Т.П. Лукашенко - Лекционный курс, страница 2

Поскольку во всяком элементе базы Мак-Шейна содержится элемент базы Курцвейля – Хенстока, заданный тем же масштабом,осталось только доказать следующее утверждение:Лемма. (о существовании разбиений)Для любого масштаба δ (x) > 0, заданного на отрезке [a, b], найдется согласованное с ним разбиение Хенстокаотрезка [a, b].Доказательство.Пусть для некоторого масштаба δ (x) не существует согласованного с ним разбиения отрезка [a, b] = I1 .Разделим отрезок I1 пополам, и пусть I2 — та его половина, для которой не существует разбиения, согласованного с δ (x).

Действительно, если бы для каждой половины существовало отмеченное разбиение, согласованноес δ (x), то объединение разбиений половинок было бы разбиением всего отрезка I1 , согласованным с δ (x), чтопротиворечит нашему предположению.Разделим отрезок I2 пополам, и пусть I3 — та его половина, для которой не существует разбиения, согласованного с δ (x). Действительно, если бы для каждой половины существовало отмеченное разбиение, согласованноес δ (x), то объединение разбиений половинок было бы разбиением всего отрезка I2 , согласованным с δ (x), чтопротиворечит нашему предположению.Разделим отрезок I3 пополам, и пусть I4 — та его половина, для которой не существует разбиения, согласованного с δ (x) . .

.Продолжая этот процесс, получим последовательность вложенных отрезковI1 ⊂ I2 ⊂ I3 ⊂ I4 ⊂ · · · ,причем длины отрезков стремятся к нулю. Пусть ξ — общая точка всех отрезков. Поскольку длины отрезковстремятся к нулю, найдется натуральное число n, такое, что |In | < δ (ξ).

Но тогда {(In , ξ)} — отмеченноеразбиение отрезка In , согласованное с масштабом δ (x), что противоречит выбору In .Лемма доказана.Таким образом, сравнивая определения интегрирования и предела по базе, можем переправить определениеинтегрируемости:(R)Zbf dx = lim σ (f, T) ,Zbf dx = lim σ (f, T) ,Zbf dx = lim σ (f, T) .BRa(M)BMa(H)BHa41.3. Простейшие свойства интегралов.Из этих утверждений сразу следуют некоторые простейшие свойства интегралов Римана, Мак-Шейнаи Курцвейля – Хенстока.Утверждение 1.

(о взаимосвязи интегралов)Если функция f ∈ R [a, b] или f ∈ M [a, b], то f ∈ H [a, b] и значения интегралов совпадают.Доказательство.Для интеграла Римана: каждый элемент базы Римана Bδ содержит внутри себя элемент базы Курцвейля –Хенстока, задаваемый масштабом δ (x) ≡ δ/2. Таким образом, если найдется число δ, для которого оценкавыполнена, то найдется и масштаб.Для интеграла Мак-Шейна: всякое разбиение Хенстока является разбиением Мак-Шейна, поэтому еслиоценка выполняется для всех разбиений Мак-Шейна, то, в частности, и для разбиений Хенстока.Утверждение доказано.Замечания.При доказательстве этого утверждения можно ссылаться на соответствующие теоремы о пределах по базе.Всегда полезно напомнить, что в этом курсе не бывает “разбиений Римана” или “разбиений Курцвейля – Хенстока”,а бывают только разбиения Мак-Шейна и их разновидность — разбиения Хенстока.Утверждение о том, что из интегрируемости по Риману следует интегрируемость по Мак-Шейну, будет доказанопозднее, как следствие из критерия Лебега.В дальнейшем будем считать, что все на свете интегралы понимаются всего в трех смыслах, и все они перечислены выше.

Правда, потом появятся еще три интеграла Стилтьеса и три несобственных интеграла, и тогда надо будетсоображать, о каких трех смыслах идет речь.Утверждение 2. (о линейности по функции)Если функция f интегрируема на отрезке [a, b] в каком-либо смысле, то для любого числа λ функция λfтоже интегрируема на [a, b] в том же смысле, и выполняется равенствоZbλf dx = λ ·aZbf dx.aЕсли две функции f и g интегрируемы на [a, b] в одном и том же смысле, то функция f +g тоже интегрируемана [a, b] в том же самом смысле, и выполняется равенствоZb(f + g) dx =aZbf dx +aZbg dx.aДоказательство.Очевидно, что для любого разбиения T отрезка [a, b] выполняются равенстваσ (λf, T) = λ · σ (f, T) ,σ (f + g, T) = σ (f, T) + σ (g, T) .Теперь для доказательства утверждения достаточно сослаться на линейность по функции предела по базе.То есть интегральная сумма линейна по функции, а предел по базе линеен по интегральной сумме.Утверждение доказано.Утверждение 3. (о сохранении неравенств)Если f и g интегрируемы на [a, b], возможно, в разных смыслах, и f (x) 6 g(x) для всех x ∈ [a, b], тоZbf dx 6aZbg dx.aДоказательство.Поскольку из интегрируемости в любом смысле следует интегрируемость по Курцвейлю – Хенстоку с тем жезначением интеграла, можно считать, что оба интеграла понимаются в смысле Курцвейля – Хенстока.

Очевидно,для любого разбиения T Хенстока отрезка [a, b] выполняется неравенство σ (f, T) 6 σ (g, T). Таким образом,утверждение следует из сохранения неравенства при переходе к пределу по базе Курцвейля – Хенстока.Утверждение доказано.5Утверждение 4.

(критерий Коши интегрируемости)Функция f интегрируема на отрезке [a, b] в смысле Римана тогда и только тогда, когда f определена на [a, b]и для любого ε > 0 найдется такое число δ > 0, что для любых двух разбиений T и T′ Хенстока отрезка [a, b]мельче δ выполняется оценка |σ (f, T) − σ (f, T′ )| < ε.Функция f интегрируема на отрезке [a, b] в смысле Мак-Шейна тогда и только тогда, когда f определена на[a, b] и для любого ε > 0 найдется такой масштаб δ (x) на [a, b], что для любых двух разбиений T и T′ Мак-Шейнаотрезка [a, b], согласованных с δ (x), выполняется оценка |σ (f, T) − σ (f, T′ )| < ε.Функция f интегрируема на отрезке [a, b] в смысле Курцвейля – Хенстока тогда и только тогда, когда fопределена на [a, b] и для любого ε > 0 найдется такой масштаб δ (x) на [a, b], что для любых двух разбиений Tи T′ Хенстока отрезка [a, b], согласованных с δ (x), выполняется оценка |σ (f, T) − σ (f, T′ )| < ε.Доказательство.Утверждение представляет собой переформулировку критерия Коши существования предела по базе.

Такчто в качестве доказательства напомним формулировку: функция h имеет предел по базе B тогда и толькотогда, когда h определена на некотором элементе базы и∀ε > 0 ∃B ∈ B : ∀t1 ∈ B, ∀t2 ∈ B|h (t1 ) − h (t2 )| < ε.Утверждение доказано.2. Дальнейшие свойства интегралов.2.1. Интегрируемость на подотрезках.Теорема 1. (об интегрируемости на подотрезках)Если функция f интегрируема на отрезке [a, b] в каком-либо смысле, то f интегрируема и на любом подотрезке [a′ , b′ ] ⊆ [a, b] в том же смысле.Доказательство.Поскольку о значении интегралов мы ничего не утверждаем, можно воспользоваться критерием Коши.

Возьмем любое ε > 0 и найдем такое число δ > 0 (а в случае интегрирования в смысле Мак-Шейна или Курцвейля –Хенстока — масштаб δ (x) на [a, b]), чтобы для любых отмеченных разбиений T и T′ Хенстока (Мак-Шейна,Хенстока) отрезка [a, b] выполнялась оценка |σ (f, T) − σ (f, T′ )| < ε.eиTe ′ — разбиения отрезка [a′ , b′ ] Хенстока (Мак-Шейна, Хенстока) мельче δ (согласованные с δ (x)).Пусть TЕсли a 6= a′ , то пусть Ta — разбиение Хенстока (Мак-Шейна, Хенстока) отрезка [a, a′ ] мельче δ (согласованноес δ (x)), в противном случае Ta = ∅ .Если b 6= b′ , то пусть Tb — разбиение Хенстока (Мак-Шейна, Хенстока) отрезка [b′ , b] мельче δ (согласованноес δ (x)), в противном случае Tb = ∅ .Положимe ⊔ Ta ⊔ Tb ,T=Te ′ ⊔ Ta ⊔ Tb .T′ = TТогда, очевидно,e + σ (f, Ta ) + σ (f, Tb ) ,σ (f, T) = σ f, Te ′ + σ (f, Ta ) + σ (f, Tb ) .σ (f, T′ ) = σ f, TT и T′ — тоже разбиения Хенстока (Мак-Шейна, Хенстока) отрезка [a, b] мельче δ (согласованные с δ (x)),поэтому доказательство завершается просто и элегантно: e − σ f, Te ′ = |σ (f, T) − σ (f, T′ )| < ε.σ f, Te иTe ′ Хенстока (МакВсе σ (f, Ta ) и σ (f, Tb ) сократились.

Мы показали, что для любых двух разбиений T′ ′e − σ f, Te ′ < ε.Шейна, Хенстока) отрезка [a , b ] мельче δ (согласованных с δ (x)) выполняется оценка σ f, TТаким образом, выполнен критерий Коши.Теорема доказана.62.2. Аддитивность по отрезку.Лемма. (об ограниченности интегрируемых по Риману функций)Если функция f интегрируема на отрезке [a, b] в смысле Римана, то f ограничена на [a, b].Доказательство.Если некоторая функция имеет предел по некоторой базе, то она ограничена на некотором элементе этойбазы.

В данном случае роль функции играет интегральная сумма, поэтому требуется показать, что какое бычисло δ > 0 мы ни выбрали, всегда найдется разбиение Хенстока отрезка [a, b] мельче δ, интегральная сумма откоторого по модулю больше любого наперед заданного числа.Действительно, пусть T = {∆i } — разбиение [a, b], причем max {|∆i |} < δ. Тогда непременно найдется такой отрезок ∆j , на котором функция f неограничена. Зафиксируем какие-нибудь точки ξi ∈ ∆i при i 6= j,и представим интегральную сумму в видеXf (ξj ) |∆j | +f (ξi ) |∆i | ,i6=jгде точку ξj ∈ ∆j мы еще не выбрали.