Бобров А.Н., Радославова Т.В. - Задачи по высшей математике для биологов (А.Н. Бобров, Т.В. Радославова - Задачи по высшей математике для биологов), страница 7

Здесь C — произвольная константа, а значения в точках x = + nπ определяются по22π+ nπ = limF(x).непрерывности Fx→ π22 +nπпри x 6=Теорема 5.1 (о замене переменной в неопределенном интеграле). Если F (x) — первообразная функцииf (x) на интервале X и x = ϕ(t) — непрерывно дифференцируемая на интервале Y функция, причем ϕ(t) ∈ X∀t ∈ Y , тоZf (ϕ(t))ϕ0 (t) dt = F (ϕ(t)) + C.(5.1)5.6. Являются ли условия теоремы о замене переменной необходимыми для выполнения равенства 5.1?I Эти условия√являются достаточными, но избыточными. Рассмотрим следующийпример. Функции f (x) =R= 3x2 , ϕ(t) = 3 t определены для всех действительных чисел, кроме того, f (x) dx = x3 + C. Рассмотрим√√1функцию f (ϕ(t))ϕ0 (t) = 3( 3 t)2 √= 1, она имеет первообразную t. Но и F (ϕ(t)) = ( 3 t)3 = t.

Тем самым323( t)√формула замены переменной для этих функций справедлива на всей числовой оси. Однако, функция ϕ(t) = 3 tнедифференцируема при t = 0.Пусть функция f (x) определена на отрезке [a; b]. Разбиением T отрезка [a; b] называется конечное множествоточек {xk }nk=0 таких, что a = x0 < x1 < . . . < xn = b. Положим ∆xk = xk − xk−1 , k = 1, 2, . . .

, n. Назовем диаметром разбиения T число λ(T ) = max ∆xk . На каждом отрезке разбиения [xk−1 ; xk ] выберем произвольную16k6nточку ξk и образуем интегральную сумму σT =nPf (ξk )∆xk .k=1Определение 5.3. Функция f (x) называется интегрируемой (по Риману) на отрезке [a; b], если для любойпоследовательности разбиений {Tn } таких, что λ(Tn ) → 0 при n → ∞, и любом выборе точек ξk соответствующая последовательность интегральных сумм имеет один и тот же предел lim σn = I. Число I называетсяn→∞интегралом (Римана) от функции f (x) по отрезку [a; b] и обозначаетсяRbf (x) dx.aКласс функций, интегрируемых (по Риману) на отрезке [a; b], обозначается R[a; b].5.7. Привести пример неинтегрируемой на отрезке [0; 1] функции.45Первообразная, определенный интегралI Рассмотрим на [0; 1] функцию(f (x) =ИнтегралR11, 0 < x 6 1;x0, x = 0.f (x) dx не существует, т.

к. функция неограниченна на отрезке [0; 1]. Действительно, при любом0разбиении отрезка [0; 1] на отрезке [x0 ; x1 ], здесь x0 = 0, существует точка ξ1 , в которой значение функциибольше любого наперед заданного числа. Значит, и интегральную сумму, вне зависимости от выбора другихточек ξk , можно сделать сколь угодно большой.Задача 5.7 иллюстрирует следующее необходимое условие интегрируемости функции на отрезке:Теорема 5.2 (необходимое условие интегрируемости на отрезке). Если функция f (x) интегрируема наотрезке [a; b], то она ограничена на нем.5.8. Привести пример ограниченной функции, неинтегрируемой на отрезке [0; 1].I Рассмотрим функцию Дирихле из задачи 2.20:1, если x — рациональное число,D(x) =0, если x — иррациональное число.Каково бы ни было разбиение T отрезка [a; b], в любом отрезке разбиения [xk−1 ; xk ] найдется рациональнаяточка ξk .

