Т.П. Лукашенко - Лекционный курс, страница 5

Необходимое условие интегрируемости по Риману. Критерий Лебега.Определение. Если функция f определена на произвольном множестве E, то осцилляцией f на E — этоosc f = sup |f (x) − f (x′ )| .Ex,x′ ∈EУтверждение.Если f — действительнозначная функция на множестве E, тоosc f = sup f − inf f.EEEДоказательство.Если x, x′ ∈ E и f (x′ ) 6 f (x), то, очевидно, f (x)−f (x′ ) 6 sup f −inf f , значит, то же верно и для осцилляции.EEДокажем обратное: osc f > sup f − inf f . Если sup f = +∞ или inf f = −∞ , то утверждение верно, так какEEEEEв этом случае osc f = +∞. В противном случае для любого ε > 0 найдутся такие x и x′ из E, что f (x) > sup f − 2εEи f (x′ ) < inf f +Eε2EНо тогдаosc f > f (x) − f (x′ ) > sup f − inf f − ε.EEEУстремляя ε к нулю, получаем требуемое утверждение.Утверждение доказано.Лемма.Пусть действительнозначная функция f определена на отрезке [a, b], {∆i } — некоторое разбиение отрезка[a, b].

ТогдаXosc σ (f, T) =osc f · |∆i | ,ξi ∈∆i∆iiгде через T обозначено разбиение {(∆i ; ξi )} при данном выборе ξi ∈ ∆i .Доказательство.Если функция f неограничена на [a, b], то оба выражения равны +∞ и утверждение верно. Если же fограничена на [a, b], то можно произвести оценку:! X XX′′f (ξi ) |∆i | − f (ξi ) |∆i | 6sup |f (ξi ) − f (ξi )| · |∆i | =osc f · |∆i | .osc σ (f, T) = sup ∆iξi ∈∆iξi , ξi′ ∈∆iξi , ξi′ ∈∆i iiiВ последнем равенстве мы пользуемся действительнозначностью. Докажем теперь, чтоXosc σ (f, T) >osc f · |∆i | .ξi ∈∆ii14∆iВозьмем любое ε > 0.

Тогда найдутся такие пары точек ξi , ξi′ ∈ ∆i , что f (ξi ) − f (ξi′ ) > osc f −∆iεb−a(мыпо-прежнему считаем функцию ограниченной). Модуль здесь не играет роли, так как всегда можно поменятьместами ξi и ξi′ . Теперь оцениваем:XXXXXεf (ξi ) |∆i | −f (ξi′ ) |∆i | =(f (ξi ) − f (ξi′ )) |∆i | >osc f −|∆i | =osc f · |∆i | − ε.∆i∆ib−aiiiiiУстремляя ε к нулю, получаем требуемое утверждение.Лемма доказана.Теорема 2. (необходимое условие интегрируемости по Риману)Если действительнозначная функция f интегрируема на отрезке [a, b] в смысле Римана, то f ограниченаи непрерывна почти всюду на [a, b].Доказательство.Ограниченность уже доказана.

В соответствии с определением интегрируемости по Риману для любого ε > 0найдется такое разбиение {∆i } отрезка [a, b], что при любом выборе точек ξi ∈ ∆i выполнялась оценкаZbσ (f, T) − (R) f dx 6 ε , 3a2ε3где T = {(∆i ; ξi )}. Тогда osc σ (f, T) 6ξi ∈∆i< ε, откуда по леммеPiosc f · |∆i | < ε∆iВот теперь мыε > 0, и проделываем следующую процедуру. Для всех чисел i ∈ N находим такое фиксируемразбиение Ti = ∆ij , что выполняется оценка!X iεosc f · ∆j < 2j .i2∆jjТеперь среди всех этих разбиений найдем такие отрезки ∆ij , на которых osc f > 1/2i .

Тогда ясно, что суммаiдлин отрезков, выбранных из разбиения Ti , будет меньше ε/2оценка никак не выполнится. ТакимP — иначеобразом, сумма длин всех выбранных отрезков будет меньшеε/2i = ε.iИ завершающее утверждение: если какая-то точка x не принадлежит ни одному из выбранных отрезков, то f непрерывна в точке x. Действительно, если нужно получить δ-окрестность точки x, в которой∀ t ∈ Bδ (x) |f (x) − f (t)| < 1/2i , то достаточно рассмотреть разбиение Ti , и если точка x лежит внутри отрезкаразбиения, то упихиваем окрестность в этот отрезок, а если на краю двух отрезков (тогда они оба невыбранные) — то в объединение этих двух отрезков, и выполнение условия следует из оценки осцилляции в выбранныхотрезках.

Следовательно, нам удалось покрыть все точки разрыва функции f системой отрезков, сумма длинкоторых меньше ε. Отсюда ввиду произвольности ε получаем, что f непрерывна почти всюду на отрезке [a, b].Теорема доказана.Следствие. (критерий Лебега интегрируемости по Риману)Функция f , определенная на отрезке [a, b], интегрируема на [a, b] в смысле Римана тогда и только тогда,когда f ограничена на [a, b] и непрерывна почти всюду на [a, b].Доказательство.Для действительнозначных функций утверждение только что доказано, поэтому покажем, что происходитв комплекснозначном случае, а заодно и выведем важное утверждение.Пусть f — комплекснозначная функция на [a, b], I — ее интеграл на [a, b] (в любом из смыслов). Тогда,очевидно,XXσ (Ref, T) =Ref (ξi ) |∆i | = Ref (ξi ) |∆i | = Re σ (f, T) .iiАналогичная оценка работает и для мнимой части.

