Бобров А.Н., Радославова Т.В. - Задачи по высшей математике для биологов (А.Н. Бобров, Т.В. Радославова - Задачи по высшей математике для биологов)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М.В. ЛОМОНОСОВАМЕХАНИКО–МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТБИОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТБобров А.Н.Радославова Т.В.Задачи по высшей математикедля биологовМОСКВА2013УДК 517.1, 517.2, 517.3, 517.9Бобров А.Н., Радославова Т.В. Задачи по высшей математике для биологов.Учебное пособие. М.: Биологический факультет МГУ, 2013. — 111 с.Рецензенты:доктор физико–математических наук, зав. лаборатории С.Ю. МисюринИнститут машиноведения им.

А.А. Благонравова РАНкандидат физико–математических наук, доцент Ю.Н. СударевМосковского государственного университета им. М.В. ЛомоносоваНастоящая пособие — сборник задач и упражнений к основным разделам курсавысшей математики, читаемого на биологическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Примеры подобраны так, чтобы помочь глубже усвоить теоретическиевопросы курса, разобраться в применимости теорем и утверждений математического анализа.

Большое количество задач и упражнений снабжены решениями иуказаниями.Рекомендовано к опубликованию решением Ученого и Учебно–методического советов биологического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.© А.Н. Бобров, Т.В. Радославова, 2013ОглавлениеОглавление1. Последовательности, понятие предела . .2. Функции, предел и непрерывность . . . .3. Производная .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Функции многих переменных . . . . . . . .5. Первообразная, определенный интеграл6. Дифференциальные уравнения . . . . . . .7. Ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8. Различные задачи . . . . . . . . . . . . . . . .9. Ответы . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .Указатель теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . .Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . .3......................................................................................................................................................................................................................................................................... 5. 11.

21. 32. 43. 59. 76. 100. 105. 108. 110ПредисловиеНастоящая пособие – сборник задач и упражнений к основным разделам курса высшей математики, читаемого на биологическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова. Примеры подобраны так, чтобы помочь глубже усвоить теоретические вопросы курса, разобраться в применимости теорем и утверждений математического анализа. Большое количество задач и упражнений снабжены решениями и указаниями.В учебном пособии подобраны задачи практически ко всем темам, изучаемымв курсе высшей математики на биологическом факультете МГУ. Особое внимание уделено таким разделам, как понятие предела последовательности и функции, непрерывность и дифференцируемость функции одной переменной, свойства функций многих переменных, понятие первообразной и свойства определённого интеграла, решение дифференциальных уравнений, исследование рядов.Предполагается, что читатель уже знаком с соответствующими теоретическими разделами, но для удобства основные определения и формулировки теоремприведены в тексте.Авторы4Последовательности, понятие предела1 Последовательности, понятие предела1.1.

Показать, что для любого натурального n справедливо равенство:1 + 2 + ... + n =n(n + 1).2I Введем обозначения ∆1 = 1 + 2 + . . . + n, ∆2 = 12 + 22 + . . . + n2 и преобразуем сумму ∆2 :∆2 =nXk2 =k=1Заметим, чтоn−1Pk=0k2 =n−1Pk=1k2 ,n−1Pk=0n−1Xn−1Xn−1Xk=0k=0k=0(k + 1)2 =k=n−1Pk=1k,n−1Pk=0(k 2 + 2k + 1) =k2 + 2n−1Xk=0k+n−1X1.k=01 = 1 + 1 + . . .

+ 1 = n. Значит{z}|∆2 =nn−1Xk2 + 2k=1n−1Xk + n.k=1Прибавим к обеим частям этого равенства n2 и n:∆2 + n 2 + n =nXk=1Выразим ∆1 :∆1 =k2 + 2nXk + n = ∆2 + 2∆1 + n.k=1n(n + 1)n2 + n=.22Стоит иметь в виду, что аналогичными рассуждениями (рассматривая ∆3 ) можно получить тождество1 2 + 2 2 + .

. . + n2 =n(n + 1)(2n + 1).6Продолжив рассуждения, и зная ∆1 , ∆2 , . . . , ∆n−1 , можно найти ∆n (рассматривая ∆n+1 ).Заметим, что для доказательства этих формул можно применить метод математической индукции. Однакодля этого нужно знать конечную формулу, подлежащую доказательству. Предложенный же метод являетсяконструктивным, т. е. позволяет получать в явном виде новые выражения.Также ∆1 есть сумма n членов арифметической прогрессии, формулой для которой можно воспользоваться.1.2.

Доказать, что сумма двух возрастающих (убывающих) последовательностейвозрастает (убывает).1.3. Доказать, что произведение двух положительных возрастающих (убывающих) последовательностей возрастает (убывает). Будет ли верно утверждение,если не требовать положительности последовательностей? Привести примеры. an1.4.

Доказать, что последовательность, bn > 0 ∀n, возрастает (убываbnет), если неотрицательная последовательность {an } возрастает (убывает), а {bn }убывает (возрастает). Будет ли верно утверждение, если отказаться от условийan > 0, bn > 0 ∀n ∈ N?5Последовательности, понятие предела1.5. Пусть {an } возрастает, а {bn } не является возрастающей.

Что можно сказатьо {an + bn }? Привести примеры.1.6. Является ли возрастающей разность двух возрастающих последовательностей? Привести примеры.1.7. Является ли возрастающим отношение двух возрастающих последовательностей? Привести примеры.Определение 1.1. Число b называется верхней границей множества A, если ∀ a ∈ A выполняется a 6 b.Определение 1.2. Наименьшая из верхних границ множества A называется точной верхней гранью множества∗ A и обозначается sup A.Теорема 1.1 (о точной верхней грани).

