Т.П. Лукашенко - Лекционный курс, страница 10

Вариация. Функции ограниченной вариации.9.1. Два определения вариации.Определение 1. Пусть E — множество на R, D = {ai }ni=0 — любой конечный набор точек из E, занумерованный в порядке возрастания: a0 < a1 < · · · < an . Если функция f определена на E, то вариацией f на Eназывается величинаnnXXVar f = sup|f ([ai−1 , ai ])| = sup|f (ai ) − f (ai−1 )|ED⊆E i=1D⊆E i=1Определение 2. Пусть E — множество на R, Ω = {Ii } — не более чем счетная система неперекрывающихсяотрезков с концами в E.

Если функция f определена на E, то вариацией f на E называется величинаXVar f = sup|f (Ii )|EΩiДокажем эквивалентность определений.Временно будем обозначать вариации в смысле различных определений через, соответственно,Var (1) fVar (2) f.иEEВо-первых, если дано какое-то D = {ai }ni=0 , то обозначим Ii = [ai−1 , ai ]. Тогда станет ясно, чтоnX|f ([ai−1 , ai ])| =i=1X|f (Ii )| 6 Var (2) f.iEПоэтому то же выполнено и для точной верхней грани сумм, то естьVar (1) f 6 Var (2) f.EEВо-вторых: сначала рассмотрим случай, когда система Ω = {Ii } из второго определения конечна.

Пусть{ai }ni=0 — концы этих отрезков, расположенные как следует, по возрастанию. Тогда среди отрезков [ai−1 , ai ]содержатся все отрезки Ii , поэтомуX|f (Ii )| 6inX|f ([ai−1 , ai ])| 6 Var (1) f.Ei=1Но раз это неравенство выполнено для конечных сумм, то оно выполнено и для бесконечных, поскольку припереходе к пределу неравенства сохраняются. A теперь, переходя к точной верхней грани, получаем требуемоеутверждениеVar (2) f 6 Var (1) f.EEЭквивалентность определений доказана.Определение. Если вариация функции f на множестве E конечна, то функцию f называют функциейограниченной вариации, или VB-функцией, на E и пишут f ∈ VB (E).bababaaОпределение. Var f = Var f .

Var f = − Var f . Var f = 0.a[a, b]Пример. функция f (x) = x sin (1/x), f (0) = 0, непрерывная на отрезке [0, 1], не является на нем функциейограниченной вариацииP — несложно указать счетную систему отрезков, приращения на которых составляютрасходящийся ряд1/k.k∈N339.2. Свойства вариации.Утверждения.Пусть дано множество E ⊆ R, функции f и g определены на E.1.

Если H ⊆ E, то Var f 6 Var f .HE2. Если λ — любое число, то Var (λf ) = |λ| Var f (где 0 · ∞ = 0).EE3. Var (f + g) 6 Var f + Var g.EEE4. Если f ∈ VB (E), то f ограничена на E.5. Если f, g ∈ VB (E), то и f · g ∈ VB (E) и выполняется неравенствоVar (f · g) 6 sup |f | · Var g + sup |g| · Var f.EEEEE6. Если f ∈ VB (E), inf |f | = γ > 0, то 1/f ∈ VB (E) иEVarE116 2 Var f.fγ E7. Если f ∈ VB (E), ψ ∈ Lip (f (E)) с константой C, то ψ (f ) ∈ VB (E) иVar ψ (f ) 6 C Var f.EE8.

Если f ∈ VB ([a, b]), f ∈ VB ([b, c]), то f ∈ VB ([a, c]) иcbcaabVar f = Var f + Var f.Доказательства.Первые два утверждения ну совсем уж очевидны, поэтому оставим их в качестве упражнения и начнемдоказывать третье.3. Воспользуемся вторым определением вариации.Xi| (f + g) (Ii )| = |f (Ii ) + g (Ii )| 6 |f (Ii )| + |g (Ii )| ,XX| (f + g) (Ii )| 6|f (Ii )| +|g (Ii )| 6 Var f + Var g,iEiEоткуда наше утверждение и следует.4. Пусть x, x0 ∈ E (а если E пусто, то, очевидно, f ограничена на E), тогда имеем оценку|f (x)| 6 |f (x) − f (x0 )| + |f (x0 )| 6 Var f + |f (x0 )| .E5. Снова пользуемся вторым определением вариации, a так же четвертым утверждением. Оценим приращениефункции f · g на отрезке I = [α, β]:| (f · g) (I)| = |f (β) g (β) − f (α) g (α)| 66 |f (β) (g (β) − g (α))| + |g (α) (f (β) − f (α))| 66 sup |f | · |g (I)| + sup |g| · |f (I)| .EEТеперь воспользуемся этой оценкой для оценки самой вариации:X(f · g) (Ii ) 6 sup |f | · Var g + sup |g| · Var f,EEiEEи, как всегда, при переходе к верхним граням неравенство сохранится.6.

