Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа

Иаумии" Вмбг! .о зава 69ГУ !!!!~6!!!!!!!$!!!! 34006794 ПРЕДИСЛОВИЕ Рокси )соты лохгор фи)ико-мюемази )вских )тук. Ир)п1)сссхзр 6 0...)р)хиг)зззг (Математический нпстпст РЛИ им, В.Ллутехл)и)а): мюлппа! фи жхо-мюемлоюхсхих паук, лопе)п л Б. 22)г)чв)зг)в ! московский зосуларстаениып инсзи)у! Рзсп)звсхкихи, )пехтроиихи и вюом кики (техпически|! уииасрситез И Суларев Ю. Н.

СВ92 Осиовь! линейной ))лгебр)а и матемпичсского |пииила: у )еб. пособие го)я стул. Выси!. у )ей. заведений,' 2О, Н. Сударев. Т. В. Першикова. Т, В. Радославова — М.: И шательский це)!)р вАкалсмия . 2ййг2. — 352 с. — (Университетский учебник. Высшая ма)сматика и ее прпложепия к биолоп)и1. 1ЯВкх 978-5-7695-4|)45-7 В у )сапер пособие ахаю п:и мюсриал по основным растаем курса пыс)ю и мюемюкхи |,жалко) )вской зеомсизии, линей)юл ах!с|)ри! и осиоаам магсматичесхо)о апалит! Отлсльныс ыааы и полрамелы псах)оии сгх)ораза! )апхрйал поаажачп)ой слои!их-и!. прсютлючснный лза отупев!оп. Иа)чахчпихеп по спскиа.зызоз:!и ' 1э)кх1излзка".

Уйк! стмачооп аиолюичесхих спекпаги.кгкгс|х аькп)их учеаиых хааслеи ий. !)Р)зги)зоз-чохгт Вопзтео зззз)пиза хв)пгтсх гоогтпгпногтап Изломал|ского игпт|зг! х)хог)киипо. и гео вззгпрои)вгг)сззиг .тапки гтогод)ги де! сзсозазив провооазода)п|:и тппетогппт з. С)з)аре)з К) Н, Иераккта т.В.. Рюослтю)м 'Г В, 20П9 г' охра юстт,тио-и аюс)п,схий псюр ахаземиз)., 2009 1чйи 973лх-769$-йоши;7 ': 226х)раиса)ахи! т,пюыхио пса гр ххлзх мпп . 2Ф)9 ' ".Ф1 .2|~ГГБ7Рр" У и гйки" )кк оби! пшик'шш па ги'.пзп)г лекций по математик|, кОТОры!' ')и'|а;пк'ь в г!" к'иис ~с!'ко|и ких 'шсятков .

Ит ю)илк!.к' иа биоло!.о-по )венком, и катом па 6ш)логи к оком факу.ц тг"ге 511 У им. М. В.:1охкп)зкхи)а), 11 исм про|)с))х))лев)! Все Ос)кпзпые ра)долы хха)ехк)гики, пеобхолнмь)е студенту-6иолО! у кшс,)ля )кк лель)опигго и )у к пия 6о ко с к)жпых мат! мам! шскпх вопросов. так и уртя усы и иия таких дишпеилип. как фи яика и г1аи )и к окая химия. В у кейном )ккойии и)лож! Иь! основы апалитп )е!.ков геометрии и лин! йпой а|птбры.

осиовы мат! лиззи згч кого анализа, дифф!'1й'пциальиО!' иг'пктк'пи!' |1)уи)сци)1 О;иьой и ве|'кОльких Лсйсгвпзелы)ых п|ремеппых, киг)хжрсльпое )к шслеии!. тгз)р)хя лифферш)цшшып*зх урашк иий и .)!ории рялов. 1йокон)ры! и ! агих 1з)см)елок 1) пи отак *)скы и)е.з|)с) )ко|!~ предка шач! Иы дли с)уси )г)ов, и)х )кки|пзх т)7)у6|к)пп)й к)";д. мп)! мам)кп. Иид)ример,, )ля тх'х., к ! О сп!'Ц)шлизируе гся в облас)и 6)ко!1)п'и)ки В кингс левы искогззрьк прим! ры приап пшики хи))! магики к 6иолопп! 1вапркме1), мол!.и рос)а;к1квы ш )а газа и схипшкиа; и яке1юю*а и др.1, М;! пито м ю! мази вских вовик о!в отметим с1к)разу)и!В)и)- ку критерия,!гбла и)ю! ! рируха)х)с)и фупкции по Римапу ~ м.

