Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа, страница 10

С)еедоиа!(Льна, р) -". (р Аналоги "шо убеждаемся, ггп) (! < р. Следовательно. р .=- (р Е Пусть теперь имсется к!3)едратне)я КНЕ(рица А порядка п. Определение 2.1. Г)ПГЯ(1((а)оепглсгя и-ю поря()ка гиа)прп!5ь( А поря()ка и, назыаается алгебраич(окая сумма Вс( Возможных произведенийй члемшпип„изиных по одному из каждого (толбца и каждой строки матрицы А. Если В каждом таком прон:нндепии множ1птлп расположены н порядке следоаания (толбцои.

то со знаком а-1-а берутся тс* прои'!Ведения, у которых пере(тановкн пе1н)ых ин Е( ксоВ и',тная, а сО Знако.'1 а ' ". !'е, \' котОрь(х Она ш четная, т. (. !а!! а!2 ... а(„ 1 Ч вЂ” ~ аа) а22 ... и)„ 5 по( гн!2 * ° (3333) гд(* суммирование распространяется па Всевозможные перес(анании(1. !)...1, пз и чпс(л 1,2, ...,и,. Опрезн31(и'Г(В!ь митр!НЕЫ 21 обозначается (А~ или (1(а! А. '1ак как пило нереста!шиок из п (и > 1) злементоа раино и,. 1 Го но (рор331ул(' (2.1) Определит()н маП)пце! А !К)рядка и состоит И'1 а! (Ь1ВЕВЕМЫХ, ПОЛОН!!На И'3 КОГОРЫХ ВХОДИТ СО:3!ШКОМ а.! а И ("тОпько жс со зпакОМ а — к, Пре(л(ер 2.1.

Пусть и = 3; матрица А со(гонт и:3 (1 ал(ниентои а(! аы а!з А а)! П22 П3а а;.5! аз2 а;3;5 Все)ЗО,.3можиьна произведения злемппои из каждого сголбца и кажДой стРоки имеют пиД об!а,аза,х5, их 31 =- б. Чегш(ми п(- ре( таноиками из 1, 2, 3 яаляк)тся 1.2,3 нугп иниерсий; 2, 3, 1 дне инж рсии: 3, 1. 2 лис инверсии. Им соответствуют произв(дення злементои матрицы а!!а22ати а2!П352а(55, а!!а!2аза, которьн) В сумму Вхо;Еят со знаком 3+к П(" нтными е!Сен сгшюпкамн и:3 1, 2, 3) яи)1яются 3, 2, 1 три инверсии: 2, 1, 3 одна ш!Версия: 1. 3.

2 ()а(па ишн)реня. Им (ООтн('и"ПЗук)т прОпзВ(дгашя а!! аааогн аен а12азз, ПЕ!П52ПВЗ, которьн* !3 ( 3 мму !!ходят (х) знаком « — а '1 аким Пора:Зом. ! а!1 а12 а15 а21 а22 а2В !" аз1 а 3) а(3;5 =' а! (ааза Е + О)паз2а!З + он!асан а) — а 51а22аы— а ]а!'н!Се ' а(!Пз)а)з Его соинадаег с о!йкделением 1.(! (см. )л. 1).

Лемма 2.1 (о знаке члена определителя), Пронзиедение а ыа, и ., . а „1.„13ХОДпт н О(цн)д(''!ИТ(3'!Ь П-! "О ПОПялка. (О 'ЗнакОМ, х определ)н мым выражением 1)1)(,(),...ь,).-(А3,Ь)....1„1 (2.2) 56 Док)<к!а>а«2)ь<ят<зо. Заметим, что (слн поменять мостах!и двв множителя в произведении а,„<ча,,),„,2 а>,<-„, то как в первых, !ак и во вторых е!о ипд<)ксах произойдет но одной транс!и>зиции„и зиачит, чепци ть с>ммы Оспзн<тся и!Нж!КЙ, Т(перь, <ели В !Цх)и зв( д( н ив а> ь а> !" ° а> ! и<>!и с <НВ)!ЯЯ м Нож>Г)сли !и> сгави"п на первое место члемент и:з перв<Но столбца, затем на юОВО( чяиъп'нт из ВторОГО СЧОЛОПВ и так двл(е.

