Бобров А.Н., Радославова Т.В. - Задачи по высшей математике для биологов (А.Н. Бобров, Т.В. Радославова - Задачи по высшей математике для биологов), страница 11

В случае, если y(0) > 0, получаем2S = xy =3Zx1y(t) dt или S = xy =30Zxy(t) dt0(в зависимости от того, большую или меньшую часть прямоугольника xy закрывает трапеция). Дифференцируем эти равенства по x и получаем в первом случае2(xy 0 + y) = y,32dydx=,yxx = Cy 2 ;во втором случае1dy2dx(xy 0 + y) = y,=, y = Cx2 .3yxЗдесь C — некоторая положительная константа.Случай, когда y(0) 6 0, сводится к рассмотренному, если оси Ox и Oy поменять местами.

Если кривая расположена в других четвертях, то получаем эти же два решения, только константа C теперь может приниматьотрицательные значения.70Дифференциальные уравнения6.36. Найти кривую, у которой точка пересечения любой касательной с осьюабсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат.y(x 6= 0).xИз геометрических соображений угол α наклона касательной к кривой в точке (x, y) равен 2β. Значит, tg α =2xyи мы получаем дифференциальное уравнение= tg 2β = 2x − y2I Пусть β — угол, который радиус–вектор точки (x, y) на кривой образует с осью Ox, т. е.

tg β =y0 =2xy.− y2x2Это однородное уравнение первого порядка решается заменой y = xt(x). Тогда y 0 = xt0 + t, xt0 + t =1 − t2dxdt ==xt + t312t−t1 + t2Тогдаln |x| = ln |t| − ln(1 + t2 ) + ln |C|,т. е. x2 + y 2 = Cy — искомая кривая.x=C2tили1 − t2dt.txy=C 2,21+tx + y26.37. Найти кривую, у которой расстояние до любой касательной от начала координат равно абсциссе точки касания.6.38. Найти кривую, каждая касательная к которой образует с осями координаттреугольник площадью 2.x yI Ограничимся рассмотрением случая x, y > 0. Напишем уравнение касательной в отрезках: + = 1. Тогдаa b4xayab = 4, b = , и мы получаем семейство прямых+= 1.

Найдем дифференциальное уравнение этогоaa4семейства. Для этого продифференцируем по x и исключим a:r1 ay 0−4−12+= 0, a = 0 , a = 2,a4yy0√ 0x −yy+ √ 0 = 1,22 −yилиpy = xy 0 + 2 −y 0 .Это так называемое уравнение Клеро. Оно является уравнением, неразрешенным относительно y 0 и реша√p0ется методом введения параметра (см.

9, 11). Положим y 0 = p. Тогда y = xp + 2 −p, y 0 = p = p + xp0 − √ ,−p10p x− √= 0.−p√1. Уравнение p0 = 0 дает p = C и приводит к семейству прямых y = Cx + 2 −C. Это общее решение уравненияКлеро.√12. Из уравнения x − √= 0 выражаем p через x и подставляя в уравнение y = xy 0 + 2 −y 0 , получаем особое−p√1решение y = исходного уравнения, представляющее из себя уравнение огибающей семейства y = Cx+2 −C.x112Действительно, для любой точки (x0 , y0 ) на кривой y = уравнение касательной y = − 2 x+задает прямуюxx0x0√1из семейства, являющуюся общим решением при C = − 2 .

Обратно, любая прямая y = Cx + 2 −C из этогоx0√11семейства является касательной к кривой y = в точке √, −C .x−CОтметим, что в точках огибающей нарушается единственность решения задачи Коши для рассматриваемого уравнения.71Дифференциальные уравнения6.39. Найти кривую, каждая касательная к которой отсекает на осях координат такие отрезки, что сумма величин, обратных квадратам длин этих отрезков,равна единице.6.40. Скорость остывания (или нагревания) тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Температура окружающего воздуха поддерживается равной 20◦ C.

Когда тело остынет до 25◦ C, если за 10 минут оно охладилось от 100◦ C до 60◦ C?I Учитывая закон остывания тела, можно написать соотношениеdT= k(T − T0 ),dtгде T — температура тела. T0 = 20◦ C — температура окружающей среды, k — коэффициент пропорциональности. Интегрируя это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, получимT = Cekt + 20.ln 2. ТакимИз начального условия T (0) = 100◦ C находим C = 80, а из условия T (10) = 60◦ C находим k = −10ln 2t−образом T = 80e 10 + 20. Положив T = 25, находим требуемый момент времени t = 40 мин.6.41.

В исследованном куске горной породы содержится 100 мг урана и 14 мгуранового свинца. Известно, что уран распадается наполовину за 4, 5 · 109 лет, ичто при полном распаде 238 г урана образуется 206 г уранового свинца. Определить возраст горной породы считая, что в момент образования горная породане содержала свинца, и пренебрегая наличием промежуточных радиоактивныхпродуктов между ураном и свинцом (так как они распадаются намного быстрееурана).I Обозначим через x(t) — количество урана в момент времени t, t > 0.

Так как скорость распада пропорциональна количеству урана в данный момент времени t, то получаем простейшую модель радиоактивногораспадаdx= −kx.dtРешение этого уравнения с разделяющимися переменными дает x(t) = x(0)e−kt , где x(0) — начальное количеln 2ство урана в момент времени t = 0. Отметим, что период полураспада определяется по формуле t̄ =.kОпределим начальное количество урана в породе. Для этого найдем количество s полностью распавшегосяs238238урана из пропорции=. Получим s = 14 ·≈ 16, 2 мг. Следовательно, первоначальное количество14206206238урана в куске породы было 100 + 14 ·≈ 116, 2 мг.206ln 2По формуле для периода полураспада находим k =.

