Бобров А.Н., Радославова Т.В. - Задачи по высшей математике для биологов (А.Н. Бобров, Т.В. Радославова - Задачи по высшей математике для биологов), страница 2

Доказать, что сумма сходящейся и расходящейся последовательностей расходится.♦ Указание. Доказать от противного.1.23. Обязательно ли расходится сумма двух расходящихся последовательностей? Привести примеры.1.24. Доказать, что если lim an = a, то существует lim | an | =| a |. Обратноеn→∞n→∞утверждение неверно, если a 6= 0. Привести примеры.8Последовательности, понятие предела1.25.

Можно ли утверждать, что сходится или расходится последовательность{an bn } , если известно, что {an } сходится, а {bn } расходится?♦ Указание. Рассмотреть последовательности: {an } =n 11n, {bn } = {(−1) } и {an } = 1 +, {bn } =nn= {(−1) }.1.26. Обязательно ли расходится {an bn }, если {an } и {bn } расходятся?n♦ Указание. Рассмотреть {an } = {(−1) }, {bn } =1.27. Показать, что для {an }, an =не существует.1(−1) +nn.an+13 + (−1)n√n,limaсуществует,аlimnn→∞n→∞ an2n+11.28. Доказать, что если последовательность {an } сходится, то последовательность средних арифметических {ξn }, гдеξn =a1 + a2 + .

. . + annтакже сходится и lim ξn = lim an (см., например, [6], 113а, с. 58).n→∞n→∞1.29. Пусть {an } — сходящаяся положительная последовательность. Доказать,что последовательность средних геометрических {ηn }, где√ηn = n a1 a2 . . . anтакже сходится и lim ηn = lim an (см., например, [6], 114, с. 59).n→∞n→∞an+1√1.30. Доказать, что если an > 0 ∀n ∈ N и limсуществует, то lim n an =n→∞ ann→∞an+1= lim.n→∞ anI Воспользуемся результатом задачи 1.29.r√a2 a3ananan+1lim n an = lim n a1...= lim= lim.n→∞n→∞n→∞ an−1n→∞ ana1 a2an−1Теорема 1.2 (о переходе к пределу в неравенствах).

Пусть заданы две последовательности {an } и {bn }такие, что an 6 bn ∀n ∈ N и lim an = a, lim bn = b. Тогда a 6 b.n→∞n→∞1.31. Если в условиях предыдущей теоремы заменить нестрогие неравенства настрогие, будет ли верным такое утверждение?9Последовательности, понятие предела111, bn = или an = 0, bn = .n+1nn♦ Указание. Рассмотреть an =Теорема 1.3 (Вейерштрасса). Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.Формулировку теоремы можно уточнить: неубывающая ограниченная сверху последовательность имеет предел.

Для невозрастающей последовательности необходимо потребовать ограниченности снизу.1.32. Последовательность {an } определяется следующим образом:11an +, n = 0, 1, 2, . . .a0 > 0, an+1 =2anДоказать, что lim an = 1.n→∞I Из определения последовательности {an } следует, что an > 0. Докажем, что при любом выборе a0 вернонеравенство an > 1 n = 1, 2, . . . Действительно,(an − 1)2 > 0,a2n − 2an + 1 > 0,так как an > 0,то an − 2 +1> 0,an1> 2,an +an11an +> 1.2anЗначит, последовательность {an } ограничена снизу.Сравним an+1 и an при n = 1, 2, . .

.11 _an+1 =an +an ,2an1 _2an ,an +an1 _an .an16 an , а значит, an+1 6 an . То есть последовательность {an } является невозрастающей.anПо теореме Вейерштрасса существует lim an , который мы обозначим a. Для нахождения a достаточно перейти n→∞ 1111к пределу в равенстве an+1 =an +.

