Т.П. Лукашенко - Лекционный курс, страница 9

Разбиения Tк ним сильную лемму Колмогорова – Сакса – Хенстока:Z 4εX X f dx 6 ,f (ξi ) ∆i ∩ ∆′j − (M)9ij ∆i ∩∆′jZ 4εXX′ ′f dx 6 .f ξj ∆i ∩ ∆j − (M)9ij ∆i ∩∆′jПриступаем к оценке разности интегральных сумм от функции |f |. Нам понадобится известное неравенствоо том, что ||a| − |b|| 6 |a − b|.

Оно становится очевидным, если на комплексной плоскости нарисовать два кругас центрами в нуле и радиусами |a| и |b|: тогда справа будет стоять расстояние между двумя точками с разныхокружностей, a слева — минимальное из таких расстояний, a именно разность радиусов окружностей. Итак, X XXXXX′ ′ ′′ ′ ′|f (ξi )| |∆i | −f ξj ∆j = |f (ξi )| ∆i ∩ ∆j −f ξj ∆i ∩ ∆j =|σ (f, T) − σ (f, T )| = i j ijji X X XXX X |f (ξi )| − f ξj′ ·∆i ∩ ∆′j 6f (ξi ) − f ξj′ ·∆i ∩ ∆′j =|f (ξi )| − f ξj′ · ∆i ∩ ∆′j 6= i jijijZXX X X ′′′′f (ξi ) ∆i ∩ ∆j − f ξj ∆i ∩ ∆j 6=f dx +f (ξi ) ∆i ∩ ∆j − (M)ijij ∆i ∩∆′jZX X 4ε 4ε′ ′ +f dx − f ξj ∆i ∩ ∆j 6+<ε (M)99ij ′∆i ∩∆jТаким образом, критерий Коши выполняется, и интегрируемость доказана. Неравенство на интегралы доказывается так же, как и для интегралов Римана и вообще по любой базе:ZbZb (M) f dx = lim |σ (f, T)| 6 lim σ (|f | , T) = (M) |f | dx BMBMaaТеорема доказана.k+1 kПример.

Функция f (x), которая равна (−1)2 /k при x ∈ 2−k , 2−k+1 , интегрируема по Курцвейлю –∞Pk+1Хенстоку на [0, 1], и интеграл равен(−1)/k. Это доказывается через непрерывность неопределенногоk=1интеграла и формулу Ньютона – Лейбница. Однако из только что доказанной теоремы следует, что интеграла∞Pв смысле Мак-Шейна не существует, поскольку ряд1/k расходится.k=1288. Интегралы Стилтьеса.Пусть действительнозначные или комплекснозначные функции f и g определены на отрезке [a, b].Определение. Интегральной суммой функции f по функции g, соответствующей отмеченному разбиениюT = {(∆i ; ξi )}, называется выражениеXσ (f dg, T) =f (ξi ) g (∆i )iОпределение.

Функция f интегрируема на [a, b] по функции g в смысле Римана – Стилтьеса и I — ееинтеграл, если для любого ε > 0 найдется такое число δ > 0, что для любого разбиения T = {(∆i ; ξi )} Хенстокаотрезка [a, b] мельче δ выполняется оценка |σ (f dg, T) − I| < ε.В этом случае пишутZb(R − S) f dg = I.aОпределение. Функция f интегрируема на [a, b] по функции g в смысле Мак-Шейна – Стилтьеса и I — ееинтеграл, если для любого ε > 0 найдется такой масштаб δ (x) на [a, b], что для любого разбиения T = {(∆i ; ξi )}Мак-Шейна отрезка [a, b], согласованного с δ (x), выполняется оценка |σ (f dg, T) − I| < ε.В этом случае пишутZb(M − S) f dg = I.aОпределение.

Функция f интегрируема на [a, b] по функции g в смысле Римана – Стилтьеса и I — ееинтеграл, если для любого ε > 0 найдется такой масштаб δ (x) на [a, b], что для любого разбиения T = {(∆i ; ξi )}Хенстока отрезка [a, b], согласованного с δ (x), выполняется оценка |σ (f dg, T) − I| < ε.В этом случае пишутZb(H − S) f dg = I.aЯсно, что интегралы Римана, Мак-Шейна и Курцвейля – Хенстока являются частными случаями соответствующих интегралов Стилтьеса при g (x) ≡ x.

Также ясно, что(R − S)Zbf dg = lim σ (f dg, T) ,Zbf dg = lim σ (f dg, T) ,Zbf dg = lim σ (f dg, T) .BRa(M − S)BMa(H − S)BHaОбратите внимание на то, что никаких новых баз мы не вводим. Интегралы Стилтьеса отличаются от обычных только структурой интегральной суммы, a предел берется по тем же самым базам.29Из этих утверждений сразу же выводятся знакомые свойства.Утверждение 1. (о взаимосвязи интегралов Стилтьеса)Если функция f интегрируема по функции g в смысле Римана – Стилтьеса или Мак-Шейна – Стилтьеса, тоf интегрируема по g и в смысле Курцвейля – Хенстока – Стилтьеса с тем же значением интеграла.Доказательство.Здесь, как и раньше, все следует из свойств пределов по базам. Заметим, что и тут мы не утверждаем, чтоиз интегрируемости по Риману – Стилтьеса следует интегрируемость по Мак-Шейну – Стилтьеса.Утверждение доказано.Утверждение 2.

