Т.П. Лукашенко - Лекционный курс, страница 8

Следовательно, имеем x ∈ J ⊂ Ik∗ .Таким образом, мы действительно уложили все, что не покрыто первыми n отрезками, в объединение оставшихсяотрезков, снабженных звездочками. Осталось заметить, что∞X|Ii∗ | = 5 ·i=m∞X|Ii | −→ 0.i=mm→∞То есть для любого ε > 0 мы можем найти такое число n ∈ N, что не более чем счетная система отрезков{Ii∗ }∞i=n , покрывающая все непокрытые участки E, имеет сумму длин меньше ε, что с нас и требовалось.Теорема доказана.Следствие.

(вторая теорема Витали)Если ограниченное множество E ⊂ R покрыто системой отрезков Ω в смысле Витали, то для любого ε > 0можно выбрать на этот раз уже конечную систему непересекающихся отрезков {Ii }ni=1 ⊂ Ω, что!n[∗µ E\Ii < ε.i=1Доказательство.Пусть нам не повезло, и сразу выбрать конечную систему, покрывающую почти все E, не удается. Выберем∞сначала счетную систему {Ii }i=1 . Тогда!!n∞∞[[[E\Ii ⊆Ii ∪ E \Ii .i=1i=n+1И по свойствам меры Лебега получаем!n∞[X∗Ii 6|Ii | + µ∗µ E\i=1i=n+1i=1E\∞[i=1Ii!=∞Xi=n+1|Ii | −→ 0.n→∞Значит, выбором n действительно можно добиться сколь угодно хорошего покрытия.Следствие доказано.247. Еще несколько теорем об интегралах.7.1.

Непрерывность и дифференцируемость неопределенного интеграла.Теорема 1. (непрерывность неопределенного интеграла Курцвейля – Хенстока)Если функция f ∈ H [a, b], то ее неопределенный интеграл F (x) непрерывен на [a, b].Доказательство.Возьмем любое ε > 0. Поскольку f ∈ H [a, b], найдется масштаб δ (x), такой, что для любого разбиения TХенстока отрезка [a, b], согласованного с δ (x),Zbσ (f, T) − (H) f dx < ε .

2aТеперь, пусть требуется показать, что интеграл непрерывен в точке ξ ∈ [a, b]. Возьмем положительное числоεγ < min δ (ξ) ,.2 |f (ξ)| + 1Причем единицу мы добавили только затем, чтобы избежать вопросов про деление на ноль. Пусть ∆x —такое, что ξ + ∆x ∈ Bγ (x) ∩ [a, b]. При этом мы добились того, что [ξ, ξ + ∆x] ⊂ Bδ (ξ) (ξ), где, как всегда,[ξ, ξ + ∆x] обозначает отрезок с концами ξ и ξ + ∆x. Таким образом, можно собрать разбиение T Хенстокаотрезка [a, b], согласованное с δ (x) и содержащее пару ([ξ, ξ + δ (x)]; ξ). Применяя слабую лемму Колмогорова– Сакса – Хенстока к одному слагаемому {([ξ, ξ + ∆x]; ξ)} ⊆ T, имеемξ+∆xZ εf dt 6 .f (ξ) ∆x − 2ξС другой стороны,|f (ξ) · ∆x| < |f (ξ)| · γ < |f (ξ)| ·Значит,εε< .2 |f (ξ)| + 12 ξ+∆x Z|F (ξ + ∆x) − F (ξ)| = f dt < ε ξЧто и требовалось доказать: для любого ε > 0 нашлось γ > 0, такое, что как только 0 < |∆x| < γ, выполняется оценка |F (ξ + ∆x) − F (ξ)| < ε.Теорема доказана.Замечание.Отсюда сразу следует непрерывность неопределенных интегралов Римана и Мак-Шейна, хотя для интеграла Риманамы это уже доказали.Теорема 2.