Число M является точной верхней гранью множества A в том итолько том случае, когда выполняются два условия:1. ∀a ∈ A : a 6 M ;2. ∀ε > 0 ∃a ∈ A : a > M − ε.Аналогично дается определение точной нижней грани inf A множества A, и формулируется необходимое идостаточное условие для точной нижней грани.Найти inf an , sup an .11.8. an = 1 − .nI Заметим, что 0 6 an 6 1.

Кроме того, a1 = 0. Значит inf an = min an = 0. Докажем, что sup an = 1. Намостается проверить лишь второе условие. Действительно, для любого ε > 0 существует такое натуральное111число n, что n > . Значит < ε и an = 1 − > 1 − ε.εnn3.1.9. an = (−1)n 2 +n1.10. an =(−1)n 1 + (−1)n+.n2Определение 1.3. Последовательность {an } сходится, если∃a ∀ε > 0 ∃N :∀n > N ⇒|an − a| < ε.(1.1)Число a называется пределом последовательности и обозначается a = lim an .n→∞1.11. Доказать, что последовательностьsin nnI Для любого ε > 0 существует такое натуральное число N = N (ε), что N >выполняется 0 <∗| sin n|11sin n6 6< ε, что и означает, что lim= 0.n→∞ nnnNМножество A является подмножеством множества действительных чисел R.6sin n= 0.n→∞ nсходится и lim1.

Тогда, для всех n > NεПоследовательности, понятие пределаДадим отрицание утверждения (1.1): последовательности {an } расходится, если∀a ∃ε > 0 ∀N∃n > N :|an − a| > ε.1.12. Доказать, что последовательность (−1)n+1 расходится.I Пусть a > 0. Возьмем ε =1. Для любого N выберем n = 2N . Тогда2|an − a| = | − 1 − a| = a + 1 > 1 >1= ε.2Следовательно a > 0 не может являться пределом последовательности.1Пусть a < 0.

Возьмем ε = . Для любого N выберем n = 2N + 1. Тогда2|an − a| = |1 − a| = 1 − a > 1 >1= ε.2Следовательно a < 0 не может являться пределом последовательности. Таким образом, никакое a не можетявляться пределом последовательности (−1)n+1 .3n − 2 3= .n→∞ 2n − 121.13. Доказать, что limI Предварительно преобразуем выражение |an − a|: 3n − 2 3 −11=|an − a| = − = .2n − 1 22(2n − 1)2(2n − 1)Для произвольного ε > 0 выберем N такое, чтобы N >любого n > N|an − a| =11 + 2ε, и тем самым< ε. Но тогда, для4ε2(2N − 1)116< ε,2(2n − 1)2(2N − 1)3n − 23= .n→∞ 2n − 12а значит, выполняется (1.1) и lim1.14. Доказать, что условие (1.1) выполняется для an =4n − 1и a = 2.2n + 19 − n31=−.n→∞ 1 + 2n321.15.

Доказать, исходя из определения, что limОпределение 1.4. Последовательность {bk = ank } называется подпоследовательностью последовательности{an }, если nk+1 > nk для всех k ∈ N.1.16. Доказать, что если {an } — сходящаяся последовательность и {ank } — любаяее подпоследовательность, то она сходится и к тому же пределу.31.17. Существует ли lim (−1)n−1 2 +?n→∞n♦ Указание. Рассмотреть подпоследовательности {a2n } и {a2n+1 } .7Последовательности, понятие предела(−1)n 1 + (−1)n1.18. Существует ли lim+?n→∞n2♦ Указание. Рассмотреть подпоследовательности с четными и нечетными номерами.1.19. Доказать, что если существуют равные пределы lim a2k = a и lim a2k+1 =k→∞k→∞= a, то существует и lim an = a. Какими должны быть возрастающие последова 0 n→∞тельности {nk } и nk , чтобы из существования и равенства пределов lim ank == lim an0 = a следовало, что существует lim an и он равен a?k→∞k→∞n→∞k1.20.

Пусть заданы числа x1 , x2 , . . . , xs . Привести пример последовательности{an } такой, что для каждого p = 1, 2, . . . , s, существует подпоследовательность{ank } такая, что lim ank = xp .k→∞1.21. Пусть задана последовательность {xn }. Привести пример последовательности {an } такой, что для каждого xp , p = 1, 2, . . ., существует подпоследовательность {ank } такая, что lim ank = xp .k→∞I Будем строить последовательность следующим образом:x1 , x1 , x2 , x1 , x2 , x3 , x1 , x2 , x3 , x4 , .

. .Нетрудно убедиться, что последовательность {ank } с номерами nk = 1, 2, 4, 7, 11, . . . (т. е. при n1 = 1, nk+1 == nk + k − 1) представляет из себя последовательность, все члены которой равны x1 , и, значит, её предел равенx1 . При nk = 3, 5, 8, 12, . . . (т. е. при n1 = 3, nk+1 = nk + k) все члены {ank } равны x2 , значит lim ank = x2 .k→∞Далее аналогично.Известны (см., например, [1]) арифметические свойства пределов:если последовательности {an } и {bn } схо anдятся, то сходятся последовательности {an ± bn }, {an bn },(если bn 6= 0 и lim bn 6= 0), причемn→∞bnlim (an ± bn ) = lim an ± lim bn ,n→∞n→∞lim an bn = lim an · lim bn ,n→∞n→∞n→∞lim ananlim= n→∞ , если lim bn 6= 0 и bn 6= 0 ∀n.n→∞ bnn→∞lim bnn→∞n→∞1.22.