Бобров А.Н., Радославова Т.В. - Задачи по высшей математике для биологов (А.Н. Бобров, Т.В. Радославова - Задачи по высшей математике для биологов), страница 4

рис. 6)?Рис. 83.18. Может ли функция f (x) иметь производную (см. рис. 8)0, x 6 0,0а) f (x) =1, x > 0;0, x 6= 0,б) f 0 (x) =1, x = 0.3.19. Может ли непрерывная в окрестности точки x = 0 функция иметь производную f 0 (x) для x 6= 0, но f 0 (0) не существует, причем (см. рис. 9, 10, 11)a) f 0 (x) = 0 ∀x 6= 0;24ПроизводнаяРис. 9Рис. 10б) f 0 (x) = 1 ∀x 6= 0;в) f 0 (x) = x + 1 ∀x 6= 0.3.20.

Имеют ли производные в точке x = 0 следующие функции:а) y = x |sin x|; б) y = x · x3 .25ПроизводнаяРис. 113.21. Известно, что f (x) дифференцируема в точке x = 0 и x2 sin 1 , x 6= 0,ϕ (x) =x0, x = 0.Доказать, что f (ϕ (x)) имеет в точке x = 0 производную, равную нулю.3.22. Доказать, что функция(f (x) =1e− x2 , x 6= 0,0, x = 0,бесконечно дифференцируема при x = 0. Найти f (n) (0), n = 1, 2, ....Теорема 3.1 (лемма к теореме Ферма). Пусть функция f (x) определена на некотором интервале X иимеет в точке x0 ∈ X конечную производную f 0 (x0 ). Если f 0 (x0 ) > 0 (f 0 (x0 ) < 0), то существует такое числоδ > 0, что для всех x ∈ X таких, что 0 < x − x0 < δ, выполняется неравенство f (x) > f (x0 ) (f (x) < f (x0 )), адля всех x ∈ X таких, что 0 < x0 − x < δ, выполняется неравенство f (x) < f (x0 ) (f (x) > f (x0 )).Необходимо заметить, что при рассмотрении непрерывно дифференцируемых функций, использование этойлеммы приводит к выводу о монотонности функции в некоторой окрестности точки x0 .

Однако, в общемслучае это далеко не так.3.23. Привести пример функции, имеющей конечную производную в точке, ноне являющейся монотонной ни в какой окрестности этой точки.1I Рассмотрим функцию f (x) = x D(x) −+ x, где D(x) — функция Дирихле (см. 2.2). Убедимся, что в22точке x = 0 функция x D(x) является дифференцируемой. Действительно,2(∆x)2 D(∆x)= lim ∆xD(∆x) = 0,x→0x→0∆xlim26ПроизводнаяРис. 12поскольку функция Дирихле ограничена. Нетрудно убедится, что в остальных точках x2 D(x) разрывна, и,значит, недифференцируема.

Тем самым f (x) дифференцируема лишь в точке x = 0 и0 1 22002= (x D(x)) − x + 1 = 1.f (0) = x D(x) − x + x 2x=0x=0Значит, все условия леммы выполнены, но, в чем легко убедиться, функция не является монотонной ни в какойокрестности точки x = 0.Утверждение леммы, конечно же, остается верным. При рациональных значениях x точки графика f (x)11лежат на параболе y = x2 + x, а при иррациональных — на параболе y = − x2 + x (см. рис.

12). Очевидно,22что при 0 < x < 2 обе ветви параболы лежат выше оси Ox, а при −2 < x < 0 — ниже оси. Так как f (0) = 0, тоутверждение леммы выполняется.Теорема 3.2 (Ферма). Пусть функция f (x) определена на некотором интервале X и в точке x0 ∈ X принимаетнаибольшее или наименьшее значение. Если в этой точке функция дифференцируема, то f 0 (x0 ) = 0.3.24. Привести пример функции, дифференцируемой лишь в точке своего минимума (максимума).I Рассмотрим функцию f (x) = x2 (D(x) + 1), где D(x) — функция Дирихле из задачи 2.2. Из задачи 3.23мы знаем, что x2 D(x) дифференцируема лишь в точке x = 0 и её производная равна 0.

В остальных точкахона разрывна и, значит, недифференцируема. Это же верно и для f (x). Точки её графика лежат на параболеy = 2x2 , если x рационально, и на параболе y = x2 , если x иррационально. Обе эти параболы имеют минимумв точке x = 0, значит и f (x) имеет в этой точке минимум.3.25. Верно ли утверждение, обратное к теореме Ферма? То есть, если у функциипроизводная обращается в ноль в некоторой точке, значит в этой точке находитсяминимум или максимум функции.27Производная1♦ Указание. Рассмотреть функцию f (x) = x3 в точке x = 0. Другой пример дает функция x2 D(x) −,2где D(x) — функция Дирихле (сравнить с 3.23).Теорема 3.3 (Ролля).

Пусть функция f (x) удовлетворяет следующим условиям:1. определена и непрерывна на отрезке [a, b];2. имеет производную f 0 (x) в каждой точке интервала (a, b);3. на концах отрезка принимает равные значения: f (a) = f (b).Тогда в интервале (a, b) найдется такая точка c, что f 0 (c) = 0.3.26. Будет ли верна теорема Ролля, если потребовать непрерывности функциилишь на полуинтервале [a, b)? Привести пример.3.27.