)л. 6!. который О6ы шо ие вкл|о кгк т в ма и мати к"! ки!) курсы осте! г)и иных факулзпетов, с )итая гто с.)ишком гложиым Лля тех. кто )и гп)*ци)ыигизруе)ся в 6:ккти матемаы)кп. О.)како, как ш)ка|сал мкого.к'тппй опыт,:)то! критерий в том ви„')с. ккк ои з„к)еи* изложеп, ус!к шпо усваив и )св гту.)! и гамп-6иолгн вми н г)о!воля! т |к гко пока;зать ря,.! важш)х )! ором о6 икте!.рирусхки сти фупкций, гппорьк в иротпшшм злу'кк прил)лось бы форму- ЛИР! зва)Ь !их! .

)! К))зал (Х )Ь|'*П)а, 1', швы 1 и 2 написаны Т. В. 1алекла)ию!)й; гл, й и 9 Т. В. 16 ршиковой; )л. 3 7 Н).11.Суларевым. Глава 1 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1.1. Матрицы и действии с кими Определение 1.1. Гнап)рнц(511 размера гп х о, пет)ьпииггся прямоу! О)п цйя таблица чисел из т строк и н столбцов. '1ислй, и) которых состоит кн)грина. б)у)()м н к)! н)й Гь зл()м( и Гйми мйтрнць) и нумеровап двумя индексами, периь)й из которых о:и)ачает номер строки, Г, которой стеит йлеме)п; а второй номер () Голбца.

Квадратные матрипь) рее)мера а х и бъу((ъ1 назь!Вать матрицами порядка н,. '1аким образом, матрица Л ято набор Га х и чи(тл (о,,), где — 1., ..,ш, у == 1....,п. Запитую между ипдексами можно Ону)ока"и *Гам, Г!!(' ГГ1О )к' ньГ)ы15й(',т н('доразумепий. 1)априхн)р. )(1 б 4)) Л== (ао) =- ~0 ', ~ . Т) и )т,ер Ос „„м,п,)ми ('0 Оз, а)! .=. 1 агв =-)на!з =-'4,аа! -=О,оаа = -1,аа =.2; < О О, (0.0,0.0), (0) пулевые матрицы рачки;ров 2 х 2, 3 х 1е 0 1 х 4, 1 х 1 соответственно.

Определение 1,2. Дв(* матрицы А и В одинакового размера )н х и и)к5! Ня)япся )х)(511)хмц, если рй!)н)! НГ11 нх ('ОотнпГствуюгцне зоям(из'ы, т,е. Л =- В„е(ли ак =- Ь, для лк)бых 1 .== 1....,т, и ! =-. 1, ...,и. Ь1)Г) рииь) можно складьпип ь н умиожа;и на 'пн)ло. ОПРОедв)!ЕНИЕ 1.:3. 1,'Рй(МО)! Л + В ДН) Х Мй! 1НН( О)(иийКОНО) О р)с)м()р)5 ш х а на!и Навет(я ма)рицй б ра)ме!рй 1н, х и, з*цменты которой он)х дс;шются формулой сем --. а,,! -1- Ь,з для лкгбых 'е =-' 1, .... 1н и '! =-- 1, ..., и. с„= 1о„ для любь!х ) =- 1, .... и), ! =- 1...., и. Урраа(сиеиие 1.2. Докаж)пе.

гпо ухпн)жепне матриц нв пи)Но )ш формуле (1.2) обладает свой("п)ом ),1(1 А) =. (111а)Л н им(гет м('сто дц(еп)р)(б))пн)()нос(пле двух видов: (11+1 )Л --.1)Л. :)еА; 1(Л + В) =- 1А + 1В для )побых *шссл 1). 1а, 1 п ма)рнщ я!. В Одинакового р;ымсрй ш х о. .=:)1)Г)рицы можно п(рсмножнть. ес.!и нх рйзм(ры тйковь).

по )исло столбцов п(*р)юй матрицы равно !иглу строк второй. Определение 1.б. Иу(-п, Л и В матрицы рйепн ров и) х Ь и 1; х и соотвстстнепно. Произвед( пи( м ЛВ чтих мйтр)щ назынй(*пи мйтрицй1, рй)м(.рй )и х и. чл()н"!Г) ь) ко!(0)ой Опрсг(е)(я)ется формулой а с, .== Н,)Ь! + аевЬа;, ... Ч ае(.Ь(.)::: ~ ааЬ), (1 1) для:побых е' =. 1.....)п, ! =-!...,, п. ,)де( ь д;и! об(иная"пия суммы пшшль юная )н )к 2 .

