Т.П. Лукашенко - Лекционный курс, страница 11

. . , n, и все расположено попорядку:a = a0 6 ξ1 6 a1 6 ξ2 6 a2 6 · · · 6 an−1 6 ξn 6 an = b.Тогда преобразуем интегральную сумму следующим хитрым способом:σ (f dg, T) =nXf (ξi ) (g (ai ) − g (ai−1 )) =nXg (ai ) (f (ξi+1 ) − f (ξi )) + f (ξn+1 ) g (an ) − f (ξ0 ) g (a0 ) .i=1=−nXf (ξi ) g (ai ) −i=1n−1Xf (ξi+1 ) g (ai ) =i=0i=0Здесь при переходе от первой строчки ко второй мы сдвинули нумерацию на второй сумме, a при переходеот второй строчки к третьей — прибавили и вычли две величины, то есть добавили к сумме, чтобы нумерациявыровнялась, a потом вычли. Причем мы не знаем, что такое ξ0 и ξn+1 , но их значение на равенство не влияет,поэтому положим ξ0 = a, ξn+1 = b.

Получится занятное такое равенствоσ (f dg, T) = f (b) g (b) − f (a) g (a) −nXg (ai ) (f (ξi+1 ) − f (ξi )) .i=0При этом, как и раньше, все расположено по порядку:a = ξ0 = a0 6 ξ1 6 a1 6 · · · 6 an−1 6 ξn 6 an = ξn+1 = b.e = {([ξi , ξi+1 ]; ai )}, получаем вот такоеПоэтому, меняя местами точки и отрезки, то есть вводя обозначение Tкрасивое выражение:e .σ (f dg, T) = f (b) g (b) − f (a) g (a) − σ gdf, TПри этом имеем такую оценку: если все ∆i имеют длину меньше некоторого положительного числа δ, тодлина отрезка [ξi , ξi+1 ] оказывается меньше 2δ, ведь точки ξi и ξi+1 лежат в соседних отрезках.

Поэтому, переходяк пределу по базе Римана, получаем как раз требуемое утверждение, ведь правая часть по условию стремитсякуда надо, значит и левой некуда деваться.Теорема доказана.Следствие.Если f ∈ VB [a, b], g ∈ C [a, b], то f интегрируема по g в смысле Римана – Стилтьеса, и, следовательно,в смысле Курцвейля – Хенстока – Стилтьеса,3810.3.

Cведение интеграла Римана – Стилтьеса к интегралу Римана.Теорема 3. (сведение интеграла Римана – Стилтьеса к интегралу Римана)Если функция f ограничена на [a, b], функции g и f ·g интегрируемы по Риману на [a, b], G — неопределенныйинтеграл g на [a, b], то существует интеграл(R − S)Zbf dG = (R)aZbf g dx.aДоказательство.Возьмем любое ε > 0. Поскольку g ∈ R [a, b], имеем право взять такое число δ1 > 0, что для любого разбиенияT = {(∆i ; ξi )} Хенстока отрезка [a, b] мельче δ1 получится оценкаZbεσ (g, T) − (R) g dx < 8 · sup |f | .a[a, b]Тогда, применяя сильную лемму Колмогорова – Сакса – Хенстока, для любого разбиения T = {(∆i ; ξi )}Хенстока отрезка [a, b] мельче δ1 получим оценкуZX εg (ξi ) |∆i | − (R) g dx 6 2 · sup |f | .i ∆i[a, b]При этом не забываем ключевое соображение о том, что интегральчики от g на ∆i есть всего лишь G (∆i ).Теперь зайдем с другой стороны: поскольку f · g ∈ R [a, b], то можем найти такое число δ2 > 0, чтобы длялюбого разбиения T = {(∆i ; ξi )} Хенстока отрезка [a, b] мельче δ2 выполнялась оценкаZbσ (f · g, T) − (R) f · g dx < ε .

2aТак, кажется, все готово. Берем мелкость δ = min {δ1 , δ2 }, и для любого разбиения T = {(∆i ; ξi )} Хенстокаотрезка [a, b] мельче δ получаем оценку ZbZb X Xσ (f dG, T) − (R) f · g dx 6 f (ξi ) G (∆i ) − f (ξi ) g (ξi ) |∆i | + f (ξi ) g (ξi ) |∆i | − (R) f · g dx . iiaaВторая сумма сразу меньше ε/2. Но и первая сумма оценивается той же величиной:XXεε|f (ξi )| · |g (ξi ) |∆i | − G (∆i )| 6 sup |f | ·|g (ξi ) |∆i | − G (∆i )| 6 sup |f | ·=2 · sup |f |2[a, b][a, b]ii[a, b]Вот и оказалось, что суммы σ (f dG, T) стремятся к интегралу от f · g, a раз у них есть предел, то он долженбыл бы быть равен интегралу f по G, значит, остается сделать вывод, что интегралы эти равны.Теорема доказана.Следствие.