(дифференцируемость почти всюду интеграла Курцвейля – Хенстока)Если f ∈ H [a, b], F — неопределенный интеграл f на [a, b], то F ′ (x) = f (x) почти всюду на [a, b].Доказательство.Перепишем доказываемое утверждение в таком виде: для почти всех x0 ∈ [a, b] F (x0 + ∆x) − F (x0 )− f (x0 ) = 0.lim∆x→0 ∆x25Для любого γ > 0 положим F (x0 + ∆x) − F (x0 )− f (x0 ) > γ =Eγ = x0 ∈ [a, b] : lim sup ∆x∆x→0 F (x0 + tk ) − F (x0 )= x0 ∈ [a, b] : ∃ tk → 0, tk 6= 0 : ∀ k ∈ N − f (x0 ) > γtkТребуется показать, что внешняя мера любого из множеств Eγ равна нулю.

Зафиксируем какую-нибудь извышеупомянутых последовательности tk для каждой точки множества Eγ . Возьмем любое ε > 0 и найдем такоймасштаб δ (x) на [a, b], что для любого разбиения T Хенстока отрезка [a, b], согласованного с δ (x), выполняетсяоценкаZbσ (f, T) − (H) f dx < ε · γ .8aОпределим множество Ω = {[x0 , x0 + tk ] : x0 ∈ Eγ , |tk | < δ (x0 )}. Как всегда, [x0 , x0 + tk ] — это отрезок с концами x0 и x0 + tk . Система Ω покрывает Eγ в смысле Витали. Пользуясь второй теоремой Витали, найдемконечную систему отрезков [xj , xj + tj ] ⊆ [a, b] покрывающую все Eγ , кроме множества меры меньше ε/2.

Построим разбиение T = {(∆i ; ξi )} Хенстока отрезка [a, b], согласованное с масштабом δ (x), и содержащее всепары ([xj , xj + tj ]; xj ). Применяя к этому разбиению сильную лемму Колмогорова – Сакса – Хенстока, получаем оценкуxZj +tjZ X X ε·γf dx 6f (ξi ) |∆i | − f dx 6.f (xj ) |tj | −2j ixj∆iВ действительнозначном случае оценка, разумеется, в два раза лучше.

То есть видим, чтоX f (xj ) − F (xj + tj ) − F (xj ) |tj | 6 ε · γ .tj2jПо выбору tj , первый множитель в слагаемых получившейся суммы больше γ. Но тогдаXXε·γεγ |tj | 6⇒|tj | 6 .22jjВспоминаем, что в Eγ осталась еще не покрытая отрезками часть, но ее внешняя мера меньше ε/2. A все,что покрыто, тоже оказывается не больше ε/2. Значит, для любого ε > 0 мы показали, что µ∗ Eγ < ε. То естьµ∗ Eγ = 0.

А значит и мера всего множества точек, где производная F (x) не равна f (x), тоже имеет меру нуль,поскольку содержится внутри счетного объединения множеств E k1 по k ∈ N, каждое из которых есть множествомеры нуль.Теорема доказана.Замечание.Из теоремы сразу следует дифференцируемость почти всюду неопределенных интегралов Римана и Мак-Шейна, хотядля интеграла Римана мы это уже доказывали.Следствие.Если f ∈ H [a, b], f (x) > 0 почти всюду на [a, b] и(H)Zbf dx = 0,aто f (x) = 0 почти всюду на [a, b].Доказательство.Можно считать, что f (x) > 0 всюду на [a, b]. Тогда имеем следующее рассуждение:0 6 F (x) =Zxaf dt 6Zxf dt +aZbx′f dt =Zbf dx = 0.aЗначит, F (x) = 0 всюду на [a, b], и F (x) = 0 всюду на [a, b], значит, по только что доказанной теоремеf (x) = F ′ (x) = 0 почти всюду на [a, b].Следствие доказано.267.2.

