Т.П. Лукашенко - Лекционный курс (1114487), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Само множество R можно покрыть системой интервалов { (i − 1, i + 2)} , i ∈ Z. Этой же системой можнопокрыть и любое подмножество E ⊆ R. Таким образом, множество систем интервалов, покрывающих E, непусто, и, значит, множество G ⊂ R сумм длин интервалов таких систем не пусто и ограничено снизу нулем. Поэтому по принципу полноты Вейерштрасса множество G имеет точную нижнюю грань, которая по определениюи будет внешней мерой Лебега множества Е . Поскольку ноль является нижней гранью множества G, точнаянижняя грань G не может быть меньше нуля.2. Ясно, что от введения бесконечных интервалов мера никакого множества не уменьшится — ведь, покрываямножество бесконечными интервалами, мы никак не получим меру меньше, чем была (бесконечность не меньшеникакого числа). В то же время мера не может увеличится, потому что никто не заставляет использоватьбесконечные интервалы, если и без них хорошо.3.
Пустое множество можно покрыть, например, пустой системой интервалов, а точку — ее окрестностьюрадиуса меньше ε.Утверждения доказаны.Утверждение.Если в определении внешней меры Лебега заменить интервалы отрезками, то получится эквивалентное определение.Доказательство.Обозначим меру по отрезкам через µ∗s , а меру по интервалам — через µ∗i . Пусть E ⊆ R. Требуется доказатьдве вещи.1. µ∗s E 6 µ∗i E. Действительно, пусть {ℓi }, i ∈ N — любая система интервалов, покрывающих E. Тогда, добавивк каждому интервалу его концы, получим систему отрезков {ℓ′i }, i ∈ N, покрывающих E.
Таким образом, отрезкиничуть не хуже интервалов. 2. µ∗i E 6 µ∗s E. Возьмем любое ε > 0. Пусть ℓi , i ∈ N — любая система отрезков, покрывающихE. Тогда построим систему интервалов {ℓi }, i ∈ N, где ℓi ⊂ ℓi для всех i ∈ N и при этом |ℓi | 6 ℓi + 2εi . Тогда система{ℓi }, i ∈ N покрывает E, и при этом X XX ℓi + ε.ℓi + ε 6|ℓi | 6i2iiiВ силу произвольности ε > 0, переходя к точным нижним граням, получаем, что мера по интервалам будетне меньше меры по отрезкам.Утверждение доказано.11Утверждение.SPЕсли {Ei }, i ∈ N — не более чем счетная система множеств, E = Ei , то µ∗ E 6 µ∗ Ei .iiДоказательство. Возьмем любое ε > 0, и пусть для всех i ∈ N выбрана покрывающая Ei система интервалов ℓij , такая, чтоX ℓij < µ∗ Ei + ε .2ij Тогда совокупность всех интервалов ℓij , j ∈ N, i ∈ N покрывает E, и при этомX XX Xε X ∗ℓij 6ℓij 6µ∗ Ei + i 6µ Ei + ε.2i,jijiiУстремляя ε к нулю, получаем требуемое утверждение.
В этой выкладке первое неравенство требует отдельного рассмотрения: требуется показать, что бесконечная сумма действительно не зависит слишком сильноот порядка суммирования, то есть мы в этот момент утверждаем, что сумма при любом порядке суммирования не превышает написанную справа. Действительно, для любой конечной суммы можно проделать такуюформальную выкладку:n XX i XX i i (k) ℓj 6ℓj .ℓj (k) 6k=1i6max{i (k)}j6max{j (k)}ijТаким образом, неравенство сохранится и для бесконечной суммы как предела конечных сумм. Когда-нибудьмы сможем ссылаться на теорему Коши о перестановке членов абсолютно сходящегося ряда, которая утверждает, что на самом деле эти суммы равны, но пока достаточно более слабого утверждения.Утверждение доказано.Утверждения.1.
Если E ⊆ F ⊆ R, то µ∗ E 6 µ∗ F . В частности, если µ∗ F = 0, то и µ∗ E = 0.S2. Если {Ei }, i ∈ N — не более чем счетная система подмножеств R, все Ei имеют меру нуль, и E ⊆ Ei , тоiµ∗ E = 0.3. Не более чем счетные множества имеют меру нуль по Лебегу.Доказательства.1. Множество E содержится в объединении не более чем счетной системы множеств, состоящей из одногомножества {F }, поэтому µ∗ E 6 µ∗ F . В частности, если µ∗ F = 0, то 0 6 µ∗ E 6 µ∗ F = 0.P2. 0 6 µ∗ E 6 µ∗ Ei = 0.iS3. Если E = {ei } ⊂ R, то E = ei .iУтверждения доказаны.Определение. Если какое-то свойство выполняется для всех точек множества E ⊆ R, кроме некоторогоподмножества F ⊆ E, и при этом µ∗ F = 0, то будем говорить, что это свойство выполняется почти всюду на E.3.2.
Достаточное условие интегрируемости.Лемма.nЕсли {∆i }i=1 — разбиение отрезка [a, b], отрезок [c, d ] ⊆ [a, b], то невырожденные отрезки [c, d ] ∩ ∆i образуютразбиение отрезка [c, d ], и сумма их длин равна d − c.Доказательство.Пусть ∆i = [ai−1 , ai ], где i = 1, . . . , n, иa = a0 < a1 < a2 < · · · < an = b.Тогда найдутся такие числа k и l, что ak−1 6 c < ak и al−1 < d 6 al . В этом случае невырожденнымиотрезками будут (только) отрезки[c, ak ] , ∆k+1 , . .
