Т.П. Лукашенко - Лекционный курс, страница 13

A самое последнее слагаемое оценивается числом ε/2n+1 по слабой лемме Колмогорова – Сакса– Хенстока: ведь на отрезке [b′ , bn+1 ] можно дорисовать еще несколько отрезочков с точками, и получитсяразбиение Хенстока отрезка [bn , bn+1 ], согласованное с масштабом δ (x), a к этому разбиению мы слабую леммуи применим. Итого получится меньше ε.Лемма доказана.Теорема 1. (Хейка)Если функция f определена на [a, b), b ∈ R, и интегрируема по Курцвейлю – Хенстоку в несобственном смыслена [a, b), то f интегрируема на [a, b] по Курцвейлю – Хенстоку в собственном смысле, и значения собственногои несобственного интегралов совпадают.Доказательство.Доопределим произвольно функцию f в точке b, если она там была неопределена.

Возьмем любое ε > 0.Поскольку f интегрируемана [a, b) в несобственном смысле, можем найти такую точку b̄ ∈ [a, b), что выполненоусловие |f (b)| · b − b̄ < ε/3 и для любой точки b′ ∈ b̄, b выполняется оценка′ZbZ εf dx < . (H) f dx − (H) 3a[a,b)Пользуясь леммой, найдем для нашего ε такой масштаб δ > 0 на [a, b), что δ (x) < b − x, δ (b) < b − b̄и для любого согласованного с ним отмеченного разбиения T Хенстока любого отрезка [a, b′ ] ⊂ [a, b) выполнится46оценка′Zbσ (f, T) − (H) f dx < ε .

3a47Ну и пусть T = {(∆i ; ξi )} — любое разбиение Хенстока отрезка [a, b], согласованное с масштабом δ (x). Повыбору этого масштаба если точка ξi отлична от b, то отрезок ∆i оказывается тоже внутри [a, b), и, следовательно, в T непременно должна найтись пара (ξj ; ∆j ), где ξj = b и, следовательно, ∆j ⊂ b̄, b .

Теперь обозначимлевый конец отрезка ∆j через b′ , и оценка проведется совсем легко: ′ ZZbZX X f (ξi ) |∆i | − (H)f dx 6 f (ξi ) |∆i | − (H) f dx + f (ξj ) |∆j | − (H)f dx . i6=j ia[a,b)[b′ ,b)Первый модуль оценивается величиной ε/3 благодаря лемме. А второй — просто суммой модулей: величинаf (ξj ) |∆j | ввиду малости отрезка ∆j будет меньше f (b) b − b̄ < ε/3, a интеграл будет благодаря близости b̄ к bтоже меньше ε/3. Итого, как всегда, меньше ε.Теорема доказана.Определение. Пусть функция f определена на промежутке [a, b) и интегрируема в одном из трех смысловна любом подотрезке [a, b′ ] ⊂ [a, b).

Будем говорить, что f удовлетворяет условию Коши несобственной интегрируемости в соответствующем смысле на [a, b), если для любого числа ε > 0 найдется такое число δ > 0, что длялюбых двух точек b′ и b′′ из промежутка Bδ (b) ∩ [a, b) выполняется неравенство b′′ b′′Z ZZb′ f dx − f dx = f dx < ε. ′aabУтверждение.Функция f , определенная на промежутке [a, b) и интегрируемая в одном из трех смыслов на любом подотрезке [a, b′ ] ⊂ [a, b), интегрируема в соответствующем несобственном смысле на промежутке [a, b) тогда и толькотогда, когда удовлетворяет условию Коши несобственной интегрируемости в этом смысле на этом промежутке.Доказательство.Доказывать тут нечего, это просто критерий Коши существования в точке b левого предела функцииF (x) =Zxf (t) dt.aУтверждение доказано.Определение.

Будем говорить, что несобственный интеграл от функции f на [a, b) в данном смысле сходитсяабсолютно, если f интегрируема в этом смысле на любом подотрезке [a, b′ ] ⊂ [a, b) и существует несобственныйинтеграл от |f | на [a, b).Утверждение.Если несобственный интеграл от функции f сходится абсолютно на [a, b), то он сходится.Доказательство.Утверждение следует из критерия Коши несобственной интегрируемости и неравенства b′′ Zb′′Z f dx 6 |f | dx.′′bbУтверждение доказано.11.2.

Признаки сходимости несобственных интегралов.Теорема 2. (признак сравнения 1)Если функции f и g определены на [a, b) и интегрируемы на любом отрезке [a, b′ ] ⊂ [a, b), может быть,в разных смыслах, и при этом на [a, b) выполняется неравенство 0 6 f (x) 6 g (x), то из существования несобственного интеграла от функции g на [a, b) будет следовать существование несобственного интеграла от функцииf на [a, b), и наоборот, если несобственный интеграл от f на [a, b) не существует, то несобственный интеграл отg — тем более не существует.48Доказательство.Из сохранения неравенства при интегрировании в любом из трех смыслов следует, что на любом отрезке[b′ , b′′ ] ⊂ [a, b) имеет место неравенство′′′′ZbZb0 6 f dx 6 g dx.b′b′Таким образом, из выполнения условия Коши для g следует его выполнение и для f , и наоборот.Теорема доказана.Теорема 3.