Будет ли верна теорема Ролля, если функция не имеет производной в однойточке интервала (a, b)? Привести пример.3.28. Какое условие теоремы Ролля нарушено для функцииа) y = |x|;б) y = x;√3в) y = x2 ?Теорема 3.4 (Лагранжа). Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a, b], и существуетпроизводная f 0 (x) в каждой точке интервала (a, b). Тогда в интервале (a, b) существует такая точка c, чтоf (b) − f (a)= f 0 (c).b−aТеорема 3.5 (Коши).

Пусть функции f (x), g(x) определены и непрерывны на отрезке [a, b], имеют производные f 0 (x), g 0 (x) на интервале (a, b), при этом g 0 (x) 6= 0 при любом x ∈ (a, b). Тогда в интервале (a, b) существуеттакая точка c, чтоf 0 (c)f (b) − f (a)= 0 .g(b) − g(a)g (c)3.29. Известно, что f (x) непрерывна на [0; 1], дифференцируема на (0; 1), f (0) == 4, f (1) = 2, f 0 (x) > −2. Доказать, что f (x) — линейная функция.♦ Указание. Рассмотреть функцию g (x) = f (x) + 2x − 4.I Рассмотрим функцию g(x) = f (x) + 2x − 4. Так как g 0 (x) = f 0 (x) + 2 > 0 ∀x ∈ (0; 1), то g(x) не убывает на[0; 1]. Так как g(0) = f (0) − 4 = 0 и g(1) = f (1) + 2 − 4 = 0, то g(x) ≡ 0 на [0; 1]. Следовательно, f (x) + 2x − 4 = 0∀x ∈ [0; 1], откуда f (x) = −2x + 4 ∀x ∈ [0; 1], т. е.

f (x) — линейная функция.3.30. Доказать, что если существуют lim f 0 (x) = A, lim f 0 (x) = A и f (x)x→a+0непрерывна в точке x = a, то существует f (a) = A.♦ Указание. Применить теорему Лагранжа.28x→a−Производная3.31. Будет ли верна теорема Лагранжа, если потребовать непрерывности функции лишь на полуинтервале [a, b)? Привести пример.3.32. Будет ли верна теорема Лагранжа, если функция не имеет производной водной точке интервала (a, b)? Привести пример.3.33.

Доказать свойство Дарбу: если функция дифференцируема на [a; b], то еёпроизводная, принимая какие-нибудь два значения, принимает и любое промежуточное.♦ Указание. Свести задачу к случаю f 0 (a) = 0, f 0 (b) > 0 и применить теорему Лагранжа.3.34. Привести пример такой недифференцируемой в одной точке интервала(a, b) функции g(x), что заключение теоремы Коши не выполняется.I Рассмотрим f (x) = x и g(x) = |x| на отрезке [−1, 2].

Все условия теоремы Коши, кроме условия дифференf (b) − f (a)2 − (−1)цируемости функции g(x) в точке x = 0 выполнены. Однако== 3, в то же время, какg(b) − g(a)2−1f 0 (c)f 0 (c)= −1 при x ∈ [−1, 0) и 0= 1 при x ∈ (0, 2].0g (c)g (c)3.35. Привести пример функции, которая не имеет максимального значения нина каком, сколь угодно малом, отрезке.I Рассмотрим функцию(f (x) =m,n0, если x — иррациональное число,n,если x — рациональное числоm— несократимая дробь, m — целое, n — натуральное число.

Пусть задан произвольный отрезок [a, b].nВыберем любое число x0 ∈ (a, b) и любое C > 0. В интервале (a, b) лежит лишь конечное число рациональ◦mс n 6 C. Тогда существует некоторая проколотая окрестность U (x0 ) точки x0 , целикомных чисел видаnлежащая в (a, b) и такая, что в ней нет рациональных чисел со знаменателем не превосходящим C. Значит длявсех рациональных точек этой окрестности f (x) > C. В силу произвольности выбора числа C, мы доказалилокальную неограниченность f (x).Заметим также, что f (x) является разрывной в любой точке вещественной прямой R.гдеТеорема 3.6 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).

Пусть функция f (x) определенав некоторой окрестности точки x0 и имеет конечную производную f (n) (x0 ). Тогда справедливо представлениеf (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +f 00 (x0 )f (n) (x0 )(x − x0 )2 + . . . +(x − x0 )n + o((x − x0 )n ),2!n!где остаточный член o((x − x0 )n ) является бесконечно малой при x → x0 более высокого порядка чем (x − x0 )n ,т. е.o((x − x0 )n )lim= 0.x→x0 (x − x0 )n3.36.

Для произвольного натурального n получить разложение функции( 1− x2f (x) = e , x 6= 0,0, x = 0,по формуле Тейлора в точке x0 = 0.29Производная♦ Указание. Воспользоваться результатами задачи 3.22.3.37. Найти такое значение a, при котором функция f (x) непрерывна в точкеx = 0. Проверить существование и найти значения f 0 (0), f 00 (0), f 000 (0), f IV (0),если sin x , x 6= 0,a) f (x) =xa, x = 0.sin x= 1, то для непрерывности в точке x = 0 необходимо положить a = 1.