Получим a =a+(заметим, что a > 1 в силу теоремы о2an2aпереходе к пределу в неравенствах). Решая уравнение и выбирая корень, больший нуля, получаем a = 1. Поскольку an > 1, то10Функции, предел и непрерывность2 Функции, предел и непрерывность◦Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности U δ (x0 ) точки x0 .Определение 2.1. Число a называется пределом функции f (x) при x стремящемся к x0 и обозначаетсяlim f (x) = a, еслиx→x0◦◦◦∀ε > 0 ∃ U (x0 ) =U δ(ε) (x0 ) : ∀x ∈U (x0 ) ⇒ |f (x) − a| < ε.(2.1)2.1. Убедившись, что выполняется условие (2.1), доказать, что lim f (x) = a, гдеx→x0f (x) =2x2 − 21x − 11,x − 11x0 = 11, a = 23.I Сделаем тождественные преобразования при x 6= 11: 2 2 2x − 21x − 11 2x − 44x + 242 = |2x − 22| = 2 |x − 11| .− 23 = x − 11x − 11εТеперь ясно, что если для ε > 0 выбрать δ = δ (ε) = , то для всех x таких, что 0 < |x − 11| < δ , будет2выполнятьсяε|f (x) − 23| = 2 |x − 11| < 2δ = 2 = ε,2т.е.

lim f (x) = 23.x→x03x2 + 5x − 22.2. Доказать, что при x → −2 выполняется (2.1) для f (x) =иx+2a = −7.2.3. Доказать, чтоx2 − 4x + 3lim=2x→3x−3проверив непосредственно условие (2.1).2.4. Доказать, что lim f (x) = 0 ⇔ lim |f (x)| = 0.x→x0x→x0♦ Указание. Написать условия (2.1) из определения предела функции для f (x) и для |f (x)| и убедиться,что они совпадают.2.5. Доказать, что если lim f (x) = a, то lim |f (x)| = |a|. Обратное утверждеx→x0x→x0ние неверно.

Привести пример.2.6. Показать, что не существует lim f (x), гдеx→0 1, x > 0,0, x = 0,f (x) = sign x = −1, x < 0.11Функции, предел и непрерывностьРис. 1Рис. 2I Нам надо доказать, что имеет место следующее утверждение, являющееся отрицанием условия (2.1):◦∀a ∃ε > 0 ∀ U (0)◦∃x ∈U (0) : |f (x) − a| > ε.◦1и пусть U (0) — произвольная проколотая окрестность2точки 0. Тогда для любого x < 0 из этой окрестности (см. рис. 1) имеемРассмотрим два случая. Пусть a > 0.

Возьмем ε =|f (x) − a| = |−1 − a| = a + 1 > 1 >1= ε.2Таким образом, любое число a > 0 не может быть пределом функции при x → 0.◦Пусть a < 0, U (0) — произвольная проколотая окрестность точки 0 и x > 0 — любая точка из этой окрестности.Имеем (см. рис. 2)1|f (x) − a| = |1 − a| = 1 − a > 1 > = ε,2т.е. a < 0 тоже не может быть пределом функции при x → 0.12Функции, предел и непрерывность2.7. Показать, что lim f (x) = a тогда и только тогда, когда существуют пределыx→x0lim f (x) = f (x0 + 0) и lim f (x) = f (x0 − 0) и f (x0 + 0) = f (x0 − 0).x→x0 −x→x0 +2.8.

Доказать, что если функция f (x) имеет lim f (x) = a, то для любой {xn },x→x0◦xn ∈U (x0 ), lim xn = x0 , существует lim f (xn ) и равен a.n→∞n→∞♦ Указание. Проверить, что выполняется условие (1.1) из определения сходящейся последовательности. 02.9. Доказать, что если существуют последовательности {xn }, xn такие,что000 lim xn = x0 , xn 6= x0 , и lim xn = x0 , xn 6= x0 , и lim f (xn ) = a, lim f xn = b,n→∞n→∞n→∞a 6= b, то функция f (x) не имеет предела при x → x0 .n→∞♦ Указание. Доказать от противного, применив утверждение 2.8.2.10. Доказать, что если для каждой последовательности {xn } такой, что оналежит в некоторой проколотой окрестности точки x0 и xn → x0 , существуетlim f (xn ), то все такие пределы равны между собой.n→∞2.11. Доказать, что lim f (x) существует тогда и только тогда, когда существуетx→x0предел lim f (xn ) для всякой {xn }, xn 6= x0 , xn → x0 при n → ∞ (определениеn→∞предела по Гейне).♦ Указание.