(интегрирование по частям для интеграла Римана)Если функции u и v интегрируемы по Риману на отрезке [a, b], U и V — их неопределенные интегралы, тоu · V и v · U интегрируемы по Риману на [a, b], и выполняется равенство(R)ZbuV dx = U (b) V (b) − U (a) V (a) − (R)aZbU v dx.aДоказательство.Функция V ограничена на [a, b], и даже интегрируема на нем по Риману, поскольку она вообще на немнепрерывна. Функция u интегрируема по Риману по условию, u · V — тоже интегрируема по Риману, посколькуV непрерывна, a у нас есть критерий Лебега.

Поэтому(R)ZbuV dx = (R − S)aZba39V dU.По совершенно симметричным соображениям имеем второе равенство(R)ZbU v dx = (R − S)aZbU dV.aТогда после замены в требуемом утверждении интегралов Римана на равные им интегралы Римана – Стилтьеса получится как раз утверждение самой первой теоремы об интегрировании по частям.Следствие доказано.10.4. Сведение интеграла Курцвейля – Хенстока к интегралу Римана – Стилтьеса.Теорема 4.

(сведение интеграла Курцвейля – Хенстока к интегралу Римана – Стилтьеса)Если функция f интегрируема на [a, b] в смысле Курцвейля – Хенстока, F — ее неопределенный интеграл,a функция g ∈ VB [a, b], то f · g тоже интегрируема по Курцвейлю – Хенстоку на [a, b], и выполняется равенство(H)Zbf g dx = (R − S)aZbg dF.aДоказательство.Прежде всего, отметим, что интеграл Римана – Стилтьеса в правой части существует, поскольку функция Fнепрерывная, a g — функция ограниченной вариации. A тогда можно, взяв любое ε > 0, подобрать такое числоδ > 0, что для любого разбиения T = {(∆i ; ξi )} Хенстока отрезка [a, b] мельче δ получится оценкаZbσ (gdF, T) − (R − S) g dF < ε . 2aС другой стороны, функция f интегрируема по Курцвейлю – Хенстоку, значит, найдется масштаб δ (x) на[a, b], такой, что для любого разбиения T = {(∆i ; ξi )} Хенстока отрезка [a, b], согласованного с δ (x), будетZbεσ (f, T) − (H) f dx < 8 · sup |g| .a[a, b]Тогда по сильной лемме Колмогорова – Сакса – Хенстока для любого разбиения T = {(∆i ; ξi )} Хенстокаотрезка [a, b], согласованного с δ (x), будетZX εf (ξi ) |∆i | − (H) f dx 6 2 · sup |g| .i ∆i[a, b]Ну и снова оцениваем.

Пусть T = {(∆i ; ξi )} — отмеченное разбиение Хенстока отрезка [a, b] мельче δ и одновременно согласованное с масштабом δ (x). Тогда ZbZb XX X σ (f g, T) − (R − S) g dF 6 f (ξi ) g (ξi ) |∆i | −g (ξi ) F (∆i ) + g (ξi ) F (∆i ) − (R − S) g dF < iiiaa< sup |g| ·[a, b]Xiεε ε|f (ξi ) |∆i | − F (∆i )| + < + = ε.22 2Теорема доказана.Следствие.

(интегрирование по частям в интеграле Курцвейля – Хенстока)Если функция f ∈ H [a, b], g ∈ VB [a, b], то f · g ∈ H [a, b] и(H)Zbf g dx = g (b) F (b) − g (a) F (a) − (R − S)aZbF dg.aВ частности, умножение на VB-функцию не влияет на интегрируемость по Курцвейлю – Хенстоку.4010.5. Замена переменной под знаком интеграла.Теорема 5.

(замена переменной под знаком интеграла)Пусть функция f интегрируема на отрезке [a, b] в одном из трех смыслов, ϕ — строго возрастающая непрерывно дифференцируемая функция отрезке [α, β], где ϕ (α) = a и ϕ (β) = b. Тогда функция f (ϕ) ϕ′ будетинтегрируема на отрезке [α, β] в соответствующем смысле, и выполнится равенствоZbf dx =aZβf (ϕ) ϕ′ dx.αДоказательство.Зафиксируем любое ε > 0, и обозначим интеграл от f на [a, b] через I. Функция ϕ′ по условию непрерывнана [a, b]. В случае интеграла Римана мы пользуемся даже равномерной непрерывностью функции ϕ′ , котораяследует из обычной непрерывности, a так же ограниченностью функции f , и находим такое число δ1 > 0, чтокак только точки t, s ∈ [α, β] находятся на расстоянии меньше δ1 , получается оценка|ϕ′ (t) − ϕ′ (s)| <ε.2 (β − α) sup |f |(1)[a, b]А в случае интегралов Мак-Шейна и Курцвейля – Хенстока можно и нужно найти такой масштаб δ1 (x) наотрезке [α, β], что для любых точек t, s ∈ [α, β], таких, что |t − s| < δ1 (t), выполняется оценка|ϕ′ (t) − ϕ′ (s)| <ε.2 (β − α) |f (ϕ (t))|(1′ )Теперь воспользуемся интегрируемостью функции f и найдем такое число δ2 > 0 (масштаб δ2 (x) на [a, b]),чтобы для любого разбиения T = {(∆i ; ξi )} Хенстока (Мак-Шейна, Хенстока) отрезка [a, b] мельче δ2 (согласованного с δ2 (x)), выполнялась оценкаε|σ (f, T) − I| < .(2)2Опять разберем отдельно два интеграла.

