), (5) и УСЛОВНЫН ЭКСТРЕМУМ 105 Составляем вспомогательную функцию Н=Р+ЛО у(Х)+Л гух1+у" (Х) н рассматриваем вспомогате,тьный функционал (7) Уравнение Эйлера для функционала (7) имеет внд откуда Разрегнан последнее уравиегпге относительно у', находим агу х+ С, Нх )Глг — (х+ С,)г Интегрируя уравнение (8), получим (х+ С,Р+(у+С,Р=Лг — окружность радиуса Л с центром в точке (-Сь — Сг).

Постоянные Сг, Сг и параметр Л определяем из граничных условий у( — а) = у(а) = О и иаопернметрического условия (5). Имеем С, =Р Лг:аг, с,=о, у = )гЛг хг — У'Лг Тогда условие (5) дает или откуда так что а Л ~ Н(х, у, у') ах. -а ~(ух!+у' ) х+ С,. Лу' )/!+ у' Сг Лг — (С, — а)а, Са = Л вЂ” (С ! + а), х и )/"Лг ха а Лг!х .

х!к а, а = Л агсг(п — ~ = 2Л агсг!и— 'ггЛ' — хг к -а а . ! — а!п —. Л 2Л' ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. И <00 Решая это трансцендентное относительно Л уравнение, находим некоторое значение Л = Ль, а затем находим величину Сг = тггуз з а Нетрудно заметить, что уравнение — =з[п — всегда имеет Л 2Л решение. Действительно, полагая — = <, сведем это уравнение 2Л 2а 2а к виду з<п < = — й где в силу условия задачи — = ач. <.

Функция у = з<п < имеет в точке < = 0 наклон касательной 4 ' а функция у = а< имеет меньший наклон. Слсдователыю, графики этих функций имеют, кроме точки 0(0,0), еще по крайней мере одну точку пересечения. Закон взаимности изолгриметричесхих задач. Экстремали функционала г' (у (х)) = ) р (х, у, у') йх хь при дополнительном условии К (у (х)) ~ О (х, у, у ) йх — сопз< х, х=х(<), (х(<,) =х(<,)), '( у=у([), (у(<)=у(< И )' т ~~<(г есть уравнения произвольной замкнутой линии.

Вопрос сводится к разысканию экстремума функционала (хт+ уг)'й й, при условии (ху — ух) йх = С. Вводя в рассмотрение функцию г = (ха + уг) [ь + Л (ху — ух), совпадают с экстремалямц функционала К(у(х)) прн условии г (у(х)) = сопз<, С помощью закона взаимности из задачи )<илоны получаем следующий результат: среди эсех замкнутых линий, ограничивающих заданную ллои<адь, линией минимальной длины является окружность. Этот результат легко получить непосредственно, если воспользоваться параметрической формой вариационной задачи. Пусть )бу й ч] УСЛОВНЫР! ЭКСТРЕМУМ получаем (см. стр.

64), что для кривой, дающей экстремум, 1 криввзна — постоянна: г 1 — = Л. г Вначит. искомая энстремаль — окружность. С помощью закона взаимности могут быть решены без всяких вычислений некоторые «вариациоиные» задачи элеыеитарной геометрии. П р им ер 2. Показать, что; 1) нз всех треугольников, имеющих заданное основание и заданный периметр, наибольшую плошадь имеет равнобедренный треугольник; 2) прн заданной площади и заданном основании равнобедренный треугольник имеет наименьший периметр. Р е ш е н и е.