Для любого отрезка I = [α, β] снова имеем оценку: 1 (I) = 1 − 1 = f (α) − f (β) 6 |f (I)| . f (β) f (α) f (α) f (β) fγ2Значит, аналогично можно оценить и суммы, a значит и вариацию:X 1X1 (Ii ) 6 1|f (Ii )| 6 2 Var f.f γ2γ Eii347. Опять оцениваем приращение на I = [α, β]:|ψ (f ) (I)| = |ψ (f (β)) − ψ (f (α))| 6 C |f (β) − f (α)| = C |f (I)| .Значит, на суммы приращений имеем оценкуXX|ψ (f ) (I)| 6 C|f (Ii )| 6 C Var f.iEi 8.

Пусть {Ii } — какая-нибудь система неперекрывающихся отрезков на [a, b], Ij′ — система неперекрываю ′щихся отрезков на [b, c]. Тогда {Ii } ∪ Ij — система неперекрывающихся отрезков на [a, c], и получаем первоенеравенство:XXcf I ′ 6 Var f,|f (Ii )| +jiajbVar f +aXcf Ij′ 6 Var f,ajbccbaVar f + Var f 6 Var f.aТеперь, пусть {Ii } — какая-нибудь система неперекрывающихся отрезков на [a, c]. Если в ней нет отрезка,для которого b — внутренняя точка, тоX|f (Ii )| =iX|f (Ii )| +Ii ⊆[a, b]Xbcab|f (Ii )| 6 Var f + Var f.Ii ⊆[b, c]Если же b оказалась внутри, скажем, отрезка Ij , то заменим его на два отрезка Ij′ = Ij ∩ [a, b] и Ij′′ = Ij ∩ [b, c].При этом имеет место неравенство |f (Ij )| = f Ij′ + f Ij′′ 6 f Ij′ + f Ij′′ ,так что при такой замене сумма модулей приращений может только увеличиться. Но, поскольку мы приэтом пришли к уже рассмотренному случаю, она все равно не превзойдет того чего не надо:X|f (Ii )| 6iXi6=jbc |f (Ii )| + f Ij′ + f Ij′′ 6 Var f + Var fabЧто и требовалось: мы доказали неравенства в обе стороны, a значит и доказываемое утверждение.Утверждения доказаны.Замечание.Последнее утверждение остается в силе даже если не выполняется соотношение a < b < c.

Доказывается это переборомразличных взаимных расположений точек a, b и c.9.3. Представление VB-функций.Лемма.Если функция f определена на промежутке I, точка x0 ∈ I, то Var f — неубывающая функция на I.[x0 ,x]Если функция f к тому же действительнозначная, то неубывающими являются также функции Var f + f (x)[x0 ,x]и Var f − f (x).[x0 ,x]Доказательство.Если даны две точки x и y из промежутка I, x < y, то, очевидно,yxyx0xVar f − Var f = Var f > |f (y) − f (x)| > 0.x0При этом в действительнозначном случае для, например, первой функции, имеем аналогичную оценкуyxVar f + f (y) − Var f − f (x) > f (y) − f (x) + |f (y) − f (x)| > 0.x0x0Лемма доказана.35Утверждение.Действительнозначная функция f , определенная на интервале I, является на нем функцией ограниченнойвариации тогда и только тогда, когда f представляется на I в виде разности двух неубывающих ограниченныхфункций. При этом если функция f является-таки функцией ограниченной вариации, то можно подобрать такиенеубывающие ограниченные функции f1 и f2 на I, что f (x) = f1 (x) − f2 (x) иVar f = Var f1 + Var f2 .IIIДоказательство.Во-первых, покажем, что неубывающие ограниченные функции являются функциями ограниченной вариации.