Для интеграла Римана, пользуясь равномерной непрерывностью наэтот раз уже функции ϕ, найдем число такое δ > 0, меньшее δ1 , чтобы для любых точек t, s ∈ [α, β], находящихсяна расстоянии меньше δ, выполнялась оценка|ϕ (t) − ϕ (s)| < δ2 .(3)А для интегралов Мак-Шейна и Курцвейля – Хенстока выбираем масштаб δ (x) > 0, δ (x) < δ1 (x), на [α, β],что при t, s ∈ [α, β], |t − s| < δ (t), будет(3′ )|ϕ (t) − ϕ (s)| < δ2 (ϕ (t)) .Вот теперь уже рассмотрим произвольное разбиение T = {(∆i ; ξi )} Хенстока (Мак-Шейна, Хенстока) отрезка[α, β] мельче δ (согласованное с δ (x)). Припоминая формулу конечных приращений Лагранжа, обнаруживаем,что найдутся такие точки θi ∈ ∆i , что ϕ (∆i ) = ϕ′ (θi ) |∆i |.

Все, теперь все готово. X X X ′′′|σ (f (ϕ) ϕ , T) − I| = f (ϕ (ξi )) ϕ (ξi ) |∆i | − I 6 f (ϕ (ξi )) (ϕ (ξi ) − ϕ (θi )) |∆i |+f (ϕ (ξi )) ϕ (∆i ) − I . ′iiiВо-первых, |ξi − θi | < δ < δ1 (или < δ (ξi ) < δ1 (ξi )), поэтому можно сослаться на оценки (1) и (1′ ) и оценитьпервую сумму величиной ε/2. A для второй суммы оценки (3) и (3′ ) утверждают, что {(ϕ (∆i ); ϕ (ξi ))} — разбиение отрезка [a, b] Хенстока (Мак-Шейна, Хенстока) мельче δ2 (согласованное с δ2 (x)), значит вся вторая суммапо оценке (2) тоже оценивается величиной ε/2, что не может не радовать.Теорема доказана.Замечание.Аналогичную теорему можно сформулировать и для случая строго убывающей функции ϕ, при этом перед интегралом появится минус.

Примерно так: функция f (−x) будет интегрируемой на [−b, −a], −ϕ (t) — возрастающей,−ϕ (α) = −b, −ϕ (β) = −a, тогда f (− (−ϕ (t))) ϕ′ (t) будет интегрируема в соответствующем смысле, и т.д.4110.6. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.Теорема 6. (формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме)Если функция f дифференцируема n + 1 раз на отрезке с концами x0 и x, то имеет место равенствоf (x) =nXf (k) (x0 )k!k=01(x − x0 ) +· (H)n!kZxn(x − t) f (n+1) (t) dt.x0Доказательство.nСразу заметим, что интеграл существует, поскольку f (n+1) (t) — интегрируемая функция, a (x − t) — функция ограниченной вариации.

Будем действовать по индукции. При n = 0 утверждение верно:f (x) = f (x0 ) + f (x) − f (x0 ) = f (x0 ) + (H)Zxf ′ (t) dt.x0Пусть утверждение верно для n = m. Докажем его для n = m + 1. Для этого проделаем такую выкладку:1(H)(m + 1)!Zxm+1(x − t)f (m+2) (t) dt =1(R − S)(m + 1)!x0Zxdf (m+1) (t) =x01 (x − x)m+1 f (m+1) (x) − (x − x0 )m+1 f (m+1) (x0 ) − (R − S)=(m + 1)!=−m+1(x − t)1f (m+1) (x0 )m+1(x − x0 )+(R)(m + 1)!m!ZxZxf (m+1) (t) d (x − t)x0m+1 =m(x − t) f (m+1) (t) dt.x0Здесь мы сначала сводим интеграл Курцвейля – Хенстока к интегралу Римана – Стилтьеса, потом интегрируем по частям, и в конце сводим интеграл Римана – Стилтьеса к интегралу Римана.Заменяя интеграл Римана на равный ему интеграл Курцвейля – Хенстока, полученное равенство можнопереписать так:1(H)m!Zxx0m(x − t) f(m+1)f (m+1) (x0 )1m+1(t) dt =(x − x0 )+(H)(m + 1)!(m + 1)!Zxm+1(x − t)f (m+2) (t) dt.x0Но несложно видеть, что именно это и требовалось доказать: подставляя выражение слева в формулу дляn = m, как раз получаем формулу для n = m + 1.Теорема доказана.10.7.