т, <). (;плать так, чтобы вторьн индексы ьцли в но!>Идк<* >юзрастания, то !Ог~осгь суммы (1 1, ) 2, .... !В)+ (йз, 12...., )5 ) будет совпадать <" !етностьк) числа инверсий (тз, тя, ..., и)„) в Перестановке и<'рвых индексов окончательного рвсположепия сомножителей (вгорьн. индексы обрвзукп пуль инверсий). Слепо!з!з!ельпо. ( !) > ~!»», ...,»>„) ( !)П1,)2,>„) ) <ь) ь> .. з,.! Прт<лзер 2.2. Определим, с каким знаком произы деви( азз>а!ваа) а!Ва>! входит в опр(делит< яп 5-го порядка. Так как (3. 4, 5, 1, 2! !в.— 3 + 3 = 6: (2, 3, 1. 5, !) .=-.

2 + ! = 3. по форму!и' (2.2) произведепие входит в определитель со иьаком !)Вяз " С.'вой<.тва оиред(>.!Нте>кзй были сформулиро!1<ц!ы В гл. ! (См. иояйиыд. 1.2), Докаж(*.м !Н)которьиз из них яр!я произвольного и. > 1. Свойство 2 (равноправие <)>прок и сп!Оя!61!Овз). 11ри тр(ни иопи!к>Напив. !> е.;зим<Ни) калсдой строки о!6)< д<*,ли 1'еля <толоцол! с 'Геы ?к('. Воли'ро>1, Опр(',д('ли'!'сян нс л!('Вяет('я. Дока,зап!Г>зьспяяио.

1!у< ть и!! а)2 ... ая„ 1 а21 а22 . П2» аз! ая! ,12 а)2 ааа а„! а» ) ап1 ЬЧ>2 ° а»» а )„а>„... а„„ 1 ах как каждыи '!лси Сире!!ели)<л!я СОСГВВл(н из »я!ек1(!)тозз разных строк и столбцов, каждый *!Лен ощ>едеяпп("ля (1А/ буд(т зленом определителя /А /.

и наоборот. Г!о лемлн" 2.! знак и<!Нд !)ином а„зча,,з, .. аья,, и !Л) о!6)(делястся выраж(вием ( — 1)(о '> *":)'"!!' <2 -!'"), а В 1Л ~ Выражением ( — !) '- ' " "" '' . "ч ив чти вырвж<)ния равны, следовательно, знаки <овпадак>т и определители равиы, )Л/ == )Л ). ° Уираоясиемтзе й 1 И<но п зля испо< р( Н) в(нноопре (( !Сии< докажите свойства 2 5 оиред<цип е. Кй. Докажем, например, свойи'тио 5. Свойство 5. 1!ри перестановке двух каких-либо строк (столбцов) матрицы 'знак определите>ля и<'няет< я, а по абсолютной ве;шчппе не м<зняеия. Доки>апге аьсзпао ( для столбцов) .

11усть <ц„. аз„ а.2(я а "ял а!р а)р а)1 аез А! <я! . а), ац а)„ а >а аз! азя . а)Р а21 '' азя '' а>р Лг= а,>я, У!Сио, что каждый член оцр(делителя )Аз) сов!Вадаег ( какимииблдь <л(*нем ои)кделит(в)я )А>,', и Наоборот. Твк 'зто Оста:!О(1, только сравнз(ть зиаки, Возьмем какой-нибудь чл('и Определитс<!я )Аз! и распОВОжим <ч О мпОжнтеяьи В порядк( ВОЯ)в(-!Вния <толбцов а< р . П>(>я...

