Ю.Н. Сударев - Основы линейной алгебры и математического анализа, страница 7

Урввпсзние вллюк а в канани (ес кой( истеме координатат имеет внд '-'- + -"- =-. 1. (1.54) аа ()' .1 со урвет нт). нсхзы)зас !Тя киптн( итмв и у1)асз)сс")тю)1: ллнпсх!. Докс(,зс)спсз!ьсиссзо. 11усть ЛХ(;г,у) произвольная тоска чл.шнса. Усз!о!)11( (1.53) иншсывьчтся в виде ~Х(:г+с)я+ уа ( у(!' Г)'+у =--'" 1Ь репишем последнее уравнешк.* ~'(х + с))Х-' уй == 2а .— )(с(.)1 — с)в +. у". 1)о!ведя в квадрат по сл(чпю и раскрыв ('кобки, и(злу !им , - — а — 1 а а,с (зс — с)а -с уа =-. а — гос. ('нови возне;ш в квв,ц)вт н ис поль:зуя о6и)нв нчшс а" -- с" ==. Ь-.

1 и ). 1 У Ч И М узлс + а'у' =- а'-5'-, или ---, + -'-,; — — !. 1)яким с)бр)кзом, если точки принадлежит зл- у а- Ь- линсу, то онв удовлетвс)ряс т квнопи !ескому урввпени1о ('1,54). ,,1окажел! обра гное л п)ерж.(е)(и н ' С, и ИЛН 3(ЦО, ПО КВЖДЗЛ ТО'(КВ (1х.)11. кОО)ди)(аг( " ' "„'"' ' (в нни)о )' 1Д ( и кот()ро)( уо(о)(лет))ори(о! урйвнеиик) 31.51!.

(ймым Г(()р(мн 1)ул('! ОКОЙ (В(е: Из(1.51)сл(оп:г. " 1, ~ ~' ' ', ! ., !. л '.*'! '' '. '(тО Ог, у "(и(, (/, - 1), и, зца'33(*г. 3ех( '1'Вкж(3 и 3 11.54~ ,„( Х)) а И('3(о)(ьг)уя втО вы1)вж()3(и(', )ь )я )' ', ': Я )'! ИОЛ)')ИМ : --- ъЪ'+ с1Е+ 3)в =,!ха+ 2.)т+ (".'. ух:=- и 2.3( ') и '1 е ! — ( ' — ( е ! — ! — )„)1Н+ех) '= (а, ех! =-и 3.

е! ,.Ьл.ц(. ПО )ЕХ, ес ц, ц )ИВНП. Ж'(ЖЖ .3-, О. !" . 3' ' два . е,г . О. '!"анно так ж(' в, следоват(пьцо. уелови( 31.1Ь1! выполняется. Определение 1.17. Уиасрб(л! . ой цавываетс)3 (сом(три н(к(ее лн)стО то'н)к ПЯОГНО('тн, л!ОД)ль )'! .

ь ран)кк3ги рве(тгояниЙ г! и г) каждо(! и 3 НОторых до двух Фикпл'к)ванны ". 1' .(оц ил кс( ., „.",; ° х то н)к ! и г:., Вй;ию(и*- мых фОкусйми, е("и 33е)ли")инв п(к:тОяцн! ', ' ' ) 2 Вя, ранца)3 а. 1ак(лл( Оор(ЖОМ, для 'Г(гн'н !')цн' 6 в р )()ГОЗН и (ол(нн! для (ц(х, ны- 3)олцж! Г( я условие Г! — Га = 3,)а ! 1,55'1 1лйк 33 и (т(у'33)(' .)Ялицса. 3' и ! в 3 . ' " . в ( и !'в налывн)отея фола(3)вц)льл(и 1х(()и (накцв (о'(ки. В щ)яллав!. 3(В ко)ОРОВ хеж ф г' вь л ' ВГ фОкусы г'! и 7) в, ий". (ывйегсв! Фола(3)и(о(( оган). О6(пианин ') . и в(н' " . ' ' 3 ' ~3 -с РВ('(тоян(н' м()ж„,!): (3)о- КУСВМЦ И ВВЕДЕМ, КВК И В ГД ";:, Л,; "; ".

