Т.П. Лукашенко - Лекционный курс

0.1. Предисловие.Вот уже который год Тарас Павлович Лукашенко продолжает радовать мехматянских первокурсников интегралами Мак-Шейна и Курцвейля – Хенстока. Этот текст призван помочь в восстановлении и расшифровкеконспектов по первой половине второго семестра, в которой излагаются основные положения теории определенного интеграла.

С другой стороны, вполне может оказаться и так, что текст этот увидят обычные любителиматематики, не связанные с Тарасом Палычем, и им тоже, может быть, удастся что-нибудь понять. Для нихпоясню: интеграл Мак-Шейна — это такое определение интеграла Лебега, достаточно узкое, но для его введенияне требуется понятие меры множества, которое так в курсе и не появляется. Интеграл Курцвейля – Хенстокаявляется более простым определением интеграла Данжуа, поэтому этот математический мутант, с одной стороны, на действительной прямой не слабее интеграла Лебега, а с другой — интегрирует в собственном смысле все,что можно проинтегрировать в любом из трех несобственных смыслов на конечных отрезках (теорема Хейка).Впечатляет и формулировка формулы Ньютона-Лейбница.Этот конспект составлен по лекциям, читавшемся весной 2006 года.

Предыдущие известные конспекты датируются, вроде бы, 2003 годом, и с тех пор курс немного перестроился: например, во второй семестр переехалитеорема Хейка и неравенство Чебышева, поменялись обозначения. Логично ожидать, что и при следующем приходе Тараса Палыча в аудиторию 16-24 курс перестроится, и конспект этот снова устареет. Но, к сожалению,заранее писать конспекты не получается.Была мысль сделать этот текст возможно более подробным, потому что доказательства все непростыеи нетривиальные. С другой стороны, это может быть не вполне удобным, если китайский язык нужно сдавать завтра. И, разумеется, никто не спасет нас почти всюду от ошибок, глюков и очепяток, поэтому в случаечего пишите замечания и предложения туда, откуда вы это скачали (это такая защита копирайта спамом).Наш одноэлементный наборщицкий коллектив желает успехов в изучении матана!Последняя компиляция: 22 сентября 2007 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.0.2.

Обозначения.Если X — множество, E ⊆ X, то χE (x) — характеристическая функция множества E, определенная на X иравная единице при x ∈ E и нулю при x ∈ X \ E.Если f — отображение из множества X в множество Y и E ⊆ X, то f (E) = {f (x) : x ∈ E} ⊆ Y — образмножества E при отображении f . Не путайте это обозначение со следующим: если I = [a, b] — отрезок R, тоF (I) = F (b) − F (a) — приращение F на I.Написание всяческих рукописных буковок местами отличается от оригинала. Например, интегралы для единообразия обозначены буквами R, M и H, хотя правдоподобнее выглядят варианты R, M и H .

ЗнаменитуюЛукашенковскую букву B, быть может, точнее было бы изобразить как P.δ-окрестность точки ξ обозначается Bδ (ξ). Проколотая δ-окрестность ξ — это Bδ′ (ξ) = Bδ (ξ) \ {ξ}.Длина отрезка I = [a, b] обозначается |I| = b − a.Остальные обозначения будем вводить по мере их появления.1Содержание0.1.0.2.Предисловие. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Обозначения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111.Определение интегрирования.1.1.Основные определения. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.Базы Римана, Мак-Шейна и Курцвейля – Хенстока. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.Простейшие свойства интегралов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33452.Дальнейшие свойства интегралов.2.1.Интегрируемость на подотрезках. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.Аддитивность по отрезку. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.Формула Ньютона – Лейбница. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .66793.Внешняя мера Лебега и критерий Лебега.3.1.Определение и свойства внешней меры. . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.Достаточное условие интегрируемости. . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.Необходимое условие интегрируемости по Риману.

Критерий Лебега.3.4.Интегрирование функций, определенных почти всюду. . . . . . . . .4.....1111121417Измеримые функции.4.1.Два определения измеримости функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.Интегрируемость ограниченных измеримых функций. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .181819........................................................5.Неопределенный интеграл.206.Леммы Колмогорова – Сакса – Хенстока и Витали.227.8.Еще7.1.7.2.7.3.несколько теорем об интегралах.Непрерывность и дифференцируемость неопределенного интеграла. . . . . . . . . . . . . . . .Неравенство Чебышева. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Абсолютность интеграла Мак-Шейна. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Интегралы Стилтьеса.25252727299.Вариация. Функции ограниченной вариации.9.1.Два определения вариации.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.2.Свойства вариации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.3.Представление VB-функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .3333343510.И еще несколько теорем об интегралах.10.1.Интегрируемость непрерывных функций по VB-функциям. . . . . . . . . . . .10.2.Интегрирование по частям в интеграле Римана – Стилтьеса. . . . . . . . . . .10.3.Cведение интеграла Римана – Стилтьеса к интегралу Римана. . . . . . . . . .10.4.Сведение интеграла Курцвейля – Хенстока к интегралу Римана – Стилтьеса. .10.5.Замена переменной под знаком интеграла. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .10.6.Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. . . . . . . . . .10.7.Теоремы о среднем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........3737383940414242Несобственные интегралы.11.1.Сведение несобственных интегралов к собственным. Теорема Хейка. . . . . . . . . . . . . . .

