Бобров А.Н., Радославова Т.В. - Задачи по высшей математике для биологов (А.Н. Бобров, Т.В. Радославова - Задачи по высшей математике для биологов), страница 17

6.10. При n = 1 ни одной, еслиf (x0 , y0 ) 6= tg α, одна, если f (x0 , y0 ) = tg α; при n = 2 одна; при n > 3 бесконечномного. 6.11. n > 5. 6.12. Нет. 6.13. n > 4. 6.14. а) Нет; б) Да; в) Нет; г) Нет.6.15. а) Могут при n > 2; б) Могут при n > 3. 6.16. а) Нет; б) Да. 6.18. а),б), г) Линейно независимы; б), д) Линейно зависимы.

6.19. n > 2. 6.20. Могутбыть линейно зависимыми и линейно независимыми. 6.21. Линейно независимы.Уравнение не удовлетворяет условиям теоремы существования и единственностирешения задачи Коши. 6.23. Одно, если графики этих решений касаются осиOx, два в остальных случаях. 6.26. а) y 000 − 3y 00 + 3y 0 − y = 0; б) y 000 − 3y 00 = 0;в) y IV − 4y 000 + 24y 00 − 40y 0 + 100y = 0. 6.29. C1 tg x + C2 (1 + x tg x). 6.32. а)e−xe2xy = C1+ C2 ; б) y = C1 tg x + C2 (1 + x tg x).

6.33. а) y = C1 x + C2 e−2x ;xxб) y = C1 x2 ex + C2 ex ; в) y = C1 (x ln |x| + 1) + C2 x. 6.37. x2 + y 2 = Cx. 6.39.x2 + y 2 = 1.Ряды7.2. Расходится. 7.3. Нет. 7.4. Может сходиться или расходиться.Например,ря∞ 1∞ 1∞PPP11√ расходятся, а с ними расходится и ряд√ ±дыи. Однако,nnnn=1 nn=1n=1∞ 1∞ 1−n∞∞ 1PPPP1 1−nрядыирасходятся,аряд+=сходится. 7.8.22n2n=1 nn=1 nn=1 nn=1 nНет. 7.15.

Можно, если an , bn > 0, нельзя в общем случае. 7.17. а), в), д) Сходятся; б), г), е) Расходятся. 7.34. При p > 1 сходится абсолютно, при 0 < p 6 1106Ответысходится условно, при p 6 0 расходится. 7.37. Вообще говоря, нельзя. 7.40. На∞ xnPпример,. 7.44. а) При x ∈ (−1; 1) сходится абсолютно, при x = −1 сходитn=0 n!ся условно; б) При x ∈ (−1; 1) сходитсяпри x = −1 сходится услов абсолютно,4 41но; в) Сходится абсолютно при x ∈ − ;.

7.47. R = , интервал сходимости3 334 242− ; − , при x = − — сходится условно, при x = − — расходится. 7.51.3 3331− ln (3 − x)+ln 3, при −3 6 x < 3. 7.53. (2 arctg x − ln (1 − x) + ln (1 + x)) при423x − x1|x| < 1. 7.56.|x| < 1. 7.58. 2e. 7.59. (cos 1 − sin 1). 7.60. a)3 при2(1 − x)3√14e3 ; б)e; в) cos 2 − sin 2. 7.64.

б) Сходится равномерно к f (x) ≡ 0, так как421|fn (x)| 6 → 0 при n → ∞ ∀ x ∈ (0; +∞); в) Сходится равномерно к f (x) ≡ 0,nln n→ 0 при n → ∞ ∀ x ∈ (0; 1). 7.67. Функциитак как |fn (x)| 6 |fn (1)| =nun (x) не являются непрерывными на [0; 1].Различные задачи24230; б) ; в) ∞; г) ; д) . 8.3. Да; f (0) = 1. 8.4. Нет. 8.12. Диффеee35ренцируема всюду в R2 . 8.13. Дифференцируема всюду в R2 . 8.19. Нет. 8.20. a)C1C2Нет; б) Да. 8.21.

y = y1 + C(y2 − y1 ). 8.22. y =++ x. 8.23. y = 1 +x+1 x−1+ C1 (x − 1) + C2 (x2 − 1). 8.24. a) (x2 − y)y 0 − xy = 0; б) y 3 y 00 + ((y 0 )2 + yy 00 )2 = 0.2a28.25. y =. 8.27. (x − C)2 + y 2 = C 2 . 8.28. x = y(C − k ln |y|). 8.29.C ±xCa2y=+ Cx2 . 8.30. 10e−3 кг ≈ 0, 5кг. 8.31. Через 10 ln 11 ≈ 24мин. 8.33. y =x1 x1= (e + e−x + cos x).