МУ 3 .(у"ин' ')лли)н:а, квпО)(и'и'ску)о си('т3ем) кнор.(инат Гигн*рболы 1Р)(с. 1.86 1'ис. 1.8 И(31и(стнкй и о)31к;нл(ния 3(ц(е136ол(я ясно, г)о ( .- и. 1.',с(333 и, .(О 3 и(н1к)о )В. 3,(ь мн(хк((! Во то и к (о своЙ()вом 31.оо1, НЬОКЬКЛВЕтев ВО МИОж(СТВО тОИЕК ', — теь —.С! 0 1( ..; ОС ! 3(а фОКНЛЬ- ной оси Ох. 11опому 6удем с 3333)(Г(, с > а. ;'~)(г(3(и)ар!и:иин; с )цоа( кинсрбиам н((нь )инт(я цнло е --= - > 1.

06(пиа (им такж( и 5- = с' . а . .((Ооролла 1.6 Ур(333)и'333(е ги(н'р6(л)ы 33 кв()о()ц'некой ()н'пжн' коо1ец()и(г име(О вил р (1. )61 и'-" Йх ти(о уравиеии(е 3333(3! 3)ц)е 3( я кон(и(н нткисн (Лхн(ц(н((гм 3ц((и(!)- ()(Ать(. .1оквват(льспло '-)(О)Й те(ЙЯ'мы В)(й(нн'и'33(о дока)3йт('льсп3)' (еор( мь( 1.5. ц "3)н(3, (н ирина„итси. Уг)ра(ж))(ев(()е 1, 7..'5~к((ж)! и . гго каор ц(виты то и к гн)в ро~в 3! 3 у ни) и ! Нор )к) г у(н! Ни( ион) 3 1.5111. 5 Г1рв(хцн" 1(Г =- =т-х 3)в)ывй)отея ()с()л(н(3)о))3(ыц) 333(нр6О.(ы. 51ожио полн)в г)и *по го )ки ги)н Р)к)ль( ПРи иеогР аии н н(н)м Уи(- .)и'н'333)и ~,!', )н'О( ра((н'и'и)н! 3(ри6лижанп(я к нспм)по)йм. Опредолепне 1.18. Х7(31н л)и(1нн о(! .)Оц(цса, 1гонс1)6и.

Гы(. ГО- ~)н)н'(с(33(нии('3! )33)3(ио((у фокусу 1'. ЙВ)ын)нтся (О)имия (1. (н ндик)ляривя фока (ь((ой о(и 3(р)333(в!3 3! О((тоя)ивя о! иеи(1н! 3(в и 1нн'(*'(ОЯ)(це .—, !(1ож((о док)(нп),. (пв к;(к «,3 (и(3(с )йк и )ипер6о))В являквгся : »олн гри'н"()кцм местом то (ек. ог(н)ц)ени( р;нжтов)вия (и кото- 3)ых до (~)ок)(й к рн(тО)33)и)о цо (ООПН и п)у)о(п(н' (и1к НГ1(исы 3) (в)и) е (см. Р3(с. 1.7 и 1.3)!. Определенно 1.19. Ла1х(о(ь(о(3 нв НЗИ(еа пя 3( оли'3 р(3 и'ск(к м(*сто то и:к 3(В ид(к ко(ти, ра()иом(3)хнц))и,(х от:ни)а((НОЙ то*(кн 1' . пв'(ываемой (1)оку(ол). и От и('кото!Хой ПРЯМОЙ (1.