а (2.3) <О ) , , .! Эт(л член входит и )Лз' ,:со знаком (--1)<о '-' '<' " ". Этот же член входит в )Л>) (о 'знаком ! 1)))) .. '« . " ы). Цо перестановка )1,)2,...,!Тс ...,)П...,.я,> цолУчв<тси из п<Ре(таповки !1, Я >....,)р, ..., )а..., Я„одной гРапсио ип!ией Яр и )ч. (Л(дава; т(ЛЬНО. НИ<2!а <! 1, <2...,, Яа.,... 'Яр..... 1~ ) И (!1.

Яз, .... )р, ..., )<!. ..., )„) )кеиюй четности, и зца'игц !лен (2.3! 1<хо)!и! в )Л ! с дру!'Ил<,зиакок<, 'н)ы В )Аз). 1!ОГ>!(д1и(' угиержя!<'Ни(' В()рнО >зля лк)боГО 1;ииьа Оирея((ьцит(е!я. С;и;В)ват>о!ьпо. )Ла>1.== -)Л)). Для строк соо)ветствуницее ут!Изрждсши" сян)дуе! и.з свой("пза 1. )л(зк сзн дстьчи „и з сиойигва 5 легко дою)ли вает< я < во!!!Г) во 6. Свойство 6. Если в матр!(це имеются ды <>динаковьи строки (столбца), го ощ)еделит<ль равен ну)Но. Зймечаи!<е.

И:! свойства 1 ('и('*()ет, "<тО «Г:)и как<и лиоо >те<а)жл<'" юн доказано лтя строк (или <толбцов) кц>!рицы определителя, то трансиопир>я матрнпу, получим, что >та< рждсние 6>2(<>! Верно и для столбцов (<о<п ж тс! веппо с! рок). Дахалая(( 2»Г>$3(>иэ ХХ('$$( ! В((т(Ь>$»>3$>.

ПОМЕНЯ()М Хи( ГВМ)3 ОД>Ш($- ков>*п* (((рок($ (пли (тОЛ63(ы). ТО>2(а Опр(',Дели!е(п ПО СВОЙ("33)у 6> изменит знак. Ио при этом оп ис должен изменяат ся, (ак как (трики (столбцы) одниаковыс. Таким образом, )А) =- — )Л). (го может быть лишь $303$33А) =- О. В Унраи(снение В.2.

Х(окаж>(т(" свойство 7 (пц>едслитсл(й. Теорема 2.2. Если в(т злемепты l(-го столбца (строки) мат- 1)ащы А, к(хгл((ь бьгг» мо:к(3$; Од((о! о из( рав>(ы п); (к>. то Опред(с>$$- т(ль )А) рав()$! $(роизведе)п(ь (3»ь $)В влг(ораии(око(> допили()пп;. з $ ого зг(ехп>! $ $33: ) А = и»ВА«!" »(ики,)($$>>ги(ы»уп(«и, Раесм(ТП)им («ляпала пагтпыЙ Глу (ВЙ, КО- гда в матрице .4 все )лиме(ггы первого столбца, кроме, 6ы $» может«и ! 3. равны пулн>, т. е. и(! а!» О а)» а)л и2л О а,„«а»л Б кал('и (Й "$»п",$$ О3)р('д(ошт(и(я ВхОди!' В чоч$(ости НО Од>юму зл('- хп(>ту и:! (прВОГО (тОлоца.

Б паи(еы (л)'(ае ве(! $)пны О()реэ((- лителя ('. злемси (ами и! первого столбца, взятыми ие из первой строки, раппы пу.по. Сл( доватсльпо, ПО (2.1) >А) ==- ~ ( — 1)""' "'" а)(а, >... и,„л ==. х .= а)3 > ( — 1)> ' '" л)а„:»...и»и )де »..... (л веско>можньи (престаповкп п 3 пкел 2..... а. Т! .

