Т.П. Лукашенко - Лекционный курс (1114487)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

0.1. Предисловие.Вот уже который год Тарас Павлович Лукашенко продолжает радовать мехматянских первокурсников интегралами Мак-Шейна и Курцвейля – Хенстока. Этот текст призван помочь в восстановлении и расшифровкеконспектов по первой половине второго семестра, в которой излагаются основные положения теории определенного интеграла.

С другой стороны, вполне может оказаться и так, что текст этот увидят обычные любителиматематики, не связанные с Тарасом Палычем, и им тоже, может быть, удастся что-нибудь понять. Для нихпоясню: интеграл Мак-Шейна — это такое определение интеграла Лебега, достаточно узкое, но для его введенияне требуется понятие меры множества, которое так в курсе и не появляется. Интеграл Курцвейля – Хенстокаявляется более простым определением интеграла Данжуа, поэтому этот математический мутант, с одной стороны, на действительной прямой не слабее интеграла Лебега, а с другой — интегрирует в собственном смысле все,что можно проинтегрировать в любом из трех несобственных смыслов на конечных отрезках (теорема Хейка).Впечатляет и формулировка формулы Ньютона-Лейбница.Этот конспект составлен по лекциям, читавшемся весной 2006 года.

Предыдущие известные конспекты датируются, вроде бы, 2003 годом, и с тех пор курс немного перестроился: например, во второй семестр переехалитеорема Хейка и неравенство Чебышева, поменялись обозначения. Логично ожидать, что и при следующем приходе Тараса Палыча в аудиторию 16-24 курс перестроится, и конспект этот снова устареет. Но, к сожалению,заранее писать конспекты не получается.Была мысль сделать этот текст возможно более подробным, потому что доказательства все непростыеи нетривиальные. С другой стороны, это может быть не вполне удобным, если китайский язык нужно сдавать завтра. И, разумеется, никто не спасет нас почти всюду от ошибок, глюков и очепяток, поэтому в случаечего пишите замечания и предложения туда, откуда вы это скачали (это такая защита копирайта спамом).Наш одноэлементный наборщицкий коллектив желает успехов в изучении матана!Последняя компиляция: 22 сентября 2007 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.0.2.

Обозначения.Если X — множество, E ⊆ X, то χE (x) — характеристическая функция множества E, определенная на X иравная единице при x ∈ E и нулю при x ∈ X \ E.Если f — отображение из множества X в множество Y и E ⊆ X, то f (E) = {f (x) : x ∈ E} ⊆ Y — образмножества E при отображении f . Не путайте это обозначение со следующим: если I = [a, b] — отрезок R, тоF (I) = F (b) − F (a) — приращение F на I.Написание всяческих рукописных буковок местами отличается от оригинала. Например, интегралы для единообразия обозначены буквами R, M и H, хотя правдоподобнее выглядят варианты R, M и H .

ЗнаменитуюЛукашенковскую букву B, быть может, точнее было бы изобразить как P.δ-окрестность точки ξ обозначается Bδ (ξ). Проколотая δ-окрестность ξ — это Bδ′ (ξ) = Bδ (ξ) \ {ξ}.Длина отрезка I = [a, b] обозначается |I| = b − a.Остальные обозначения будем вводить по мере их появления.1Содержание0.1.0.2.Предисловие. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Обозначения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111.Определение интегрирования.1.1.Основные определения. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.Базы Римана, Мак-Шейна и Курцвейля – Хенстока. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.Простейшие свойства интегралов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33452.Дальнейшие свойства интегралов.2.1.Интегрируемость на подотрезках. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.Аддитивность по отрезку. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.Формула Ньютона – Лейбница. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .66793.Внешняя мера Лебега и критерий Лебега.3.1.Определение и свойства внешней меры. . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.Достаточное условие интегрируемости. . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.Необходимое условие интегрируемости по Риману.

Критерий Лебега.3.4.Интегрирование функций, определенных почти всюду. . . . . . . . .4.....1111121417Измеримые функции.4.1.Два определения измеримости функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.Интегрируемость ограниченных измеримых функций. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .181819........................................................5.Неопределенный интеграл.206.Леммы Колмогорова – Сакса – Хенстока и Витали.227.8.Еще7.1.7.2.7.3.несколько теорем об интегралах.Непрерывность и дифференцируемость неопределенного интеграла. . . . . . . . . . . . . . . .Неравенство Чебышева. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Абсолютность интеграла Мак-Шейна. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Интегралы Стилтьеса.25252727299.Вариация. Функции ограниченной вариации.9.1.Два определения вариации.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.2.Свойства вариации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.3.Представление VB-функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .3333343510.И еще несколько теорем об интегралах.10.1.Интегрируемость непрерывных функций по VB-функциям. . . . . . . . . . . .10.2.Интегрирование по частям в интеграле Римана – Стилтьеса. . . . . . . . . . .10.3.Cведение интеграла Римана – Стилтьеса к интегралу Римана. . . . . . . . . .10.4.Сведение интеграла Курцвейля – Хенстока к интегралу Римана – Стилтьеса. .10.5.Замена переменной под знаком интеграла. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .10.6.Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. . . . . . . . . .10.7.Теоремы о среднем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........3737383940414242Несобственные интегралы.11.1.Сведение несобственных интегралов к собственным. Теорема Хейка. . . . . . . . . . . . . . .