Использовать утверждения из задач 2.8 – 2.10.Рис. 32.12. Доказать, что lim sinx→01не существует (см. рис. 3).x13Функции, предел и непрерывность♦ Указание. Рассмотреть последовательности {xn } =1nπиn 0oxn =2, или показать непоπ + 4πnсредственно для любого a, что условие (2.1) не выполняется.12.13. Существует ли lim x sin ?x→0x◦◦1= 0. Пусть ε — произвольное положительное число. Возьмем U (0) =U ε (0).x◦1Тогда для любого x ∈U (0) имеем |x| < ε и |f (x) − 0| = x sin 6 |x| < ε (см. рис.

4), откуда следует, чтоx1lim x sin = 0.x→0xI Покажем, что lim x sinx→0Рис. 4Будем считать, что каждая из функций α(x), β(x) не обращаются в нуль ни в одной точке некоторой проколотой◦окрестности U (x0 ) точки x0 .Определение 2.2. Функцию α(x) называют эквивалентной функции β(x) (обозначение: α ∼ β) при x → x0 ,◦если в U (x0 ) справедливо соотношение α(x) = β(x) · q(x), где lim q(x) = 1.x→x0Очевидно, это определение эквивалентно следующему:α∼β⇔limx→x0α(x)= 1.β(x)2.14. Верно ли следующее утверждение: пусть при x → x0 f (x) ∼ ϕ (x), g (x) ∼ϕ (x) + ψ (x)∼ ψ (x), h (x) ∼ η (x) и существует lim= a. Тогда существуетx→x0η (x)f (x) + g (x)lim= a. Привести примеры.x→x0h (x)I В общем случае утверждение неверно. Действительно, рассмотрим при x → 0 функции ϕ(x) = sin x, ψ(x) == − tg x, η(x) = (ex − 1)3 .

Эквивалентными для них являются соответственно:ϕ(x) ∼ x,ψ ∼ −x,14η ∼ x3 .Функции, предел и непрерывностьТогдаlimx→00f (x) + g(x)x−x= lim 3 = 0,= limx→0 xx→0 x3h(x)хотя на самом деле 2xsin xx−sinx−ϕ(x) + ψ(x)sin x − tg x12cos x = lim sin x(cos x − 1) = limlim= lim= lim=− .x→0x→0x→0x→0 (ex − 1)3x→0 x3 cos xη(x)x3x3 cos x2Определение 2.3. Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 , если она определена в некоторойокрестности этой точки и lim f (x) = f (x0 ).x→x02.15. Доказать по определению, что функция f (x) непрерывна в точке x0 :а) f (x) = sin x в точке x = x0 .I Для любого ε > 0 при |x − x0 | < δ = ε имеемx − x0|x − x0 |x + x0 | sin x − sin x0 | = 2 sin62cos= |x − x0 | < ε.22 2б) f (x) =√x в точке x = x0 > 0.√I Для любого ε > 0 и x0 > 0 при |x − x0 | < δ = ε x0 имеем√√|x − x0 ||x − x0 || x − x0 | = √< ε.√ < √x0x + x0√Если x0 = 0, то при |x| < δ = ε2 имеем x < ε .в) f (x) = cos x в точке x = x0 .√г) f (x) = 3 x в точке x = x0 .д) f (x) = x3 в точке x = x0 .2.16.