(признак сравнения 2)Если неотрицательные функции f и g определены на [a, b), и интегрируемы на любом отрезке [a, b′ ] ⊂ [a, b),может быть, в разных смыслах, и при этом на [a, b) выполняется оценка 0 < c1 < f (x) /g (x) 6 c2 < +∞, тонесобственные интегралы на [a, b) функций f и g сходятся или расходятся одновременно.Доказательство.Снова пользуемся критерием Коши — и замечаем, что b′′ b′′ b′′ b′′ZZZZ1f dx .0 6 f dx 6 c2 g dx ,0 6 g dx 6c1 ′′′′bbbbТеорема доказана.Лемма.Пусть ϕ — функция ограниченной вариации на полуотрезке [a, b), где, возможно, b = +∞.

Тогда для любогочисла ε > 0 найдется такая точка b̄ ∈ [a, b), что Var ϕ < ε.[b̄,b)Доказательство.nСуществует такой набор точек {ai }i=0 , упорядоченных по возрастанию: a 6 a0 < a1 < · · · < an < b, чтоVar ϕ >[a,an ]nX|ϕ (ai ) − ϕ (ai−1 )| > Var ϕ − ε.[a,b)i=1Здесь и первое неравенство, и существование набора точек следует из определения вариации как точнойверхней грани. Тогда благодаря аддитивности вариации по множеству имеем оценкуVar ϕ = Var ϕ − Var ϕ < ε.[an ,b)[a,b)[a,an ]Лемма доказана.Теорема 4. (признак Абеля)Если функция f интегрируема на [a, b) по Риману (или по Курцвейлю – Хенстоку), ϕ — функция ограниченной вариации на [a, b), то функция f · ϕ также интегрируема на [a, b) по Риману (Курцвейлю – Хенстоку).Теорема 5.

(признак Дирихле)Если неопределенный интеграл F от функции f существует на промежутке [a, b) в смысле Римана (Курцвейля – Хенстока) и ограничен на [a, b), ϕ — функция ограниченной вариации на [a, b), и ϕ (x) → 0 при x → b − 0,то произведение f · ϕ также интегрируемо на [a, b) в смысле Римана (Курцвейля – Хенстока).Доказательства.Будем проверять критерий Коши.

Возьмем любое ε > 0 и проведем небольшое преобразование. b′′ Z Zb′′Zb′′ f ϕ dx = (R − S) ϕ dF = F (b′′ ) ϕ (b′′ ) − (R − S) F dϕ . ′ ′′bbbЗдесь мы воспользовались теоремой об интегрировании по частям, которой не было для интегралов МакШейна, поэтому для Мак-Шейна мы эти признаки не доказываем. Слагаемое F (b′ ) ϕ (b′ ) можно отбросить,потому что неопределенный интеграл F мы можем в каждом случае отсчитывать от точки b′ , и тогда F (b′ ) = 0.49Признак Абеля: По критерию Коши найдется такая точка b̄ ∈ [a, b), что для любой точки b1 ∈ b̄, b будут верны оценки bZ1ε|F (b1 )| = f dx <2sup|ϕ| ′bи|F (b1 )| <ε.2 Var ϕ[a,b)[a,b)Все величины справа конечны, поскольку ϕ — функция ограниченной вариации, и, в частности, ограничена.A теперь можно оценить каждое слагаемое под модулем.

Поскольку F (b′′ ) мы только что сделали достаточномаленьким, величина F (b′′ ) ϕ (b′′) по модулю не превосходит ε/2. А оставшийся интегральчик оцениваемпро изведением максимума F (x) на b̄, b на вариациюϕ.Втораяоценкавыполняетсядлявсехbизb̄,b,поэтому1 она есть верхняя грань для F на [b′ , b′′ ] ⊂ b̄, b , значит интегральчик не превосходит ε/2. Итого меньше ε.Признак Дирихле:Величина интегральчика F (b′′ ) оценивается следующим образом: x b′′ b′′′Z ZZZb′′|F (b )| = f (x) dx = f (x) dx − f (x) dx 6 2 sup f (t) dt = C < +∞.a6x6b ′ baaaПользуясь леммой и стремлением ϕ к нулю, найдем такую точку b̄ ∈ [a, b), чтобы выполнялись оценкиsup |ϕ| < ε/2C[b̄,b)иVar |ϕ| < ε/2C.[b̄,b)Тогда на весь искомый интегральчик получаем оценку C · (ε/2C) + C · (ε/2C) = ε.Выполнен критерий Коши несобственной интегрируемости.Теоремы доказаны.50.