При таком выборе точек, интегральная сумма будет равна:σT (D) =nX∆xk = x1 − x0 + x2 − x1 + . . . + xn − xn−1 = xn − x0 = b − a.k=1С другой стороны, если в каждом отрезке разбиения выбирать только иррациональные точки, то интегральнаясумма будет равна нулю. Значит, предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю несуществует.5.9. Интегрируема ли по Риману на [−1; 1] функция, имеет ли f (x) точнуюпервообразную?0, x 6= 0,0, x 6 0,б) f (x) =а) f (x) =1, x = 0,1, x > 0, 1, x > 0,в) f (x) = sign x = −1, x < 0, 0, x = 0.5.10.

Показать, что x2 sin 1 , x 6= 0,F (x) =x20, x = 0,0дифференцируема на всей числовой прямой, но F (x) неинтегрируема на [−1; 1].♦ Указание. F 0 (x) неограниченна на [−1; 1]. Задача 5.10 дает пример функции f (x) = F 0 (x), имеющейпервообразную на отрезке, но неинтегрируемой (по Риману) на нём.46Первообразная, определенный интеграл5.11. Привести пример неинтегрируемой по Риману на [0; 1] функции, квадраткоторой интегрируемая по Риману на [0; 1] функция.Определение 5.4.

Множество M ⊂ R называется множеством меры 0, если ∀ ε > 0 существует такая, не∞более чем счетная,∗ система {Jn }n=1 интервалов Jn = (αn ; βn ), что1. ∀a ∈ M ∃ n0 : a ∈ Jn0 , т. е. {Jn }∞n=1 является покрытием множества M ;2. сумма длин интервалов Jn меньше ε, т. е.∞P∞P|Jn | =n=1(βn − αn ) < ε.n=1Пустое множество ∅ мы считаем по определению множеством меры 0.5.12.

Доказать, что конечное множество точек вещественной прямой {x1 , . . . , xn }является множеством меры 0.εI Для каждой точки xk , k = 1, 2, . . . , n рассмотрим интервал Jk = (xk − δ, xk + δ), где δ <. Тогда, для2nлюбого k имеем xk ∈ Jk иnX|Jk | =k=1nX(xk + δ − xk + δ) =k=1nX2δ < 2nk=1ε= ε,2nчто и доказывает утверждение.5.13. Доказать, что любая последовательность точек вещественной прямой{xn }∞n=1 является множеством меры 0.I Для каждой точки xn , k = 1, 2, . .

. рассмотрим интервал Jn = (xn − δn , xn + δn ), где δn <объединение интервалов Jn покрывает множество {xn }∞n=1 и∞Xn=1|Jn | =∞X(xn + δn − xn + δn ) = 2∞Xδn = 2n=1n=1ε. Тогда,4 · 2n∞εX 1ε= < ε.4 n=1 2n2Здесь мы воспользовались тем, что сумма бесконечной геометрической прогрессии∞ 1Pравна 1.nn=1 25.14. Привести пример множества на числовой прямой R, не являющегося множеством меры 0.♦ Указание. Рассмотреть отрезок (0; 1) или интервал [0; 1].Теорема 5.3 (критерий Лебега интегрируемости функции на отрезке). Ограниченная на отрезке [a; b]функция f (x) интегрируема (по Риману) на [a; b] тогда и только тогда, когда множество её точек разрываявляется множеством меры 0.Согласно теореме Лебега классу интегрируемых по Риману функций принадлежат:1.

непрерывные на отрезке функции;2. ограниченные кусочно-непрерывные на отрезке функции, т. е. функции, непрерывные на отрезке всюду,кроме, быть может, конечного множества точек;3. монотонные на отрезке функции.∗Т. е. либо конечная, либо счетная.47Первообразная, определенный интеграл5.15. Доказать, что функция Римана (см. 2.3)(1m, если x — рациональное число ,R(x) =nn0, если x — иррациональное число,интегрируема на отрезке [0; 1].I В задаче 2.25 было доказано, что функция R(x) непрерывна во всех иррациональных точках и разрывнаво всех рациональных.

Для того, чтобы воспользоваться критерием Лебега интегрируемости функции на отрезке, докажем, что множество рациональных точек отрезка [0; 1] счетно. Для этого рассмотрим рациональноеmчисло∈ [0; 1], где m — целое положительное, n — натуральное число. Назовем число h = m + n высотойnmрационального числа . Будем нумеровать рациональные числа отрезка [0; 1] натуральными числами 1, 2, . . .nпо возрастанию высоты, т. е.