Поэтому, с учетом неравенств |Rez| 6 |z|, |Imz| 6 |z| и |z| =|Rez| + |Imz|, выполняются неравенства|σ (Ref, T) − ReI| = |Re (σ (f, T) − I)| 6 |σ (f, T) − I| ,|σ (Imf, T) − ImI| = |Im (σ (f, T) − I)| 6 |σ (f, T) − I| ,|σ (f, T) − I| 6 |σ (Ref, T) − ReI| + |σ (Imf, T) − ImI|15Таким образом, комплекснозначная функция интегрируема в любом из смыслов на отрезке [a, b] тогда и только тогда, когда интегрируемы в том же смысле ее действительная и мнимая часть, и в случае интегрируемостивыполняется равенствоZbZbZbf dx = Ref dx + i · Imf dx.aaaПрименяя вышесказанное к интегралу Римана и теореме 2, получаем следующее утверждение: если комплекснозначная функция интегрируема по Риману на отрезке [a, b], то интегрируемы её действительная и мнимая часть, которые и будут ограничены и непрерывны почти всюду, делая таковой и саму функцию. Обратноеутверждение мы доказывали для любых функций, поэтому критерий Лебега теперь полностью доказан.Следствие доказано.Следствия.1. Если функция f интегрируема по Риману на отрезке [a, b], то f интегрируема и по Мак-Шейну на [a, b],и значения интегралов совпадают.2.

Если функции f и g интегрируемы по Риману на отрезке [a, b], то и f · g интегрируема по Риману на [a, b].3. Если значения интегрируемой по Риману функции изменить в конечном числе точек, то получится функция, также интегрируемая по Риману, и значение интеграла не изменится.4.

Если функция f интегрируема по Риману на отрезке [a, b], функция ϕ непрерывна на отрезке [c, d] ⊆f ([a, b]), то ϕ (f ) тоже интегрируема на [a, b] по Риману.5. Интеграл Римана — абсолютный, то есть если функция f интегрируема по Риману на отрезке [a, b], то |f |тоже интегрируема по Риману на [a, b] и выполняется равенство bZ Zb f dx 6 |f | dxaa6. Если функция f интегрируема по Риману на отрезке [a, b] и f (x) > 0 на [a, b], а так же f (x) > 0 в некоторойточке непрерывности функции f , то и интеграл функции f на [a, b] строго больше нуля.Доказательства.1.

Если f интегрируема по Риману, то она ограничена и непрерывна почти всюду, а значит интегрируемапо Мак-Шейну. Равенство интегралов следует, например, из того, что они оба равны интегралу Курцвейля –Хенстока.2. Если f и g ограничены, то и f · g тоже. f · g непрерывна почти всюду, поскольку объединение множествточек разрыва f и g, которые меры нуль, тоже будет множеством меры нуль.3. Понятно, что функция останется интегрируемой, поскольку не теряет ограниченности и непрерывностипочти всюду. Покажем, что не изменится значение интеграла.

Пусть fe — новая функция, отличающаяся от fв n точках. Тогда для любого разбиения T Хенстока отрезка интегрирования [a, b] мельче δ выполняется оценкаσ f − fe, T 6 2nδ · sup f − fe ,[a, b]с учетом того, что каждая точка может оказаться в двух отрезках. Из этого рассуждения видно, что(R)Zb af − fe dx = 0,а так как f = fe + f − fe , то как раз и получается требуемый результат.4. Поскольку ϕ непрерывна на отрезке, она ограничена на нем, а значит и функция ϕ (f ) тоже ограничена.Если f непрерывна в точке x, то и ϕ (f ) тоже, а значит ϕ (f ) непрерывна почти всюду.5. Функция |x| непрерывна на R (и даже на C), следовательно, можно сослаться на предыдущее следствие.Неравенство для интегралов непосредственно следует из неравенства для интегральных сумм ввиду свойствпредела по базе: ZbZb (R) f dx = lim σ (f, T) = lim |σ (f, T)| 6 lim σ (|f | , T) = (R) |f | dx BR BRBRaa166.

Неотрицательность интеграла следует из неотрицательности интегральных сумм. Если f (x0 ) > 0 и fнепрерывна в x0 , то найдется такая замкнутая δ-окрестность x0 , в которой f (x) > 12 f (x0 ) . Введем функцию(f (x0 )x ∈ B δ (x0 ) ∩ [a, b] ;2 ,g (x) =0в остальных случаях.Тогда проделывается следующая выкладка:(R)Zbf dx > (R)aZbag dx =f (x) · B δ (x0 ) ∩ [a, b] > 02Следствия доказаны.Замечания.Свойство 2 не выполняется для интегралов Мак-Шейна и Курцвейля – Хенстока. Контрпримером является функцияf (x) = √1x , которая интегрируема на отрезке [0, 1] по Мак-Шейну, но квадрат которой не интегрируем даже по Курцвейлю – Хенстоку.

Свойство 3 нельзя обобщить даже на случай не более чем счетного множества точек, контр-пример— функция Дирихле, которая отличается от тождественно нулевой функции на счетном множестве точек. Однако интегралы Мак-Шейна и Курцвейля – Хенстока выдерживают даже изменение на множестве меры нуль, что мы сейчаси докажем. Как будет показано ниже, свойство 5 выполняется также и для интегралов Мак-Шейна, но не для интеграловКурцвейля – Хенстока, хотя, конечно, в случае интегрируемости, неравенство на интегралы выполняется, поскольку намбезразлично, которая из трех баз упоминалась в доказательстве.3.4.