Наконец, из формулы решения4, 5 · 109x(t) = 116, 2 · e−kt получаем 100 = 116, 2 · e−kT ,T =ln 1, 1624, 5 · 109=≈ 970 · 106 летkln 2— возраст горной породы.72Дифференциальные уравнения6.42. Рассмотрим модель Бэйли в теории эпидемий (см., например, [13]).

Предположим, что изучаемое заболевание носит длительный характер, так что процесспередачи инфекции — значительно более быстрый, чем течение самой болезни.При этом будем предполагать, что зараженные особи не удаляются из колониии передают при встречах инфекцию незараженным. Найти зависимость числанезараженных особей от начальных данных в промежутке времени, меньшемвремени жизни одного поколения (т. е.

без учета естественной смертности).I Пусть x(t) — число незараженных особей в момент времени t, y(t) — число зараженных к моменту t, α, β— соответственно число незараженных и зараженных в начальный момент t = 0. Здесь 0 6 t 6 T . Тогда,поскольку общее количество особей колонии неизменно, то для любого tx(t) + y(t) = α + β.(6.15)Так как инфекция передается при встречах зараженных с незараженными, то число незараженных будетубывать с течением времени пропорционально количеству встреч между теми и другими, т.

е. пропорциональнопроизведению xy. Для промежутка времени от t до t + ∆t имеем∆x = x(t + ∆t) − x(t) = −γxy∆t,откудаdx= −γxy.dtЗдесь γ > 0 — коэффициент, отражающий вирулентность заболевания. Подставив в это равенство выражениеy(t) из (6.15), получим дифференциальное уравнение относительно x(t):dx= −γx(α + β − x).dtРешая это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, получаем:dx1dxdx= −γdt,+= −γdt,x(α + β − x)α+β xα+β−x1(ln x − ln(α + β − x)) = −γt + C,α+βx= Ce−γ(α+β)t .α+β−xПри t = 0 число незараженных, т.

е. x(0), равно α. Подставляя в решение эти начальные данные, находимαC = . Таким образомβxα= e−γ(α+β)t .α+β−xβРазрешая это уравнение относительно x, получим закон убывания числа незараженных особей со временем:x(t) =α(α + β).α + βeγ(α+β)t6.43. Найти зависимость плотности количества муравьев от расстояния до муравейника в стационарной модели (см., например, [14]).73Дифференциальные уравненияРис. 28I В мирмекологии хорошо известен общинный характер жизни муравьев. Найденную пищу или строительныйматериал муравьи не потребляют на месте, а несут в муравейник. Поэтому вблизи муравейника муравьевбольше, чем вдали от него. Будем считать для простоты, что основанием муравейника служит круг радиуса Rи что пространство вне муравейника однородно и по распределению питательных веществ и по проходимости.Это значит, что все точки, лежащие на окружности радиуса R, равноправны в смысле ценности их окрестностейдля муравьев.

Поэтому плотность муравьев во всех точках окружности радиуса r (r > R) будет одной и тойже. Отсюда следует, что при анализе плотности, как функции от расстояния r до муравейника, мы можемограничиться рассмотрением точек, лежащих на одном луче.Мы будем рассматривать стационарный случай, т. е. такой случай, когда плотность в каждой точке внемуравейника не меняется со временем. Это не значит, что муравьи не перемещаются. В поисках пищи онипереходят с одного места на другое до тех пор, пока что-нибудь не найдут. Мы считаем их поисковые перемещения случайными, поэтому если несколько муравьев покинуло некоторую окрестность за единицу времени,то примерно такое же количество пришло в эту окрестность из других участков.

Аналогично, если какое-токоличество муравьев скрылось в муравейнике с пищей, то примерно такое же количество вышло из муравейника в поисках пищи. Описанная ситуация осуществляется в реальных муравейниках в течении несколькихдневных часов.Пусть p(r) — плотность муравьев на расстоянии r от центра муравейника. Тогда p(R) — значение плотности на границе муравейника. Рассмотрим две точки лежащие на одном луче: точку A, отстоящую от центрамуравейника на расстоянии r, и точку B, отстоящую на расстоянии r + ∆r (см. рис. 28). Проследим за обменом муравьями между окрестностями этих точек. Пусть n(r) — количество муравьев в окрестности точкиA, n(r + ∆r) — количество муравьев в окрестности точки B.

В поисках пищи муравьи разбегаются в разныхнаправлениях, при этом ни одно направление не является предпочтительным. Следовательно, если из окрестности точки A в направлении точки B вышло αAB n(r), αAB < 1, муравьев, то из окрестности точки B внаправлении точки A вышло αBA n(r + ∆r) муравьев, причем αAB = αBA .Однако не все муравьи, вышедшие из окрестности точки A в направлении точки B, дойдут до окрестностиэтой точки. Часть из них, найдя по дороге пищу, вернется в муравейник. Понятно, что эта часть будет тембольше, чем больше расстояние ∆r между точками A и B.

Таким образом, количество муравьев, вышедшихиз окрестности точки A и дошедших до окрестности точки B, можно выразить какnAB = αAB n(r) − βαAB n(r)∆r,где β > 0 — коэффициент, определяющий долю вернувшихся. Этот коэффициент зависит от ценности пространства. Чем богаче пространство, тем больше β.74Дифференциальные уравненияЧто же касается количества муравьев, вышедших из окрестности точки B в направлении точки A, ток нему нужно еще прибавить тех муравьев, которые выйдя в других направлениях, по дороге нашли пищуи отправились в муравейник.