сначала занумеруем все числа высоты h = 1, 2, 3, 4. Это рациональные числа1 10, 1, , . Поставим им в соответствие натуральные числа 1, 2, 3, 4. Затем занумеруем рациональные числа вы2 32 1соты 5. Это рациональные числа , . Поставим им в соответствие натуральные числа 5, 6. И продолжим этот3 4процесс.

Ясно, что при этом мы установили взаимно однозначное соответствие между рациональными числамиотрезка [0; 1] и всеми натуральными числами N.5.16. Доказать, что функция(f (x) =1sign sin , x 6= 0,x0, x = 0,интегрируема на отрезке [0; 1].♦ Указание. Доказать, что множество точек разрыва f (x) является счетным, воспользоваться результатомзадачи 5.13 и критерием Лебега интегрируемости функции на отрезке.5.17.

Вычислить следующие интегралы исходя из определения интеграла Римана:а)R4(1 + x)dx;−1I Функция (1 + x) непрерывна на [−1; 4] , следовательно, интегрируема по Риману на [−1; 4]. Поэтому для вычисления интеграла достаточно выбрать удобную последовательность разбиений отрезка сотмеченными точками, предел интегральных сумм для которых легко вычисляется.(i + 1)xi−1 + xiВозьмем xi = −4 +, ξi =, i = 1, ..., n. Тогдаn2σn =nXf (ξi ) ∆xi =i=1nX(∆xi + ξi ∆xi ) =i=1=nXi=1иR4−1∆xi +nXx2i − x2i−1i=12(1 + x)dx = lim σn = 12, 5.= (xn − x0 ) +x2n − x2016 − 1= (4 + 1) += 12, 5,22n→∞48Первообразная, определенный интегралб)R3 dx.2x1♦ Указание. Для произвольного разбиения T : x0 = 1 < x1 < . . . < xn = 3 взять ξi =√xi−1 xi .5.18.

Привести пример функции, определенной на [0; 1], непрерывной на (0; 1),и неинтегрируемой по Риману на [0; 1].Определение 5.5. Если f (x) — интегрируемая на отрезке [a; b] функция, то F (x) =Rxf (x) dx называетсяaинтегралом с переменным верхним пределом.Теорема 5.4 (об интеграле с переменным верхним пределом). Если f (x) — интегрируемая на отрезкеRx[a; b] функция, то функция F (x) = f (x) dx является непрерывной на отрезке [a; b] и дифференцируемой вaкаждой точке непрерывности функции f (x), причем F 0 (x) = f (x).Теорема 5.5 (Ньютона–Лейбница). Если f (x) — непрерывная на отрезке [a; b] функция, тоZbf (x) dx = F (b) − F (a),aгде F (x) — любая первообразная функции f (x) на отрезке [a; b].5.19.

Пусть интегрируемая на [a; b] функция f имеет в точке x0 ∈ (a; b) неустраRxнимый разрыв первого рода и F (x) = f (t)dt. Доказать, что F не являетсяaдифференцируемой в точке x0 .5.20. Функция(f (x) =интегрируема на [−1; 1] и F (x) =Rxsin x, x 6= 0,x0, x = 0,f (t)dt дифференцируема на (−1; 1).

Найти−1F 0 (0).Теорема 5.6 (об интегрируемости сложной функции). Пусть f (u) непрерывна на отрезке [a; b], а функцияϕ(x) имеет на отрезке [α; β] непрерывную производную. Пусть, далее, ϕ(x) ∈ [a; b] ∀x ∈ [α; β] и ϕ(α) = a, ϕ(β) == b. Тогда справедливо равенствоZbZβf (u) du = f (ϕ(x))ϕ0 (x) dx.aα5.21. Можно ли условие непрерывности функции f (x) на [a; b] заменить условиеминтегрируемости?49Первообразная, определенный интегралI В общем случае нельзя.