Т.П. Лукашенко - Лекционный курс, страница 6

Интегрирование функций, определенных почти всюду.Докажем теперь полезное утверждение о том, что значение функции на множестве меры нуль не влияет наинтегралы Мак-Шейна и Курцвейля – Хенстока.Лемма.Если функция f определена на [a, b] и f (x) = 0 почти всюду на [a, b], то f интегрируема на [a, b] по МакШейну и ее интеграл равен нулю.Доказательство.Возьмем любое ε > 0. Для всех i ∈ N введем обозначениеEi = {x ∈ [a, b] : i − 1 < |f (x)| 6 i} .Ясно, что ∀ i ∈ N µ∗ Ei = 0, поскольку их объединение E имеетпо условию меру нуль. Это означает, что длялюбого i ∈ N можно выбрать такую систему интервалов ℓij , j ∈ N, покрывающих Ei , сумма длин которых/ E,меньше, скажем, i·2ε i .

Возьмем масштаб δ (x), равный, например, единице (хотя это и не важно), если x ∈a при x ∈ Ei потребуем только, чтобы Bδ (x) (x) лежало целиком в одном из интервалов ℓij , что приемлемо,поскольку x лежит в одном из этих интервалов, a интервал — множество открытое. Пусть T = {(∆i ; ξi )} —любое отмеченное разбиение отрезка [a, b], согласованное с δ (x). Оценка делается просто: ∞ X∞∞∞X XXXXXXεℓij  <i ·i ·|σ (f, T)| = f (ξi ) |∆i | = f (ξj ) |∆j | 6|∆j | 6i·=ε i · 2i i=1ii=1i=1ji=1ξj ∈Eiξj ∈EiЛемма доказана.Утверждение.Если функции f и g определены на отрезке [a, b], f = g почти всюду на [a, b], то f и g одновременно интегрируемы или не интегрируемы по Мак-Шейну (Курцвейлю – Хенстоку), и в случае интегрируемости значенияих интегралов равны.Доказательство.По предыдущей лемме имеем:(g − f ) ∈ M [a, b] , и (M)Zba17(g − f ) dx = 0.Поэтому если f ∈ M [a, b], то и g ∈ M [a, b], и выполняется равенство(M)Zbag dx = (M)Zbf dx + (M)aZb(g − f ) dx = (M)aZbf dx.aВ частности из этого следует, что если одна из функций неинтегрируема, то неинтегрируема и вторая, иначепроинтегрировалась бы первая.

Для интеграла Курцвейля – Хенстока все аналогично.Утверждение доказано.Это утверждение позволяет корректно определить интегралы Мак-Шейна и Курцвейля – Хенстока от функций, определенных лишь почти всюду.Определение. Функция f , определенная почти всюду на отрезке [a, b], интегрируема в смысле Мак-Шейна(Курцвейля – Хенстока) на [a, b], и ее интеграл равен I, если при некотором (а значит, и при любом) доопределении f на весь отрезок [a, b] получается интегрируемая в соответствующем смысле (по старому определению)функция, интеграл которой на [a, b] равен I.Замечание.Именно в этом смысле недавно понималась интегрируемость функции√1xна отрезке [0, 1].4.

Измеримые функции.4.1. Два определения измеримости функций.Определение 1. Функция f , определенная почти всюду на [a, b], называется измеримой на [a, b], если длялюбого ε > 0 найдется такая функция g, непрерывная на [a, b], что µ∗ {x ∈ [a, b] : f (x) 6= g (x)} < ε.Определение 2. Функция f , определенная почти всюду на [a, b], называется измеримой на [a, b], если длялюбого ε > 0 найдется такое множество E ∈ [a, b], что µ∗ E = 0 и f непрерывна на множестве [a, b]\ E по [a, b]\ E.Докажем эквивалентность определений.Ясно, что если функция f измерима по первому определению, то она измерима и по второму: достаточноположить E = {x ∈ [a, b] : f (x) 6= g (x)}.

Чтобы вывести из второго определения первое, и тем самым установитьэквивалентность определений, потребуются дополнительные утверждения.Лемма 1. (о структуре открытых множеств)Любое открытое множество на R представляется в виде дизъюнктного объединения не более чем счетнойсистемы интервалов (возможно, с бесконечными концами), концы которых не лежат в самом множестве.Доказательство.Пусть G ⊆ R — открытое множество. Если оно пусто, то утверждение очевидно, поэтому будем считать, чтооно не пусто.

Пусть x ∈ G. Тогда положимαx = inf {s ∈ R : [s, x] ⊆ G} ,βx = sup {s ∈ R : [x, s] ⊆ G} .Получаем, что x ∈ (αx , βx ) ⊆ G. Действительно, если αx < t < x, то в интервале (αx , t) найдется такое числоs, что [s, x] ⊆ G, откуда t ∈ G. Аналогично, если x < t < βx , то тоже t ∈ G, при этом мы брали x ∈ G, поэтомувесь интервал (αx , βx ) ⊆ G. При этом αx ∈/ G, поскольку иначе, так как множество G открыто, нашлась быокрестность точки αx , лежащая в G, что противоречило бы выбору αx . Аналогично, βx ∈/ G.Описанное построение можно произвести для всех точек множества G, причем построенные интервалы покрывают G, так как мы их строили вокруг каждой точки G. Любые два из построенных для разных точекинтервалов не пересекаются либо совпадают. Действительно, если (a, b) ∩ (c, d ) 6= ∅, то возьмем x ∈ (a, b)∩ (c, d ).Тогда a 6 c < x по построению (a, b), a c 6 a < x по построению (c, d ), поэтому a = c ; аналогично b = d.

