Бобров А.Н., Радославова Т.В. - Задачи по высшей математике для биологов (А.Н. Бобров, Т.В. Радославова - Задачи по высшей математике для биологов), страница 9

В к) воспользоваться неравенством> ∀x ∈ [2; +∞). В л)ln xxxx 1+x11воспользоваться неравенством α > для всех достаточно больших x.ln xx58Дифференциальные уравнения6 Дифференциальные уравненияТеорема 6.1 (существования и единственности решения задачи Коши). Пусть в области∗ D задананепрерывная функция f (x, y), имеющая в D непрерывную производную fy0 (x, y). Пусть также (x0 , y0 ) ∈ D.Тогда найдется такое δ > 0, что задача Коши 0y = f (x, y)(6.1)y(x0 ) = y0 ,имеет на отрезке [x0 − δ; x0 + δ] единственное решение.6.1.

Найти все решения задачи Коши 0 √y = y,y(0) = 0.Удовлетворяет ли эта задача теореме существования и единственности решения?I Заметим, что функция y(x) ≡ 0 является решением задачи Коши. Далее, считая, что y 6= 0, решим задачуметодом разделения переменных:ZZdydy√√y 0 = y, dy = y dx, √ = dx,√ = dx,yy√2 y = x + C,y(0) = 0 =y=(x + C)2,4⇒C = 0,C24y=x2.4x2, и задача не удовлетворяет4√условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Действительно, f (x, y) = y, как1функция двух переменных имеет производную fy0 = √ , разрывную в любой области, содержащей начало2 yкоординат.Таким образом, решениями задачи Коши являются две функции y = 0 и y =6.2.

Через каждую точку плоскости проходят две интегральные кривые дляуравнения (y 0 )2 = 1. Противоречит ли это теореме существования и единственности решения задачи Коши?6.3. Доказать, что если y0 — ненулевое решение линейного однородного уравне0ния первого порядка y + p(x)y = 0 с непрерывным коэффициентом p(x), то1. для любого C функция y = Cy0 тоже решение этого уравнения;2. для любого решения y этого уравнения найдется константа C такая, чтоy = Cy0 .∗Областью называется непустое множество D точек, обладающее следующими двумя свойствами: 1) D —открытое множество, т.

е. каждая точка D имеет окрестность, целиком принадлежащую D; 2) множество Dсвязно, т. е. любые две его точки можно соединить состоящей из конечного числа звеньев ломаной, целикомлежащей в D.59Дифференциальные уравнения0Таким образом y = Cy0 — общее решение уравнения y + p(x)y = 0.06.4. Пусть y — некоторое частное решение неоднородного уравнения y + p(x)y == f (x), где p(x) и f (x) — непрерывные на промежутке ha; bi функции. Доказать,что1. если y — другое решение этого уравнения, то y − y — решение однородного0уравнения y + p(x)y = 0;2. если y0 — решение однородного уравнения, то y0 + y — решение неоднородного уравнения;3. для любого решения y неоднородного уравнения найдется константа C такая, что y = Cy0 + y.0Таким образом y = Cy0 + y — общее решение уравнения y + p(x)y = f (x).06.5.

Пусть даны два решения y1 и y2 линейного уравнения y + p(x)y = f (x).Выразить через них общее решение этого уравнения.06.6. Найти то решение уравнения y sin 2x = 2(y + cos x), которое останется ограπниченным при x → .21♦ Указание.

Рассмотреть формулу для общего решения y = C tg x −cos x .Пусть задано дифференциальное уравнение n–го порядка, разрешённое относительно старшей производной000(6.2)y (n) = f (x, y, y , y , . . . , y (n−1) ).Решить это уравнение — значит найти такую функцию y = ϕ(x), которая приподстановке её в равенство (6.2) обращает его в тождество.Если для уравнения (6.2) в точке x0 заданы начальные условияy(x0 ) = y0 ,00(n−1)y (x0 ) = y0 , . . .