8.34. (a + 1) ea . 8.35. a (a + 1) ea . 8.36. (a cos a − sin a).228.2. a)107Указатель теоремУказатель теоремАбеля, 88Ферма, 27Больцано–Коши вторая, 19вторая об определителе Вронского, 65Больцано–Коши первая, 19Вейерштрасса вторая, 19Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности, 10Вейерштрасса первая, 19Даламбера признак, 82достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных, 36достаточное условие локальногоэкстремума функции двух переменных, 40критерий сходимости ряда с неотрицательными членами, 78Коши, 28Коши критерий сходимости числового ряда, 77Коши признак, 83Коши признак интегральный, 84лемма к теореме Ферма, 26необходимое условие интегрируемости на отрезке, 46о замене переменной в неопределенном интеграле, 45Коши–Адамара, 89о значении частных производныхдифференцируемой функции, 36Лагранжа, 28Лебега критерий интегрируемости функции на отрезке, 47Лейбница признак, 86о непрерывности дифференцируемой функции, 36Ньютона–Лейбница, 49о непрерывности сложной функции, 16Ролля, 28о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда, 97Тейлора формула с остаточнымчленом в форме Пеано, 29о переходе к пределу в неравенствах, 9108Указатель теоремо почленном дифференцированиистепенного ряда, 92о почленном интегрировании степенного ряда, 93о среднем, 50о существовании обратной функции, 20об интеграле с переменным верхним пределом, 49об интегрируемостифункции, 49сложнойпервая об определителе Вронского, 65109по точной верхней грани, 6признак сравнения рядов, 79признак сравнения рядов в предельной форме, 80существования и единственностирешения векторной задачи Коши,61существования и единственностирешения задачи Коши, 59существования и единственностирешения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения n–го порядка, 62Список литературыСписок литературы1.

Сударев Ю.Н. Курс лекций по высшей математике. М.: Изд-во механикоматематического ф-та МГУ, 2001, 80 с.2. Сударев Ю.Н., Першикова Т.В., Радославова Т.В. Основы линейной алгебры и математического анализа. М.: Академия, 2009, 352 с.3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Том 1. М.: Высшая школа, 1981, 687 с.4. Демидович Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу. М.:Наука, 1990, 624 с.5. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А.

Задачи и упражненияпо математическому анализу. М.: МГУ, 1988, 416 с.6. Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Справочное пособие повысшей математике. Том 1. Математический анализ: введение в анализ,производная, интеграл. М.: УРСС, 2000, 360 с.7. Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Справочное пособие повысшей математике. Том 2. Математический анализ: ряды, функциивекторного аргумента.

М.: УРСС, 1995, 223 с.8. Шибинский В.М. Примеры и контрпримеры в курсе математическогоанализа. М.: Высшая школа, 2007, 543 с.9. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.-Л.: Гостехиздат,1939, 384 с.10. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1992, 128 с.11. Першикова Т.В., Александрова Е.В., Бобров А.Н.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Изд-во механико-математического ф-та МГУ,2003, 60 с.12. Боярчук А.К., Головач Г.П. Справочное пособие по высшей математике.Том 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. М.: УРСС,1998, 384 с.110Список литературы13. Бэйли Н. Математика в биологии и медицине. М.: Мир, 1970, 326 с.14. Гильдерман Ю.И. Лекции по высшей математике для биологов. Новосибирск: Наука, 1974, 410 с.15.

Першикова Т.В., Бобров А.Н. Высшая математика. Исследование рядов.М.: МГУ, 2000, 52 с.111Доцент кафедры математического анализа механико–математического факультетаМосковского государственного университета им. М.В. Ломоносовакандидат физико–математических наукБобров Александр НиколаевичДоцент кафедры математического анализа механико–математического факультетаМосковского государственного университета им. М.В. Ломоносовакандидат физико–математических наукРадославова Татьяна ВасильевнаЗадачи по высшей математике для биологовУчебное пособиеРецензенты:доктор физико–математических наук, зав.

лаборатории С.Ю. МисюринИнститут машиноведения им. А.А. Благонравова РАНкандидат физико–математических наук, доцент Ю.Н. СударевМосковского государственного университета им. М.В. ЛомоносоваПодготовка оригинал–макета — А.Н. Бобров.