Поэтому, взяв по одному интервалу из каждого класса равных друг другу интервалов, получим требуемое разбиениемножества G. Ну и, наконец, как уже отмечалось выше, множество непересекающихся интервалов не можетбыть более чем счетным, так как в каждом содержится рациональное число.Лемма доказана.18Лемма 2.Пусть F ⊆ R — непустое замкнутое множество, функция f определена на F и непрерывна на F по F .

Пустьмножество R \ F представляется (в смысле предыдущей леммы) в виде объединения интервалов (αi , βi ) , αi , βi ∈F . Доопределим f на конечных отрезках [αi , βi ] линейно, a на бесконечных — константами. Тогда получитсянепрерывная на R функция.Доказательство.На интервалах (αi , βi ) функция действительно непрерывна. В точках множества F она непрерывна по F поусловию. Остается показать, что f непрерывна на F по R.

Возьмем любое x ∈ F , и покажем, что f (x + 0) =f (x) и f (x − 0) = f (x). Причем второе утверждение аналогично первому, поэтому мы его не будем отдельнодоказывать. Если точка x является одной из αi 6= −∞, то требуемое утверждение следует из того, как мыдоопределяли функцию на соответствующем интервале. В противном случае можно утверждать, что ∀ δ >0 (x, x + δ) ∩ F 6= ∅.Теперь возьмем любое ε > 0. Так как f непрерывна на F по F , то найдется δ > 0, такое, что ∀ t ∈ Bδ (x) ∩F f (t) ∈ Bε (f (x)).

Поскольку (x, x + δ) ∩ F 6= ∅, найдется число γ ∈ (0, δ), такое, что x + γ ∈ F . Тогда,очевидно, для любого t ∈ (x, x + γ) имеем f (t) ∈ Bε (f (x)). Это и показывает, что f (x + 0) = f (x).Лемма доказана.Докажем теперь, что из второго определения измеримости следует первое. Действительно, возьмем любоеε > 0, и пусть E — то самое множество из определения 2. Поскольку его внешняя мера строго меньше ε, найдетсясистема {ℓi } интервалов, покрывающая Е , сумма длин которых меньше ε. Положим![G=ℓi ∪ (−∞, a) ∪ (b, +∞) .iТогда G — открытое множество, a F = R \ G — замкнутое. По определению, f непрерывна на F ⊆ [a, b] \ E.Пусть g — доопределенная c F на R по только что доказанной лемме функция f . Тогда g непрерывна на R, и[H = {x ∈ [a, b] : f (x) 6= g (x)} ⊆ℓi ,iпричем внешняя мера объединения меньше ε (его можно покрыть самим собой), значит и µ∗ H меньше ε.Эквивалентность определений доказана.4.2.

Интегрируемость ограниченных измеримых функций.Теорема 1. (об интегрируемости ограниченных измеримых функций)Если функция f определена, ограничена и измерима на отрезке [a, b], то f ∈ M [a, b].Доказательство.Поскольку f ограничена, есть такое число C, что |f | < C на [a, b]. Возьмем любое ε > 0. Поскольку fεизмерима, найдется такая функция g ∈ С [a, b], что µ∗ E < 8C, где E = {x ∈ [a, b] : f (x) 6= g (x)}. При этомможно считать, что g тоже ограничена тем же числом C: в конце концов, всегда можно срезать функцию gв тех точках, где она по модулю вылезает за C.

Выберем систему интервалов {ℓi }, покрывающую E, с суммойεдлин меньше вышеупомянутого 8C.Поскольку g непрерывна на [a, b], то она интегрируема на нем по Мак-Шейну. Пусть I — интеграл g на [a, b].Найдется такой масштаб δ0 (x) на [a, b], что для любого отмеченного разбиения T отрезка [a, b], согласованногос δ0 (x), будет верно неравенство |σ (g, T) − I| < ε/4. Построим новый масштаб δ (x), который будет совпадатьс δ0 (x) на [a, b] \ E, a на множестве E будет выбран так, чтобы для всех точек x ∈ E окрестность Bδ (x) (x)лежала бы целиком в одном из интервалов ℓi . Проверим критерий Коши для функции f .Пусть T и T′ — два отмеченных разбиения [a, b], согласованных с δ (x). Тогда|σ (f, T) − σ (f, T′ )| 6 |σ (f, T) − σ (g, T)| + |σ (g, T) − I| + |I − σ (g, T′ )| + |σ (g, T′ ) − σ (f, T′ )| .Второе и третье слагаемые уже меньше ε/4 каждое.

Два других слагаемых оцениваются одинаково, поскольку для любого отмеченного разбиения T = {(∆i ; ξi )} отрезка [a, b], согласованного с δ (x), X XXεε |σ (f, T) − σ (g, T)| = (f (ξi ) − g (ξi )) |∆i | = (f (ξi ) − g (ξi )) |∆i | 6 2C ·|∆i | < 2C ·= , 8C4iξi ∈Eξi ∈Eпоскольку все отрезки ∆i содержатся в интервалах ℓi и не перекрываются. Мы показали, что |σ (f, T) − σ (f, T′ )| <εεεε4 + 4 + 4 + 4 = ε. Выполнен критерий Коши интегрируемости.Теорема доказана.19Замечание.Условие ограниченности можно заменить следующим условием “существенной ограниченности”: функция f , определенная почти всюду на множестве E, называется существенно ограниченной на E, если найдется такая константа C,что |f (x)| 6 C почти всюду на E. Таким образом, если функция измерима на отрезке [a, b] и существенно ограниченана [a, b], то ее можно подкорректировать, доопределив нулем там, где она не определена, и изменив значение на 0 там,где оно по модулю больше С.