. , ∆l−1 , [al−1 , d ] .Они образуют разбиение [c, d ], и сумма их длин равна (ak − c) + (ak+1 − ak ) + · · · + (d − al−1 ) = d − c.Лемма доказана.12Теорема 1. (достаточное условие интегрируемости)Если f ограничена на отрезке [a, b] и непрерывна почти всюду на [a, b], то f интегрируема на [a, b] по Римануи Мак-Шейну (и, следовательно, по Курцвейлю – Хенстоку).Доказательство.Возьмем любое ε > 0. Найдем не более чем счетную систему интервалов {ℓi }, i ∈ N, покрывающую все точкиразрыва функции f , такую, чтоXε.(1)|ℓi | 68·sup|f |i[a, b]Здесь мы воспользовались ограниченностью функции f . A для любой точки отрезка [a, b], в которой функцияf непрерывна, найдем такое число γ (x), чтобыεf B3γ (x) (x) ⊆ B 4 (b−a)(f (x))(2)Таким образом, выбрана система интервалов {ℓi } ∪ Bγ (x) (x) , покрывающая отрезок [a, b].
По теоремеГейне – Бореля можно выбрать конечное подпокрытие отрезка [a, b], состоящее, например, из таких интервалов:ℓi1 , . . . , ℓip ,Bγ (x1 ) (x1 ) , . . . , Bγ (xq ) (xq ) .Снова пользуясь ограниченностью функции f , выберем число δ > 0 так, чтобы выполнялись два условия:ε,(3)2·p·δ <8 · sup |f |[a, b]δ < min {γ (xk )} .(4)16k6q— два разбиения ХенстокаА вот теперь проверим критерий Коши. Пусть T = {(∆i ; ξi )} и T′ = ∆′j ; ξj′(Мак-Шейна) отрезка [a, b] мельче δ (согласованные с масштабом δ (x) ≡ δ). Тогда, пользуясь леммой, производим следующую оценку: X XXXXX′′′ ′′ ′ ∆i ∩ ∆j −f ξj∆i ∩ ∆j =|σ (f, T) − σ (f, T )| = f (ξi ) |∆i | −f ξj ∆j = f (ξi ) i ijijj X X X X f (ξi ) − f ξj′ ∆i ∩ ∆′j .= f (ξi ) − f ξj′ ∆i ∩ ∆′j 6 i jijРазобьем двойную сумму на две части по принадлежности точки ξi к системе интервалов ℓi1 , .
. . , ℓip . Тогдата часть суммы, где ξi лежит в объединении ℓik , грубо оценивается следующим образом (пользуемся леммойи условиями (1) и (3)):Xξi ∈pSk=1ℓikX f (ξi ) − f ξj′ ∆i ∩ ∆′j 6 2 · sup |f | ·[a, b]j6 2 · sup |f | ·[a, b]Xi|ℓi | + 2pδ!Xξi ∈pSk=1< 2 · sup |f | · [a, b]|∆i | < 2 · sup |f | ·[a, b]ℓikpX(|ℓik | + 2δ) 6k=1εε ε+= .8 · sup |f | 8 · sup |f |2[a, b][a, b]Вторая же сумма оценивается более хитро. Если ξi не лежит ни в одном из ℓik , то ξi ∈ Bγ (xm ) (xm ). Поэтому,учитывая, что ∆i ∩ ∆′j 6= ∅, можно утверждать, что ξj′ ∈ B3γ (xm ) (xm ).
Подробнее: для интеграла Риманарасстояние между ξi и ξj′ не превышает суммы длин отрезков ∆i и ∆′j , которая меньше 2δ < 2γ (xm ) (пользуемсяусловием (4)), а так как от xm до ξi расстояние меньше γ (xm ), то в сумме как раз и получается меньше3γ (xm ); в случае интеграла Мак-Шейна отрезки ∆i и ∆′j пересекаются, значит, пересекаются и содержащие ихокрестности Bδ (ξi ) и Bδ ξj′ , и в сумме снова получаем 2δ + γ (xm ), что меньше, чем 3γ (xm ). Отсюда, используядо сих пор остававшуюся невостребованной оценку (2), получаем, чтоεf (ξi ) − f ξj′ 6 |f (ξi ) − f (xm )| + f (xm ) − f ξj′ <.2 (b − a)Таким образом, вторая сумма оценивается величинойX X f (ξi ) − f ξ ′ ∆i ∩ ∆′ 6jjξi ∈/pSk=1ℓikj13XXε∆i ∩ ∆′ = ε .j2 (b − a) i j2Подведем итог: мы показали, что для любого ε > 0 можно найти такое число δ > 0 (оно же масштабδ (x) ≡ δ), что для любых двух разбиений T и T′ Хенстока мельче δ (Мак-Шейна, согласованных с масштабомδ (x)) разность соответствующих им интегральных сумм меньше, чем ε/2 + ε/2 = ε.
Выполнен критерий Коши.Теорема доказана.Следствия.1. Непрерывные на отрезке [a, b] функции интегрируемы по Риману и Мак-Шейну на [a, b], поскольку любаянепрерывная на отрезке функция ограничена.2. Монотонные функции тоже интегрируемы по Риману и Мак-Шейну, так как все разрывы монотонныхфункций — первого рода, и им соответствуют конечные промежутки (не пустые и не одноточечные) в областизначений функции, которых может быть не более чем счетное множество — ведь каждому можно поставитьв соответствие какое-нибудь рациональное число, которое в нем лежит. Значит, и множество точек разрыва неболее чем счетно. К тому же функция, монотонная на отрезке [a, b], ограничена на нем значениями f (a) и f (b).3.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