.11.2.Признаки сходимости несобственных интегралов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45454811.2........................................................1. Определение интегрирования.1.1. Основные определения.Определение. Отрезки I и J называются неперекрывающимися, если их пересечение I ∩J пусто или состоитиз одной точки, являющейся концом каждого из них.Определение.

Система неперекрывающихся отрезков — это такая система отрезков, любые два отрезкакоторой неперекрывающиеся.Определение. Разбиением T отрезка [a, b] называют конечную систему неперекрывающихся отрезков, объединение которых равно [a, b].Определение. Любая конечная система неперекрывающихся отрезков, лежащих в [a, b], называется подразбиением отрезка [a, b].Определение. Отмеченным разбиением (или разбиением Мак-Шейна) T отрезка [a, b] называют конечныйнабор пар (∆i ; ξi ), где отрезки {∆i } образуют разбиение отрезка [a, b], а точки ξi лежат на отрезке [a, b]. Приэтом точки ξi называются отмеченными точками, соответствующими отрезкам разбиения ∆i .Определение. Разбиение Мак-Шейна T = {(∆i ; ξi )} называется разбиением Хенстока, если все отмеченныеточки лежат в своих отрезках, то есть для всех пар (∆i ; ξi ) выполняется условие ξi ∈ ∆i .Определение.

Пусть дано число δ > 0. Будем говорить, что разбиение T = {(∆i ; ξi )} отрезка [a, b] мельчеδ, если длина любого отрезка ∆i строго меньше δ, или, что то же самое, max {|∆i |} < δ.Определение. Масштабом на множестве E называется любая строго положительная функция на E.Определение. Пусть δ (x) — масштаб на [a, b].

Тогда будем говорить, что разбиение T = {(∆i ; ξi )} согласовано с масштабом δ (x), если во всех парах (∆i ; ξi ) имеет место включение ∆i ⊂ Bδ (ξi ) (ξi ).Пусть теперь действительнозначная или комплекснозначная функция f определена на отрезке [a, b].Определение. Интегральной суммой от f , соответствующей отмеченному разбиению T = {(∆i ; ξi )} отрезка[a, b], называется выражениеXσ (f, T) =f (ξi ) |∆i | .iОпределение. Функция f интегрируема на [a, b] в смысле Римана и I — ее интеграл Римана, если длялюбого ε > 0 найдется такое число δ > 0, что для любого разбиения T = {(∆i ; ξi )} Хенстока отрезка [a, b] мельчеδ выполняется оценка |σ (f, T) − I| < ε.В этом случае пишут f ∈ R [a, b] иZb(R) f dx = I.aОпределение. Функция f интегрируема на [a, b] в смысле Мак-Шейна и I — ее интеграл Мак-Шейна, еслидля любого ε > 0 найдется такой масштаб δ (x) на [a, b], что для любого разбиения T = {(∆i ; ξi )} Мак-Шейнаотрезка [a, b], согласованного с δ (x), выполняется оценка |σ (f, T) − I| < ε.В этом случае пишут f ∈ M [a, b] иZb(M) f dx = I.aОпределение.

Функция f интегрируема на [a, b] в смысле Курцвейля — Хенстока и I — ее интегралКурцвейля – Хенстока, если для любого ε > 0 найдется такой масштаб δ (x) на [a, b], что для любого разбиенияT = {(∆i ; ξi )} Хенстока отрезка [a, b], согласованного с δ (x), выполняется оценка |σ (f, T) − I| < ε.В этом случае пишут f ∈ H [a, b] иZb(H) f dx = I.a31.2.

Базы Римана, Мак-Шейна и Курцвейля – Хенстока.RБаза Римана B на отрезке [a, b] состоит из множеств Bδ , каждое из которых есть множество всевозможныхразбиений T = {(∆i ; ξi )} Хенстока отрезка [a, b] мельче δ.База Мак-Шейна BM на отрезке [a, b] состоит из множеств Bδ (x) , каждое из которых есть множество всевозможных разбиений T = {(∆i ; ξi )} Мак-Шейна отрезка [a, b], согласованных с δ (x).База Курцвейля – Хенстока BH на отрезке [a, b] состоит из множеств Bδ (x) , каждое из которых есть множество всевозможных разбиений T = {(∆i ; ξi )} Хенстока отрезка [a, b], согласованных с δ (x).Несложно доказать, что множества BR , BM и BH действительно являются базами, то есть выполняютсяследующие свойства базы:1.

Ни один элемент базы не является пустым множеством;2. В пересечении любых двух элементов базы содержится третий.Второе свойство проверяется элементарно: в пересечении элементов базы, заданных мелкостями δ1 и δ2(масштабами δ1 (x) и δ2 (x)), содержится элемент, заданный мелкостью min {δ1 , δ2 } (соответственно, масштабомmin {δ1 (x) , δ2 (x)}). Для интеграла Римана первое свойство также очевидно: найдем по аксиоме Архимеда такоенатуральное число n, что b−an < δ , и разобьем [a, b] на n равных отрезков, выбирая произвольно отмеченныеточки в них; полученное разбиение будет лежать в Bδ ∈ BR , чем и показано, что Bδ не пусто.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций