Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа, страница 9

На!О)иь!(Й) 6 (о + 1РИ() =- а + 2о61 + 6 7 =- (а — 6 ') + 12а6)6 Два комплексных числа -1 =" а>+ + 611 и ва =- а] + 6)1' считаются уао- )пхлги тогда и только тогда, ко( да равны соответственно их д<»йствит(.аы!ыс и мнимьн. части. т. с, кОгда а! =-- Оа и 61 ==- !?.». 'ЬилО = а — 61 наны<!а()г($< кол<а»1<«л<е)н<?-<(?и!?ля<Э<1?О(ьлл< к чи(ь лу В =- а + 61,.

7$?ой~лом комплексного «гасла называется величина г »= !В) = <а + 61! — — х? аз + 6'. Пывед("и формулу для деления камиле'ксных пктл. Если -1 =- а< <- 61? и В„» =. <?а + (гз?» при'!См )=а) у? О, то а) + 611 (а? + 61!)(Оа — 6)1) аа 1 6а? (а» .! 6а(Нах — 6В() (а)аа + 6! 6а) + (61 аа — а)6?)( а,-, — 6'.-',?а а)а ? -$- 616а 6<аз — а(6) а.") +. (?; "» а.-, + 6 Пусть с Е? С и = )( О. Угол <р между радиусом-вектором точки и дей(ггвптелыюй осью (см. рик. 1.25) на:)ывается араумюгьчол< '(и(ыа =.

Аргумш(г числа В 6 С опркделястся не одпозня*шо, я с то шостьк) до кратн<и о 2Х. 5!Иожест()о всех зна и ний аргуьюнта В обозначается Агй а . )О зн<<че ние аргумента, которое л< жит В п)юкижутк( (0,2Х), назьн1ается Вланнь(м и Обозначает(я Ях«»'с. ИИО1да удОбне<) Выбирать !лшп!Ое и(ячспие ар(у»»н)нтя н) !0)О- мсжутка (-г..х), Очевидно, иъ<есм (см.

рнс. 1.25) !Ре = == гс()а<р, 1п) — — ? ып»Р. Сде' 1 =- ):), <р б Агй =. С)н донате'!ьио, (1.69) = = ( 'У+?к<и:Р) зто ??ц?агги(омсгпрп (аъ»ал форма ком)(л<?к<»?1<?е<о . Иа аа, ,)1. Э)!ле1) Ввел ноказательну?о фуикци!О е»" = гак<у+ <В<и <(?. (1. 70) Исп<?)<ьзуя формулу З<ше)ра (1.70), получим ао?кола)ясльнук) фоу? .лгу комн)н'к( !ю1 О чис)18, (1.71) где г = ~ "(. <р Е Агй а. Формулы (1.69) и (1.71) показывакп также сВЯ )ь кОХ!плек(нь$х "(ш с)1 (' ПОллрными кОО)эдипятами. 21е( ко Вид< ть, »по комплексньн' '(и< да, Обладают Вс<)ми свойствамп действительных )исел: сложение и умножение кк)мму(ятивны и а<социатиннь<, т.е.;! + Ха == еа + 11 (в) + са) + -ь "1 =-.

В< + (са + сх): <га ---- га?а!'. (В)ха)В< =- -1( асз) для лю52 При 1 6 — -- 1 =,Ей КОР<1 53 бых В), -, 11 умножение дистрибутивпо отн<эс(ггслы(О < дож<*- ния, т е. е?(: + ="5) =- с?аа + ")а» для «побь<х чигсл =1. Ва, гз, для лккх)го комплексного И<ела " выполшн'?ся -+ Π— —. е и ! и слпсствуст пропп)оио:<ажио( <исло (--.) =- ( — 1):» такое, <то ( — В) =-. 0; для лк)бо(.о ненулевого комплекгно< и пила: сущесгвуп) Обратное 'пихю а, такое, чт<? х ''::== 1. Однако в от- -1,...,, 1 ли п1с От $("1)1стВитсе1ы1О!О с.из чая для кОМ1$1!('.ксиых чи<сл теряет смысл <)алони ние порядка, т, е, д:ш двух комплскснь<х чисел !!СВОВК1ОжпО с !явить ВОП1ккз кО!орОс и:5 них бОльше.

Полетит с)к?„тук?шво( форл<ула А!уа<5)х?; »» ( и (в~» 1 к)п<,))»» ?»«(<< Вп,. ко<()1)у<(э негру»ЕВО д<?к?)ляг) ИО ин)(ткции, испОль'<тя три<он(э- М(?1РИ" ИСКИ(' ())ОРХ<<ЫЬ! Д'<и КОС<и)УСВ И СИНУ(В СУММЬ( ДВ»Х «ЦЭ- гум<'птоВ (Прод(О!айте' «)'1'О сях!ОстОят(*ль$И) В ка'и',с'1'в(' упряж<и'- ния), ФОрмуля (1.72) ИО)!ю !Иет няхо Еит! кО)и!и п<)лОй ст(ЕП'ни из ком(!Лсксного чи<ла. Пу(")ь = = гс"" и требу<*г(я найти такое комп:кжсное пи;ло с =-- ое."'!. (то г" == .. 1о<;!а согласно (1.72) »р+ 2/~:;, имеем р" »= г, ?г)? =- о + 26К.

6»Р Х. Огкхда р =- 0 г. '.6 =- — — — — —. 6 Е Х. 'Рвкпм Образом. <р+ 26г., <р+ 26хх( =- 5?г соя — ' — --- -1- )вш — — )»! (= Х. (!.73) П П. При 6 =- 0.1, ..., и — 1 получаем а ра!лнчш(х кор?н й ст(*!и;ии п и'1 с. которьн „<слят окружность радиуса ~lг на и 1я)ш!Ых;(у<. т.с. )1сжя) В В("р!пинах правильно!О ?1-<чо,<ьника, ВписаннОСО В Окружность радиуса (уг. Пример .1.29. Найдем в<ч 1)а)личнь?е корни третьей сп нсни из числа в =- — 1. Имеем г =- ,'с1$, <р=. Ягй а =.г., тяк по .-. =- -1 =.

1 х х(5!". П <1 р. Хле (1. 3) и!)н и .= 3 , »(1) (г 1. 'ч 26'х г. + 2Л'1< ?-. ! .=.- Й е' "»" --- ! Сок -- — — ',- )?йп — — — .! е'-. Х, - =--. О получаем й!» == -,— и < =- со .- Ч ?В)$1 —, .=: — +1 —,: при 3 3 3 № =- к и (1 === соя к+ ?ын;< =. — 1;1!Ои )):=» 2 <$?? =-. — и 3 5К, 5В 1 Л 5<?ь — +(я!и - — = — — 1 —,. '1И<ла с<ь <1«(а вке различньн 3, 3 2 2 и т)к'1 ьсй стык'ии из —.

!. Пример У.ОО. Цайдем ш:е ра)ли'(иые карпи !ствертпй спин(и пз 1и ла " =- 1 =-. 1 (пе. ЦО фпрмул . !1,13) , - / 0+ 2ЬТ. О+ 2)(х)( (Х .= )Р1 соя — -- — - +(йп — — --- ~ . Ь- —.:. 0.1,2.3, Вес' рвз;1И'1313 3[' карпи 'и"пк"ртОЙ ("3(.'3и"пи из '1ш'ла . — '=' 1, Т, ООР( .,:„---. е . 0+ 1;1 О == 1; 1 .== . — -1.1П вЂ” =-1; 2 ,)х, 3г.

гз — — с(ж ";. + ) Яш х = --1; сз =-. сок — + ! й)3 - — =-. --1. 2 2 ;)ахсечаи((е. Из курск пьп шеи а(гебры и:пк гтиа, (то лкяк)й ыиа пшлсв и-й ('3» (к ии пм(ст рамю п„йыть мпж(гг камплсксиых. кпрпей с у к(ию их к(япп[»(ВГ(. 11 шсгиости. корпи;.;, =., мио(очлгиааз + Ь= 3- -! с Второй ст('и( ии [ л( и[-гпителькымп ка-)ффпцисптамк мпжпп находить пп пикс)(к)й [!»)!)ы)зк »1»'1.[33[кр!)хи(31(и!т 1) -:: Ь" - 4[п к)1(ыра(- Ь1 Я1 ипп) Т1»(х 1:к*шк .-.3 2:= ---- —.-- — '. 1п))ькп В ел[*пи 1) ~ 0 зтк (!)Ормула 2п Ь:! ь(!1)!) ИРКИ["1' ПИ)1 "1 * ~) Прилсер 2.32. Ц)йд) ! и е к Рии и ) Окна Р!Х) -.. Хх + -! ' ., 5(ы ' 6.

Цп(.РУдиО 13)х(с тит(ь: ! го = =- 2 ООРащает УРавиепив 3 3 ) 2» ., ' з + 5в — *6 =--: 0 В гпждсс"гво, твк (ТО:1 =- 2 Одии и:1 кор(и)й мио! Очлш(й. Рпс)лежим миегп (лси па мппжи(ели, Одии из КО(орых ! - — 2). Имеем ) 3(ВЧ)3(м( Р, приьи нив д(х(ение столбикам или (*хеь1у Г()рпсрй) Т)12):=- ! ' — 2)1= )- '1, + 13). 1!О63,1 па1мп (х-гаВИ(п([я лий к(й)ня мпО1Очлеиа, иадО реп1и)ь урюии'пис ="' -! 42 1- 13 =- О. ПО изв[ стиым с))ОРХ(у(3(ь( пахе);(им Б =:: !6 — -1 - 13 — -: -36 < О. тик ПΠ— 4+ !и 22) =- — — — - — == — 2 1- 3)'„' 2 -4 -- 63' )и( =.

---;:---- == — 2+ 31 и 21 =.= 2, .-;.:=-. --2 + 3)', )п .=- — 2 т 31' вес три кпрпя дюшогп мисп О ыи"па. Ирилсер 1.32. Нвй„и м пгс корни урав(п)шп( ' -3- =':= О. Перепишем урави(пие и впдс "!хз + 1! .=: О. Тпгда !(ахпдиь(. чго З 2 = =-- О с(п ь кер(*ш, кратности 3; урмии пие 2+ ! --- 0 иьи"ет корни ..=: +15 Всего у дапиего уравпш(ия 5-й сте!и"ип пилу !ил()еь пять КОРИ(.й 1( [: и'гпм кратпО[гги кп!И(я =:-- О).

2.1. Матрицы и определители ть-го порядка пусть дань! и злсмситев 1п > 1) а(,а), ..,.схп. Всевозможные располпжеипя зтих злсмептов пкпывакл си перестаиавками и) 13 зл(мшппв. Поскольку каждый злемшм О;С- иОзпй'(ПО Опред(л)н'т()я свОим ИОм( РОм. мОжнО 1'ОВО)ю( гь п)кк'тО О (шрю "п(ИОВках 133(тур!ы( 313(х чисел 1,2, и, *пО и базук м,селам в,(альиейшсм.

Все!3О и:1 и, злементов можно (Оставить п1 =-. =- и1П вЂ”. 1)..... 2 1 перес(ановек. Если какая-нибудь !(ара чис с л 1, )1 р((е((оложеиа и (и рестаповке таь, *(то большее пило стеит впереди меньшего, тО говорят., чгп зти числа Обри)у)пг пип(рсикь Сосчитать числе и)п(ерсий в какай-нибудь перестахия)ке мпжпа сл('дук шим с)брак)ы. СО['(итагм спачала каличсст!К) чисел, стошцих впереди (ди(ипсы все зз'и 'и!ела и ТО)(ькп Опи Образу(пт ипв("1»'ии с (',диии)к*й. Ой(3(ъ( Вы и(ркпс)м сдинипу и ('О(пп1таем кали'и',ства 'пп "(ь1, ("гОЯИ(их ш(с )кди двайкп. '.133!1)ь( вы'(с)жпех! д!К)ику и (~считаем кплич()стпО чисел, сташцих нпср('ди П)пйки и т.д. Число ипвер['ий в (шрсстаппвке 11, )2.....

!и 6 у!ем Обо )иа !Вть )11.1),, 3»!. Ию(ример, )2.5, 1е!.7.3,6) == 2 + О+ 3+ 1+ 0 3-1 —.— 7. Перестановки с '(етным числам инверсий юьзьнипется и(шиы3ип, с не*и)тпым шп(гтиызии. Цугтв Лала ПСРССТШ1ОВКВ 11, (2,,11, (Ь, ...,1». ЦОМ( Ияем местами диа ее числа 11 и )ь( при )пом !(О)(у(иы перестшювку 11, 32, ....11,,11, .... (и, Оакая Операц(о! Пере»1шцспиЯ двух чисел пер()с'.таиевки игх(ывается ги)хиа пола(т(сс(1.

Теорема 2.1. 1)г Од(юй трши;ИО псции и ти(к"и псрестшкшки мшюется. ,1(с)кс)зс)(псльс)п)с(().!'В(( гшл рим спа (ал 3 ел['!йй. К(и;са мсия(О( ся меси)мп два соседних )ясла и и Р пс рестшшвки 1,3. )2, ..., 1!. и ОП (),ЕЫ а..... 1„. При атом нн ло инверсий после транспо:пщии сп)- „Ео на ( дини!Г) бо)(ыне. ( (3!и а ~ 3, илн на единипу м(!Иьин „е(ли а. )на'пп, 'штность п(ар(.'г'!1(попки и'Зменнлась и т('Ор("1;(а и 3'1'Ом случж) !Зоре!В. 1оассмотрим т( перь общий случай.

Пусть мсняк)тся м(( гимн числа и и ~Д В пер(еггнноике 1!.12, ....1! Е,а,'!1,.!.1!аз.. (1-1- (), !1,1.12, ....1„, ме)жлу которыми находятся й чисел !1„!. !!. 2 )1ожно ВЬЕПОлпи'и трйн('ПОЧНШНО а и р посре,'Ес!'!Зом Еия ско:!Ькнх ! ран( пози!еий рядок( сто~шик чисел. Сна !и:(а !н)меняем ме(тами а с 1!ч 1, потом и с 11 .

и так да)нх) до а с Еь, 1„,. При а)ОЯЕ еЗыпОЗн()но 1' '1 рапспОзи!Н!й рядОм с) Оян(их чи(е)!. Зе!!Он! НО- мепгн и ~сетями а и 3, и !ниле зтого 3 с (Еч ь. н~ с 11 „В 1, и так „ПЕЛО(* дО 3 с 1!.е 1. П кОП()чпом с щи а н Д НОхнняют(я м()с Гами и при зтом бу;и т Вьшолнепо 21 + 1 трансп(ззиций рядом (таящих чисел, при каждой и:3 которых меняется челн)лш пере(танонки. Г лег(О!За!ельне, чстнОпп пер(стшниЗки нзм(*ннтсЯ 21'+ 1 ра*(, '!3 (ь четная перес.).аповка станет пе н"гной, а нечетная и".п(ой, !то и т)к)бона !Ось дока:зать, Следствие.

Число нечетных перестаноа(ж из и (п > 1) перВь!х натуральных чисел равно (пслу нтных перестановок и раи- нО и!,"2. Дока(Зо и(= яство. Пусть пз и! пере становок п, чисел р нерестаЕннюк 'нггных и д не нтных. Сделаем В каждой четной переста- !И)ике О!(ну и т'(' ж(' *ГранспОЗЯ!еик), н()нрпхнар 1юм('пя(.'м мс('*Гамп нерны(' даа (и(ла. Чо))ЕВ кая(да)3 нтпая !н(1к(танонка пр(нратится В не и ! Нук) н !ке Онн буд) т разньн .