(о линейности по функциям)Если функция f интегрируема по функции g в одном из трех смыслов (Стилтьеса, разумеется; дальше небудем упоминать явно, если и так понятно), то для любого числа λ функция λf интегрируема по g в том жесмысле, a так же f интегрируема по λg в том же смысле и выполняется равенствоZbλf dg =aZbf dλg = λ ·aZbf dg.aЕсли функции f1 и f2 интегрируемы по g в одном из трех смыслов, то функция f1 + f2 тоже интегрируемапо g в этом смысле и выполняется равенствоZb(f1 + f2 ) dg =aZbf1 dg +aZbf2 dg.aЕсли функция f интегрируема по функциям g1 и g2 в одном из трех смыслов, то f интегрируема и по g1 + g2в этом смысле и выполняется равенствоZbf d (g1 + g2 ) =aZbf dg1 +aZbf dg2 .aДоказательство.Все, как обычно, следует из “билинейности” интегральной суммы по обоим функциям:lim σ (λf dg, T) = lim σ (f dλg, T) = λ · lim σ (f dg, T) ,BBBlim σ ( (f1 + f2 ) dg, T) = lim σ (f1 dg, T) + lim σ (f2 dg, T) ,BBBlim σ (f d (g1 + g2 ) , T) = lim σ (f dg1 , T) + lim σ (f dg2 , T) .BBBУтверждение доказано.Утверждение 3.

(о сохранении неравенств)Если f (x) 6 h (x) на отрезке [a, b], g – неубывающая функция на [a, b], и функции f и h интегрируемы пофункции g на [a, b], возможно, в разных смыслах, то выполняется неравенствоZbf dg 6aZbh dg.aДоказательство.Zbf dg = lim σ (f dg, T) 6 lim σ (hdg, T) =BHBHaZbh dgaКак и в прошлый раз, все сводится к интегралу Курцвейля – Хенстока – Стилтьеса. Условие, что функцияg — неубывающая, нужно, когда утверждаем, что σ (f dg, T) 6 σ (hdg, T).Утверждение доказано.30Утверждение 4. (критерий Коши)Функция f интегрируема по функции g на отрезке [a, b] в смысле Римана – Стилтьеса тогда и только тогда,когда f и g определены на [a, b] и для любого ε > 0 найдется такое число δ > 0, что для любых двух разбиенийT и T′ Хенстока отрезка [a, b] мельче δ выполняется оценка |σ (f dg, T) − σ (f dg, T′ )| < ε.Функция f интегрируема по функции g на отрезке [a, b] в смысле Мак-Шейна – Стилтьеса тогда и только тогда, когда f и g определены на [a, b] и для любого ε > 0 найдется такой масштаб δ (x) на [a, b], чтодля любых двух разбиений T и T′ Мак-Шейна отрезка [a, b], согласованных с δ (x), выполняется оценка|σ (f dg, T) − σ (f dg, T′ )| < ε.Функция f интегрируема по функции g на отрезке [a, b] в смысле Курцвейля – Хенстока – Стилтьеса тогда и только тогда, когда f и g определены на [a, b] и для любого ε > 0 найдется такой масштаб δ (x) на[a, b], что для любых двух разбиений T и T′ Хенстока отрезка [a, b], согласованных с δ (x), выполняется оценка|σ (f dg, T) − σ (f dg, T′ )| < ε.Доказательство.Ну тут доказывать нечего, мы просто привели критерий Коши существования пределов по нашим базамв соответствие с действующими определениями.Утверждение доказано.Утверждение 5.

(интегрируемость на подотрезках)Если функция f интегрируема по функции g на отрезке [a, b] в каком-либо смысле, то f интегрируема по gи на любом подотрезке [a′ , b′ ] ⊆ [a, b] в том же смысле.Доказательство.В точности повторяет доказательство для обычных интегралов, с заменой σ (f, T) на σ (f dg, T) (проверьте!).Утверждение доказано.Утверждение 6. (аддитивность по отрезку)Если функция f интегрируема по функции g в смысле Римана – Стилтьеса на отрезке [a, b], на отрезке [b, c],и еще на отрезке [a, c], то выполняется равенство bZcZZcf dg =  +  f dg.aabЕсли функция f интегрируема по функции g на отрезке [a, b] и на отрезке [b, c] в смысле Мак-Шейна –Стилтьеса или Курцвейля – Хенстока – Стилтьеса, то f интегрируема по g на отрезке [a, c] в том же смыслеи выполняется то же равенство.Доказательство.Для интегралов Мак-Шейна – Стилтьеса и Курцвейля – Хенстока – Стилтьеса доказательство в точностиповторяет доказательство для обычных интегралов.

A для интеграла Римана – Стилтьеса доказательство непроходит: например, если f (x) = χ(0,1] (x) и g (x) = χ[0,1] (x), то интеграл от f по g существует как на [−1, 0],так и на [0, 1], но не на [−1, 1]. Так что формулировка становится слабее, a доказательство проще.Обозначим через Bb базу, элементы которой Bδb (где δ > 0) состоят только из тех разбиений Хенстока соответствующего отрезка мельче δ, у которых точка b не является внутренней точкой ни одного из отрезковразбиения.

Очевидно, что это действительно база, и что если интеграл существует по базе Римана, то он существует и по Bb , и значение интегралов совпадают. Теперь пусть T — любое разбиение отрезка [a, c], такое, чтоточка b не является внутренней точкой ни одного из отрезков разбиения. В этом случае разбиение T распадаетсяв объединение разбиений T1 ⊔ T2 , гдеT1 = {(∆i ; ξi ) ∈ T : ∆i ⊆ [a, b]} ,T2 = {(∆i ; ξi ) ∈ T : ∆i ⊆ [b, c]} .Тогдаσ (f dg, T1 ) −→ (R − S)BbZbf dg,σ (f dg, T2 ) −→ (R − S)BbaZcb31f dg,σ (f dg, T) −→ (R − S)BbZcf dg.abЗначит, переходя к пределам по базе B в равенстве σ (f, T) = σ (f, T1 ) + σ (f, T2 ), получим то что надо.Утверждение доказано.329.