, y (n−1) (x0 ) = y0,(6.3)то говорят, что задана задача Коши (6.2), (6.3) для уравнения (6.2) . Решитьзадачу Коши (6.2) , (6.3) — значит найти такое решение уравнения (6.2) y == ϕ(x), для которого выполняются условия (6.3), т.е.ϕ(x0 ) = y0 ,00(n−1)ϕ (x0 ) = y0 , . . . , ϕ(n−1) (x0 ) = y0.Введем вспомогательные функцииy1 (x) = y(x),000y2 (x) = y1 = y (x), . . . , yn (x) = yn−1 = y (n−1) (x).60Дифференциальные уравненияТогда уравнение (6.2) можно переписать какdy1= y2 (x),dxdy2= y3 (x), dx············dyn−1= yn (x),dx dyn = f (x, y (x), .

. . , y (x)).1ndxЭта система есть частный случай более общей системы n дифференциальныхуравнений "нормальной формы"dy1= f1 (x, y1 (x), . . . , yn (x)),dx dy2= f2 (x, y1 (x), . . . , yn (x)),(6.4)dx··················dy n = fn (x, y1 (x), . . . , yn (x)).dxЕсли для системы (6.4) заданы начальные условия в точке x0y1 (x0 ) = y10 ,y2 (x0 ) = y20 , . . . , yn (x0 ) = yn0 ,(6.5)то говорят, что задана векторная задача Коши.

Таким образом, задача Коши(6.2), (6.3) сводится к векторной задаче Коши (6.4), (6.5).Теорема 6.2 (существования и единственности решения векторной задачи Коши). Пусть функцииfi (x, y1 , . . . yn ), i = 1, . . . , n, непрерывны в области D ⊂ Rn+1 и имеют в D непрерывные частные производныепо y1 , y2 , . . . , yn ; пусть также дана точка (x0 , y10 , . . . , yn0 ) ∈ D. Тогда найдется δ > 0 такое, что векторнаязадача Коши (6.4), (6.5) имеет на отрезке [x0 − δ; x0 + δ] решение, и притом, единственное.6.7. Могут ли графики двух решений уравненияa) y 0 = x + sin y,б) y 00 = x + sin y,пересекаться в некоторой точке (x0 , y0 )?I a) Функция f (x, y) = x + sin y непрерывна вместе со своей частной производной fy0 (x, y) = cos y на всейплоскости xOy.

По теореме 6.1 через каждую точку (x0 , y0 ) проходит единственная интегральная кривая этогоуравнения. Следовательно пересечение графиков двух его решений в точке (x0 , y0 ) невозможно.61Дифференциальные уравненияб) Уравнение y 00 = x + sin y удовлетворяет условиям теоремы 6.2 для каждого набора (x0 , y0 , y00 ) начальныхданных, и значит, через точку (x0 , y0 ) проходит единственная кривая с тангенсом угла наклона касательнойравным y00 .

Задавая различные y00 , получим различные интегральные кривые, пересекающиеся в точке (x0 , y0 )под разными углами. Таким образом, пересечение интегральных кривых уравнения y 00 = x + sin y в точке(x0 , y0 ) возможно.6.8. Могут ли графики двух решений уравненияa) y 0 = x + sin y,б) y 00 = x + sin y,в) y 000 = x + sin yкасаться друг друга в некоторой точке (x0 , y0 )?6.9. Сколько существует интегральных кривых уравнения y (n) = x2 + y 3 , проходящих через точку (0, 0) и имеющих тангенс угла наклона касательной в этойточке, равный двум?6.10. Сколько интегральных кривых уравнения y (n) = f (x, y) (f и fy0 непрерывнына всей плоскости xOy) проходят через точку (x0 , y0 ) с заданным направлениемπкасательной, образующим угол α 6= с осью Ox?26.11. При каких n уравнение y (n) = f (x, y) (f и fy0 непрерывны на всей плоскостиxOy) может иметь решения y1 = x и y2 = x + x4 ?Теперь сформулируем отдельно теорему существования и единственности задачи Коши для очень важного частного случая уравнения (6.2) — линейногодифференциального уравнения n–го порядка(6.6)y (n) + p1 (x)y (n−1) + .