3(33.3)*иласл)о(! (3(ре)с! Ри(ой. О6( 'ц)а (ич р рвпго))ии(' от ф(ж)тв )о директр)н и (ц(рво(л (ы. 3!(н, (ем л(33((внц (г(кцн) исин)чр координа)и (ц(раболы (аким обрв )ол!. п«к ь Ог проход)п 'и рсв (о(ку Р 33()рц(ядику)ярно ди(к к, риг(, В ив (вло кнор))винт 3(входится )и! (ни 31г Посередине ви вкду фокусом и лирекгрисой 1р(лс. 1.91. .г Рис 1 «) Рис, 1.10 Х'(х, у) =- 1!, г,.

1(.' а = Х'(Она — У ГНП и: у = х ягиа+ у сака. 11олучнм Тео ема Х.7. р .7. Ураанение параболы В канонической системе кООрдиийт им()еГ Вид у =-= 2рх. (1.57) Уравнение е'1.57) ! '; "е .')() Нй;|ыиа(гпя канона"<! ска?м '!»!«э(?э(е на('.и эга «)- До«!а!а!гни! Оп|во. Ия оире |слепня иар"! )о! .

1.9 'р"«лы и рп(к 1,! Г»к О'- ет, что точка е!Х(х, ле. . (., у)» )жит на параболе т<н„1а и только то|да. когдн ,, (Х )» ) Х + '» — ( г +,) ), о!'кудг! (»г =.-. 21?г; ВВС Е и )дом для параболы (?к)с|1(г?еэ?<Е?э(си!!нет, г =- 1. Ч ' — ОГДВ, О~н Ви 1- но, парабола, кнк чл:ипи: и ги|и рбола. яалиечтя пчви*трн и ('ким местом точек, отноиэеии<э расстояния от которых до фоку< а к расстоянгпо до директрисы рати! Г.

Отметим еще одно свойство эллипса. гиперболы н инрее<кип !. ,. <'("|((ния. Все эти крииьи наля«?тся коннческнгиа сс'(е-тигиа, т. е. <.(-Ке! ми к!?у|он)ГО к(и<у(?н !?Всели'|ными плОскос|ями (<м. Н(?др<г)»1. !.7). рэ» р .е)». Найдем угол р, (юрн|онанный фоколыи |м радиусом .Хо ЕГ то |ки ЛХ<?(э! о, уо), лежащей пн нарабо иь и к к п сльной к параболе.".. проне,|тиной и точке ЛХВ (рис, 1.!О).

и!» Влсжитиа Нииду <"имметрии можно считать. по то |кн ЛХ В('!?х|иэй |и)тан эн)ре)бо»еь! Нри у Г. 95 которйя опн< ыпает(я функ*й Х(. ) — ...~2рг. !ка(ательпая В точк( ЛХВ имеет у|оюаой козф- Х? фпци(нп. 91 =- 1й а =- Е«(хе?) =- ?ао- —,— -:.. Нряыеи! ХГЛХО и)нет у!.- )» 2.ого !»а 2кХОЕ!.э?е? ловой коэффициент Е»а ..:. — — '- =-- --- —. (ан<еэи угла меж.|у -"о" р Х?= г)' .. .Го касйт<лыюй и прямой ЕМ(? опреде ляет<'я ио формуле Е;. =-= 19 ~ .=- - Ег! — — .

11одгтапнн ск?да эиа и пия ! ! п У?. иолу п<к! А- ---- 1Й 5 =-. 1+1»!У ' У|, т. (. угол ои(;?«ду 11?охальэ<ы(! Еюдиэион эио (хи Х! ,?2рха и касапи лэ эи?й и па!?або«с о зэаой !нонке раасн углу и наклона 'ка(агпею(ь?|оп. О!си)дэ) |юлучаем (ле»ге |01|нее О|Г! и'и < кое спойстВО на1)аболы: л<Е'(и снегин. )|ар()?)л(о!э!эсене.' о("и. |и|7)аболы, эи)сакэ оэп!ИЛ<ения от ?иц?або.|ы ити»)ают, н факу(ь Уг!раоэсиеэ<ие Х.ЕХ. Дои!ежи'!е, что фокальньк' ра„!иусы ироичнолы|ои топ~и ?.|лн1кй, порее)ук)т раипые угль! < иней|ел|,ной к эллин< у и этой то*|к<к Отсюда иолу |пм оптическое свойство з»!»<Ниса: луч стана, Вмгэеуец(гнэ<ы|!' а! Какой(?-.|ибо фокуса элли!и»е, гк«ги о!э!!«)?ю(ээепл от, .ылипса попадает о ( го другой фокус.