Неравенство Чебышева.Теорема 3. (неравенство Чебышева)Если f — действительнозначная неотрицательная функция, интегрируемая в смысле Курцвейля – Хенстокана отрезке [a, b], то для любого числа λ > 0 имеем неравенство1· (H)µ {x ∈ [a, b] : f (x) > λ} 6λ∗Zbf dxaДоказательство.Обозначим {x ∈ [a, b] : f (x) > λ} = E. Возьмем любое ε > 0 и найдем масштаб δ (x) на [a, b], такой, что длялюбого разбиения T = {(∆i ; ξi )} Хенстока отрезка [a, b]выполняется неравенствоZbσ (f, T) − (H) f dx < ε.aПусть Ω — система всех отрезков вида [x, t] (или [t, x]), где x ∈ E и |x − t| < δ (x).

Очевидно, системаΩ покрывает множество E в смысле Витали. Согласно второй теореме Витали, выберем конечную системунепересекающихся отрезков [αi , βi ] ∈ Ω, i = 1, . . . , n, покрывающую все множество E, кроме множества мерыменьше ε. При этом для удобства можно считать, что отрезки расположены по порядку, то есть a 6 α1 < β1 <α2 < β2 < · · · < βn 6 b. Обозначим через ξi тот конец отрезка [αi , βi ], который лежит в множестве E. На ещене покрытых невырожденных отрезках [a, α1 ] , [β1 , α2 ] , .

. . , [βn , b] построим разбиение Хенстока,согласованноес масштабом δ (x), и пусть T — разбиение, состоящее из разбиений этих отрезков и пар ([αi , βi ]; ξi ), i = 1, . . . , n.Тогда T согласовано с масштабом δ (x), и, применяя слабую лемму Колмогорова – Сакса – Хенстока, получаем,что nZβiXf (ξi ) (βi − αi ) − (H) f dx 6 ε. i=1αiВспоминая, что функция f у нас неотрицательная вместе со всеми ее интегральчиками, демонстрируемследующую достаточно слабую оценку:06nXf (ξi ) (βi − αi ) 6i=1nX(H)i=1Zβif dx + ε 6 (H)Zbf dx + εaαiА поскольку все ξi ∈ E, все f (ξi ) > λ. Отсюда получаем, что06λnX(βi − αi ) 6 (H)i=1nXZbf dx + ε,a(βi − αi ) 6i=11· (H)λZbaf dx +ε.λЗначит, мера множества E, состоящего из отрезков [αi , βi ] и непокрытого множества меры меньше ε, имеетмеруZb11µ∗ E < · (H) f dx + ε ·+1 .λλaВ силу произвольности выбора числа ε > 0 получаем как раз доказываемое утверждение.

Заметим, что здесьнас никто не заставляет получать в конце оценки ровно ε. A еще заметим, что строгое неравенство заменяетсяна нестрогое.Теорема доказана.7.3. Абсолютность интеграла Мак-Шейна.Теорема 4. (об абсолютности интеграла Мак-Шейна)Если функция f интегрируема по Мак-Шейну на отрезке [a, b], то и функция |f | тоже интегрируема наотрезке [a, b] по Мак-Шейну и модуль интеграла от f не превосходит интеграла от |f |.27Доказательство.Возьмем любое ε > 0 и найдем масштаб δ (x) на [a, b], такой, что для любого разбиения T = {(∆i ; ξi )}Мак-Шейна отрезка [a, b] выполняется неравенствоZbσ (f, T) − (M) f dx < ε 9aПроверим критерий Коши.

Возьмем два отмеченных разбиения T = {(∆i ; ξi )} и T′ = ∆′j ; ξj′ , согласованных с масштабом δ (x), и соберем из них два новых разбиения:∆i ∩ ∆′j ; ξi : ∆i ∩ ∆′j — невырожденный отрезок ,e ′ = ∆i ∩ ∆′ ; ξ ′ : ∆i ∩ ∆′ — невырожденный отрезок .Tj jje=TЗдесь мы вспомнили старую лемму о том, что это действительно будут разбиения отрезка [a, b]. И именноздесь используется, что интеграл понимается в смысле Мак-Шейна: в новоиспеченных разбиениях точки могутe иTe ′ , очевидно, согласованы с масштабом δ (x), поэтому можно применитьвыскочить за отрезки.