. . + pn−1 (x)y 0 + pn (x)y = f (x)с начальными условиямиy(x0 ) = y0 ,y 0 (x0 ) = y00 ,...,(n−1)y (n−1) (x0 ) = y0.(6.7)Теорема 6.3 (существования и единственности решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения n–го порядка). Пусть все коэффициенты pi (x), i = 1, 2, . . . , n, линейного дифферен(n−1)циального уравнения (6.6) и функция f (x) непрерывны на промежутке ha; bi, x0 ∈ ha; bi и y0 , y00 , .

. . , y0— произвольные числа. Тогда на ha; bi существует, и притом единственное, решение y = ϕ(x) уравнения (6.6),удовлетворяющее начальным условиям (6.7).6.12. Может ли y = x2 быть решением уравнения y 00 + p (x) y 0 + q (x) y = 0 снепрерывными на ha; bi, a < 0 < b, коэффициентами p (x) и q (x)?62Дифференциальные уравненияI Для исследуемого уравнения поставим начальные условия y(0) = 0, y 0 (0) = 0. Очевидно, что все условиятеоремы существования и единственности линейного однородного уравнения 2–го порядка выполнены.

Нетрудно заметить, что функция y(x) ≡ 0 является решением этой задачи. В силу единственности решения, функцияy(x) = x2 , также удовлетворяющая начальным данным, не может быть решением этого уравнения.6.13. При каких n уравнение y (n) +p1 (x) y (n−1) +. . .+pn (x) y = 0 c непрерывнымина ha; bi, a < 0 < b, коэффициентами может иметь частное решение y = x3 ?♦ Указание. Рассмотреть начальные условия в точке x0 = 0 и воспользоваться единственностью решениязадачи Коши.6.14. Могут ли графики двух решений уравнения y 00 + q (x) y = 0 с непрерывнойq (x) располагаться так, как на рисунках 26, 27?Рис. 266.15.

Могут ли графики двух решений уравненияy (n) + p1 (x)y (n−1) + . . . + pn (x)y = 0с непрерывными коэффициентами на прямой Oxa) пересекаться;б) касаться друг друга?Определение 6.1. Функции y1 , y2 , . . . , yn называются линейно зависимыми на ha; bi, если существуют постоянные α1 , α2 , .

. . , αn , не все равные нулю (т.е. α12 + α22 + . . . + αn2 6= 0) такие, что на ha; biα1 y1 (x) + α2 y2 (x) + . . . + αn yn (x) ≡ 0.(6.8)В противном случае (т.е. если тождество (6.8) возможно только при α1 = α2 = . . . = αn = 0) функции y1 , y2 ,. . . , yn называются линейно независимыми на ha; bi.63Дифференциальные уравненияРис. 27Линейное дифференциальное уравнение n–го порядкаy (n) + p1 (x)y (n−1) + . .

. + pn (x)y = 0(6.9)называется однородным.Определение 6.2. n линейно независимых решений уравнения (6.9) называются фундаментальной системойрешений этого уравнения.Из общей теории решения линейных дифференциальных уравнений известно, что если y1 , y2 , . . . , yn — фундаментальная система решений однородногоуравнения (6.9), то общее решение этого уравнения дается формулойy = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + . . . + Cn yn (x).(6.10)Если известно ещё и частное решение ȳ неоднородного уравнения (6.6), то общеерешение неоднородного уравнения дается формулойy = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + . .

. + Cn yn (x) + ȳ.(6.11)6.16. Исследовать, являются ли данные функции линейно зависимымиа) y1 = x + 2, y2 = x − 2;б) y1 = 6x + 9, y2 = 8x + 12.6.17. Исследовать, являются ли функции y1 = x2 −x+3, y2 = 2x2 +x, y3 = 2x−4линейно зависимыми.I Рассмотрим тождествоα1 (x2 − x + 3) + α2 (2x2 + x) + α3 (2x − 4) ≡ 0.64Дифференциальные уравненияИли(α1 + 2α2 )x2 + (−α1 + α2 + 2α3 )x + (3α1 − 4α3 ) ≡ 0.Последнее тождество возможно только, если все коэффициенты при степенях x равны нулю.