к; Х'(-1)!«>" »)Пи ...П»,л;=-й(3! А„=-(- 1)$' )л)$!.=Х!3! (см. Определ('пие 1.!О минора и >мп'ебра($ $(( кого дополнепия к злсмситу матрицы), полуиа('м )Л) =- а! 3613! — '. а $! 4! 3. !)асемотрим теперь общий елу (ай. ко(ди вс( элементы )(-(О сп>лбца и (и рицы Л, кром(, 6»гп может.

ал>,, равпь! нуль, т. ( . а)3 . а ь ! О а>3.,„! . и„, .»! ==. а,) и» Ь. 3 и,а и,»3»л $ а„, и»л .. ал(...! О аль! алл Перс(тавляя >-ю строку матрицы с (! — 1)-й, (3, '— 2)-й и так далее. и наконец. с первой (трокнй. а затем пере(тав)>яя с (й — 1)-м. 60 ()à — 2)-м, и так дал($(з $$, нико)и $$«с первым ГТОЛ6цом. Полуяим хп)!'ри((у, у которой В(»е зл(.мш(ть( п(рве>О Гт(м(бца равпы иулк), кроме, бьгп меж(т, первого, равного а,м Опред(литель >Угой матрицы по ( по((ству 5 будет отли*(аться От иск~диого .>паком ( — 1)(ь ')э(' " = ( — 1)$("', и з)и шт, по 2(ок(х>$3$$$(ему раисе, )А) = ( — 1)ьэ(и«е»11у,.

= — ил>„.Л«$.„., так как М(! нового о>0>еде>ппсля Ршаен М>а $!ГхОДИОГО. И Свойство (>' !4аж»д( (й апре $('шт('и р'(веи сумм( $$)х)из(>е'(е иий злемситов любой его строки (столбца) иа их Вл(е6раи*к(к)п; дополнения. т. е. и)3 а(2 .. и)л 3 )Л)=- 3=-а(А +а 4 + +а А ('4) и«! и22 . и)л) 3((л! Вл'> ' ' ' а»«««! (ра >ложенис (ю злсмептам >-й строки) и ) А ! =- а (ВЛ($,. + аа>,.А»$, + .., + ал>„.

Ал),. (2,6>) (р>езложепие по элементам l,'-го столбца). »лакал(3>$>гхм«(п>аа. Заметпх(, '$то ()ели дв(' матрицы От:(ияак)!- (я»(руг От друГВ 'ГОЛ»кО злам(>нт>)ми ОднОЙ ()троки (ОГОлбца), то ВлГебраи'и'ски(> дО(п)л)3(пия зл('мсптОВ этих с))н)к (с(ОЛОНОВ) В обоих определите)>ях одинаковы. ДОКажЕМ фарМуЛу рВЗЛОжсшщ ОцрсдЕЛИтЕЛИ ПО )ля(у ЕтОЛ6- пу, Для этого пред(ггавим элементы й-го столбца в виде суммы и слагаемых. Полу (им по свойству 0 'а>! ... а)в+О+ ...

э 0 ... а)л а2$ ... О+аав +... +.0 ... аа«л а ! ., 0-' О+... +(>лв ... алл ) '1 ! ) + ) '12) -:" + ).4««) « ГД(' )а(! )($2»! ° О ° П2л (>л> ° О ° ° ("лл) )а>! ... О ... а(л и ! ... а»$,. ! )ил! ... 0 ... илл, 1 — 4 ! ~ 4-1 5, ! -8 -1' 2 6 1 При.мер 2.,). Вычислим определитель !А!:= 3 разя>жнв его но элементам первой <траки (<'и. (2А)): ! ! --1 5 5 ' !Л' =- ( — 5)( — 1)>' <! — 8 — 1 + 1(--1)' " — 4 — 6 — 1 + !2 6 2, 3 6 2 5 +1 — 4)(--~)' "' — 4 — ! 1( — 1)' — 4 — 6~ = 3 ° 2 !3 2 6, =- -5 74 — (--15) — 4(-31) — 33 = -370 + 15 + !24 — 33 =- -264. Свойство У.