Ко(дй «проб(гает» .)нйен н)п! От 1:и) )ч вьй)аж(ни() а,)Ь(, под (паком СУММЫ ПРИШ(М И*) ПОО и"РЕДНО.ПШ И НИЯ Н(еЕХ СЛВГНЕМЫж б : В ---. 0 —.2, то б !! Пр(ынер 1.1. Если Л =- б' .—., АВ =-, . Зде(ь А матрнцй рй))н)рй 2 х.,'1: В матрица ра)мера 3 х 2; 1'" — — ЛВ квадрйтпая матр)ша норяд- Упрао)е)(еиие 1.1.

Докажите, "ио (дожение хпг!рнц по форму)и (1.1) коммршаьанш(о. т, е. А+ В =- В+ Л для лкгбых матриц А и В размера )11 х о, и нссоцоанги;пео, т.е. (Л + В) Л С вЂ”.- Л + + (В+1') для лк)бых матриц Л, В, б' одинаково).о размера ое х п. Определение 1.4. Врои(н)едснием 1А ма! риць) А нй шсло ), н)х)ынв(! си мйт)пп(й1,, з шмс)мы которой опр(д1ля(огся ()к)рм)- лой О 1 О,.

0 О 0 0 1 ... 0 О О 0 О ... 1 О 0 0 О ., О ка 2, Чтобы у!паин, иг(з]1]нхзе)Р, ](!смог! ( ы нужно, согласно фор- МР( и* 1 1. ) ), По'];и'\н(Г] зп')я*мзюжить ('ОО'!'(Ре!'с'!'Пу'к]зцн(' Рззеы('нть(, с гоягцзз( ж] вт(]рой и! роза' матрнць! .4 и в нервом столбц( матрицы И. и ((з!'Пк! (Тюжн'3'ь по((у'н(ззннп'оя прои'!!яд('из!я: оРП)з! ": !."П)] ! -1 паз)Р]з! --- -]1 1) е 5 О+ О 1:;- 4. ',)ах(с!!!и. по умножепзп матриц, опр(дедиемое фора!удой (1.1)„о(6]зн(,(а(]г свой(твамп а(]т(зн((занан(Р(.*та. 'г.(. (АИР(". А]ВС'Р.

и дп] т1]з(буп]нпзп]сз]зп. !.е. ')А + В]1.' == .М" + В1', .4)И ееб') -. ЛИТ. Лб'. Этн свой(ззи] гнз(ко пропарить„(пл матриц ма пн о размера, ХХрзлллейр 1.3. Пров( рим ('войгтж] днегрибутн]п]о("з и ем!я квадратных ма! риц второго ]п]рядка. 11боип! Пзх! 11 =- (Л -' В)6' и Г =-.- А("' -! Вбб Тогг(а Рь (Я, ('., 1 =: 1, 2 по (1]ОРМУпа и ( 1. 1) п ! 1 1) д =.

)и,! .!. )]!)( ! + (и ~+ 1],,)(. =.: и з] ! .,', 1] зг! + и .](]. 1]! ---- (о ! '! Р 1 и, (, ) + 15 з( з, + 1]]ае, ) =. ()о, и форхзугзз! 14 + В)6' .—. Лб'.(( В(:1(озо(](зин!. Упрпжоненззв! 1 ° 3. 1)ок(з]кит(х *г(О '(мнОж('нн(' кп](риц зп]рядка 2 Об!дада, т юк)й(-! Яом итоцпативно(ти.

ОДнако кол(зи((!Риз!!]т зпк и! ! пРп 1((лп((Р,]зс! Пан .(загпйин ки] плие!и л((((.!!за. Длзз! дока(ззззезн с! ]за, зю(лена ! о у ! (н ржд(ч(ия догтат(зпно (зрииееги (дсдуюгций (Онзм('р. Х ] 15 /5 ХХрт(ллер 1„"Х. Пусть А =- 1,, ~, И .-- ),Р ~. 1огда (и] 11. 1) т.е. АХ) ф ИА. и кок(хзугазивпосз! у!Пи]яп пня матриц зн икнк'г ме( га.