.11.2.Признаки сходимости несобственных интегралов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45454811.2........................................................1. Определение интегрирования.1.1. Основные определения.Определение. Отрезки I и J называются неперекрывающимися, если их пересечение I ∩J пусто или состоитиз одной точки, являющейся концом каждого из них.Определение.

Система неперекрывающихся отрезков — это такая система отрезков, любые два отрезкакоторой неперекрывающиеся.Определение. Разбиением T отрезка [a, b] называют конечную систему неперекрывающихся отрезков, объединение которых равно [a, b].Определение. Любая конечная система неперекрывающихся отрезков, лежащих в [a, b], называется подразбиением отрезка [a, b].Определение. Отмеченным разбиением (или разбиением Мак-Шейна) T отрезка [a, b] называют конечныйнабор пар (∆i ; ξi ), где отрезки {∆i } образуют разбиение отрезка [a, b], а точки ξi лежат на отрезке [a, b]. Приэтом точки ξi называются отмеченными точками, соответствующими отрезкам разбиения ∆i .Определение. Разбиение Мак-Шейна T = {(∆i ; ξi )} называется разбиением Хенстока, если все отмеченныеточки лежат в своих отрезках, то есть для всех пар (∆i ; ξi ) выполняется условие ξi ∈ ∆i .Определение.

Пусть дано число δ > 0. Будем говорить, что разбиение T = {(∆i ; ξi )} отрезка [a, b] мельчеδ, если длина любого отрезка ∆i строго меньше δ, или, что то же самое, max {|∆i |} < δ.Определение. Масштабом на множестве E называется любая строго положительная функция на E.Определение. Пусть δ (x) — масштаб на [a, b].

Тогда будем говорить, что разбиение T = {(∆i ; ξi )} согласовано с масштабом δ (x), если во всех парах (∆i ; ξi ) имеет место включение ∆i ⊂ Bδ (ξi ) (ξi ).Пусть теперь действительнозначная или комплекснозначная функция f определена на отрезке [a, b].Определение. Интегральной суммой от f , соответствующей отмеченному разбиению T = {(∆i ; ξi )} отрезка[a, b], называется выражениеXσ (f, T) =f (ξi ) |∆i | .iОпределение. Функция f интегрируема на [a, b] в смысле Римана и I — ее интеграл Римана, если длялюбого ε > 0 найдется такое число δ > 0, что для любого разбиения T = {(∆i ; ξi )} Хенстока отрезка [a, b] мельчеδ выполняется оценка |σ (f, T) − I| < ε.В этом случае пишут f ∈ R [a, b] иZb(R) f dx = I.aОпределение. Функция f интегрируема на [a, b] в смысле Мак-Шейна и I — ее интеграл Мак-Шейна, еслидля любого ε > 0 найдется такой масштаб δ (x) на [a, b], что для любого разбиения T = {(∆i ; ξi )} Мак-Шейнаотрезка [a, b], согласованного с δ (x), выполняется оценка |σ (f, T) − I| < ε.В этом случае пишут f ∈ M [a, b] иZb(M) f dx = I.aОпределение.

Функция f интегрируема на [a, b] в смысле Курцвейля — Хенстока и I — ее интегралКурцвейля – Хенстока, если для любого ε > 0 найдется такой масштаб δ (x) на [a, b], что для любого разбиенияT = {(∆i ; ξi )} Хенстока отрезка [a, b], согласованного с δ (x), выполняется оценка |σ (f, T) − I| < ε.В этом случае пишут f ∈ H [a, b] иZb(H) f dx = I.a31.2.

Базы Римана, Мак-Шейна и Курцвейля – Хенстока.RБаза Римана B на отрезке [a, b] состоит из множеств Bδ , каждое из которых есть множество всевозможныхразбиений T = {(∆i ; ξi )} Хенстока отрезка [a, b] мельче δ.База Мак-Шейна BM на отрезке [a, b] состоит из множеств Bδ (x) , каждое из которых есть множество всевозможных разбиений T = {(∆i ; ξi )} Мак-Шейна отрезка [a, b], согласованных с δ (x).База Курцвейля – Хенстока BH на отрезке [a, b] состоит из множеств Bδ (x) , каждое из которых есть множество всевозможных разбиений T = {(∆i ; ξi )} Хенстока отрезка [a, b], согласованных с δ (x).Несложно доказать, что множества BR , BM и BH действительно являются базами, то есть выполняютсяследующие свойства базы:1.

Ни один элемент базы не является пустым множеством;2. В пересечении любых двух элементов базы содержится третий.Второе свойство проверяется элементарно: в пересечении элементов базы, заданных мелкостями δ1 и δ2(масштабами δ1 (x) и δ2 (x)), содержится элемент, заданный мелкостью min {δ1 , δ2 } (соответственно, масштабомmin {δ1 (x) , δ2 (x)}). Для интеграла Римана первое свойство также очевидно: найдем по аксиоме Архимеда такоенатуральное число n, что b−an < δ , и разобьем [a, b] на n равных отрезков, выбирая произвольно отмеченныеточки в них; полученное разбиение будет лежать в Bδ ∈ BR , чем и показано, что Bδ не пусто.