Э»э?)иис, пни рбола и парабола явлин)тся кр<пэьюи Второго порядка. 06<иге 1?ХЕ?не!э(сэии кривой Втором! |юрядкн имеет Вид Х(х, у) =.= а | ! г + 2а е ! гу + агау + 2а! х + 2оау + аа (! 59) об?пи<1! хи|ого |л("и Второй сгепени, ирнчсм хотя бы о»(ии иэ коэф()и<пи<?итон а! |, а|„е, а» пе равен нулю. Найдем новую декартоау < истему координат иа плоскости, В кО)ОРОЙ урн|пи"ни< криВОЙ (1.5?81 ириия:|о бы ВОЗможн(? 6ОЛ(й про<той канат( илкий Вид. г! новой декартоаой системе координат можно перейтп < помощью нре()браяоааиий поворота на т'который у! О)! и паренте)!ы<о!'(? персии('й.

Пу<-и В (1,59) о! ° э( О. Сделаем ирсобраэопннпе ионоротн на угол и, при этом, как можно покгснгпь р (,х, ! ';, !»!1(.» оо: и — $)'Я11$ «12 ! ')! (!!2(Х (ОВД -- () Н)ой)!»2 и)а ь $2 (;,в«1 а.... Г .* ') ! «22» ! Н!И и т (! (' )и «12 ('О*.»2 — $2 Я!Иа! 1. ') 1 =а»,х вп! и .' «и И' и!$ .-. «1! ('Окга) ! Эа ()э» в!пь и )--' ' и а) =-" а1»ояа + а.,н)1, 2 ( ! 'ивн И!и. ири цр('Обри)ои)иии! 11.60! ( !(ии'и ЬЕЯ ИО О1)Н $! И(' МО)к( ! 1И«1Н !Иа ьея.

Ио О ' ) ' . ' " * ь('я. тэи» квк к и1)о- ) . '$ ! ' В('рит)ипйеь к е1)ц)ым !Я)о ) 1 '! ! 1 !$)е (' » ° " 1, м кнор)ниц!'и!к! г цо)!Оии.!и !и! Э! О2 1. 2 ! м)и $«* ('2!О)ке)1 цо 1 )и! угол' - 1! .:, '. лу и)!ь 1»1х, $»1 !)горо)1 Оцр $(ец)э! у! л а твк, т б )то.и»! а,, -= 0. э. ( а! Гонга+ (а . — а — $!1соваыи а — а! Кц)2 а =- О. Р( ИИ Ц!И -) ! ОГО»! °;,; ( !)Н( ! у1Я)н!Кипя В(тадп суьн(("!иу( г, '1и .; .". К(. »1 ' ' ' ' , '' '("1и!('Г, икнм оо1Я1я)м. ОЙ приводит»я к ви.*~( 22)l ! -! ! 2 " а'ь(» 1 а .1 Г)0'ии, ео)ь) а ) =- О. 1., ) ° )р )ов, е —, н)и!«)я!ьпь ир(обри)ов, е ! .' " * ) ', ))и )ОВНИИЕ И01К)РОГН )В'Г 1 1(21)'!ОИ(НМ ЬИН!'ОК) О!"(('! 1 2 ) ' ('! К1 (Д(ен'И!И' 1«).