1)У(з!. н =' М. т(. и Рпз]ПУХмлннп( ПР(ь](Р. з(:1 -- (по) квадратная матрица порядка и. 1оворят, (то клементы пзо ! =.= 1, ..., и о61]азук]з,.илвзг(зз(Р г)нпл(РРП(зп матрицы. 11(оран диагональ квад1]атнои кпз(1]зпзз ! Пжьп]зз('т('я зз(РО]Р'*(н(]з(5 Оззредолзеиз(е 1.6. Квадрап(ая ма грнца г.(анния,днагонжть которой ( о('инге и( ел!]!!Пи!. а нсе (к тальньи 'Риеки з! и ! ( у ! ь нуз! и, иа зьз вел з( я ( дпнп (нпй .Оп]Р()РР! ](( и. '1аКИМ (Рбйа]ОХ!.:ДЯ СДЗП(ИПНОй М;.ПРИЦЫ Сн --- 1, ЕСЛИ З 1, .... и: („— О;здз! лкюых (' .= 1...., и. ) — - 1, ..., и,, если .'1(тгм] убедиться, мо зля любой хц] ! р(п(ы Л поря,(ка и, Упразнсзаение 1.4.

11)кни" 1]ьте рав( пс.! ва ) 1. 1) для и = 2. Кроме гого, ]'(дн енн' ка(п]я-нибудь мззгрнца Г обладает '!'акпм ж(" свой(твом А(' — (',1 == А. (о С; -- Х."1'." .-. Е. т.(. е(уизц((- нак лепп]рпца сдп]п"пп((.аип. Определение 1.7. л)а'! рице А ' папьнин'з( я (Рб)т]зп(оз! к м](Р!.риц( А. если Л 'А- ЛЛ' -- В. (! .5) 1)6рп ппо! матрица суззнттвует зп",дпя жпзкой кап!О]атной ма грицы порядка и )спу (нн сузи(( гвовапня обраенык матриц оудуг рж.смотрсны в ноззры,'!. 1.2). ,)ам( зим., по (с зн д зя ма!рицы А сун((ств](т обрат(зая хзазрнца.

го опа сдинстжгп(ю.,)е(!стаи.((лыю. если нар]Ь(е с (1.5) ВЫНОСП(Я('(СЯ дои кн которой матрицы б '. то 6' --.- (' 'Х'.' =- 1'1А Л ' ) =. ) Х'Л РА ! --- В.4 " =-..4 ' п, (на н! и обрпн(пан зипзпрпцп (]дни( ззп((Рипа. Определение 1.8. Ма! рнз(з( А, кигорго! полу зеа гся и:! мат1]игй з .4. е(озн и нпй помспяп з, м((.зама ("г)к]кп н (тоз(бц! ! с Одннпковымн гн]м( рами. (пкзыжзп(ся зпранюзпнирсзпанной к матрице А. т, (. '1' а)1 а() ...

(7!77 т ат! а)7 ... а)а .7!77! '177з оа77 а1 ! ая! ° аа! а! 7 ав) ... ааа аг„а.7„... а„„ ХХри-негр (.а. ( ХЕ()7777(акг)171 первака и а)аороео по!)Локон а .)пад(*(!7)о н)еггн.) П!к'ДнолОжиь1, ч ГО пг 'пмкнюк 'зйбОлелн:Зйрйзной болезнью. (?6)след)(ч(751 вторая !руша из и н*,ловек. Расс ъ!отрим кгйг!)ицъу 7! -- ((77,,) !Яезм(!)й ггг х и . Мй)рипь коп)йк!Ов перво!О и)рядка Ек:рв()Й гру!шы больных нз ш Залов()к со второй группой )г! ~ О*ловск; а„=- 1, (ели ~-й !(мо)зе)к нз второй г!)уипы ю)нтакп(ровйл ( 1-и и;:Еов(".Ком пз1юрвОЙ П)ъппы.

Ргн 7 м()трнм когпактьг шце о,шой. третьей. группы и) к н.)оп('к( лкыьмн и) второй гру!шы. Пусть В =. (Ь)1) соотв('1(твуюпц)я ма!рипа контактов первого порядка меж.еу !порой и греГы'Й 1 РЪ'ИП(Н1. 10;!Ой(мьн* юнпй)п ы. Нли контйк)ы Второго порядкй и( Ж,ЕЪ О()ЛЬНЫМН И 1 !и!)ВОЙ 1 РЪПИЫ И ЗПОДЬМИ ИЗ ТР(ГП (Й ГРЪППЫ, ОНИ- сьн)акпт)1 с помощью матрицы с, =:.- ъ а,(ЬВ, Еаст )исло контактов второго порядка между а 1-м 6()лы!Ьгм и'1 н('РВОЙ 1'1)ъчнп( и е-м 'ИЪООе1(кОМ 71з т!Ятьсй Г!эъпны.,Дсй( тюптдьпо.