Для этого воспользуемся первым определением вариации, в котором ввиду монотонности функций можноубрать модули:nX(f (ai ) − f (ai−1 )) = f (an ) − f (a0 ) .i=1Отсюда видно, чтоVar f = sup f − inf f.IIIЗначит, f ∈ VB (I). Поэтому и разность двух таких функций будет функцией ограниченной вариации, такчто в одну сторону утверждение доказано. Заодно мы написали явное выражение вариации для монотонныхограниченных функций, и в ближайшее время нам это понадобится. Еще можно отметить, что если α и β —концы промежутка I, то((f (α) , α ∈ I;f (β) , β ∈ I;inf f =sup f =If (α + 0) , α ∈/ I.f (β − 0) , β ∈/ I;IТеперь докажем обратное утверждение. Возможность представления следует из леммы: если x0 ∈ I, тоxxxxf (x) = Var f + f (x) − Var f = Var f − Var f − f (x) .x0x0x0x0А еще можно записать так:f (x) =12xx1Var f + f (x) −Var f − f (x) .x02 x0Проверим, что в последней записи сумма вариаций этих двух функций действительно равна вариации f .Действительно,xxxVar Var f ± f (x) = sup Var f ± f (x) − inf Var f ± f (x) =Ix0Iβ (− 0)=x0!Var f ± f (β (− 0))x0Ix0!α (+ 0)−Var f ± f (α (+ 0))x0= Var f ± f (β (− 0)) − f (α (+ 0)) .IЗначит, при сложении плюсминусы сократятся и получится Var f .IУтверждение доказано.36=10.

И еще несколько теорем об интегралах.10.1. Интегрируемость непрерывных функций по VB-функциям.Лемма.nЕсли {∆i }i=1 — разбиение отрезка [a, b], отрезок [c, d ] ⊆ [a, b], то для любой функции f , определенной на[a, b], имеем равенствоnXf ([c, d ]) =f ([c, d ] ∩ ∆i ) .i=1Доказательство.Обозначим ∆ = [c, d ] и ∆i = [ai−1 , ai ].

Без ограничения общности можно считать, чтоa = a0 < a1 < · · · < an = b.Найдутся такие числа k и l, что ak−1 6 c < ak и al−1 < d 6 al . В этом случае невырожденными отрезкамибудут (только) отрезки[c, ak ] , ∆k+1 , . . . , ∆l−1 , [al−1 , d ] .Теперь проводим простую выкладку:f (∆) = f (d) − f (c) = f (ak ) − f (c) +l−1X(f (ai ) − f (ai−1 )) + f (d) − f (al−1 ) =i=k+1= f (∆ ∩ ∆k ) +l−1Xf (∆ ∩ ∆i ) + f (∆ ∩ ∆l ) =nXf (∆ ∩ ∆i )i=1i=k+1Лемма доказана.Теорема 1. (интегрируемость непрерывных функций по функциям ограниченной вариации)Если f ∈ C [a, b], a g ∈ VB [a, b], то f интегрируема по g на отрезке [a, b] в смысле Римана – Стилтьеса и МакШейна – Стилтьеса, и, следовательно, в смысле Курцвейля – Хенстока – Стилтьеса, и имеет место оценка bZb f dg 6 max |f | · Var g. [a, b]aaДоказательство.Поскольку f непрерывна на [a, b], f равномерно непрерывна на [a, b].

Поэтому, зафиксировав любое числоε > 0, можем взять такое число δ > 0, чтобы для любых двух точек x, x′ ∈ [a, b], находящихся на расстоянии|x − x′ | < δ, выполнялась оценкаε|f (x) − f (x′ )| < b .Var ga ′ ′ ′Проверим критерий Коши. Пусть T = {(∆i ; ξi )} и T = ∆j ; ξj— два отмеченных разбиения Хенстока(Мак-Шейна) мельче δ (согласованных с δ (x) ≡ δ). Оцениваем разность интегральных сумм.XX′′′ |σ (f dg, T) − σ (f dg, T )| = f (ξi ) g (∆i ) −f ξj g ∆j = ijX X XX= f (ξi ) g ∆i ∩ ∆′j −f ξj′ g ∆i ∩ ∆′j 6 i jjiXXXXf (ξi ) − f ξ ′ · g ∆i ∩ ∆′ < ε ·g ∆i ∩ ∆′ 6 ε.6jjjbijVar g i ja37Здесь мы воспользовались вторым определением вариации:XXbg ∆i ∩ ∆′ 6 Var g.jiajВыполнен критерий Коши интегрируемости.

Оценка на интеграл понятна:X XXbf (ξi ) g (∆i ) 6|f (ξi )| |g (∆i )| 6 max |f ||g (∆i )| 6 max |f | · Var g.a[a, b][a, b]iiiТеорема доказана.10.2. Интегрирование по частям в интеграле Римана – Стилтьеса.Теорема 2. (интегрирование по частям в интеграле Римана – Стилтьеса)Если функция g интегрируема по функции f в смысле Римана – Стилтьеса, то и f интегрируема по gв смысле Римана – Стилтьеса, и выполняется равенство(R − S)Zbf dg = f (b) g (b) − f (a) g (a) − (R − S)aZbg df.aДоказательство.nПусть T = {(∆i ; ξi )}i=1 — разбиение отрезка [a, b], где ξi ∈ ∆i = [ai−1 , ai ], i = 1, .