Бобров А.Н., Радославова Т.В. - Задачи по высшей математике для биологов (А.Н. Бобров, Т.В. Радославова - Задачи по высшей математике для биологов), страница 3

Обязательно ли будет разрывной в данной точке x0 сумма двух функцийf (x) + g(x), еслиа) функция f (x) непрерывна, а функция g(x) разрывна в x0 ;б) обе функции f (x) и g(x) разрывны в x0 ?Привести соответствующие примеры.2.17. Обязательно ли будет разрывной в данной точке x0 произведение двухфункций f (x)g(x), если15Функции, предел и непрерывностьа) функция f (x) непрерывна, а функция g(x) разрывна в x0 ;б) обе функции f (x) и g(x) разрывны в x0 ?Привести соответствующие примеры.2.18.

Доказать, что если f (x) — непрерывная функций, |f (x)| также являетсянепрерывной функцией.♦ Указание. Воспользоваться результатом задачи 2.5.2.19. Доказать, что если функция f (x) непрерывна, то функция −c, если f (x) < −c,f (x), если |f (x)| 6 c,fc (x) =c, если f (x) > c,где c — любое положительное число, также непрерывна.2.20. Доказать, что функция Дирихле1, если x — рациональное число,D(x) =0, если x — иррациональное число(2.2)является разрывной в каждой точке вещественной прямой R.2.21.

Привести пример функции, заданной на всей числовой прямой, непрерывной лишь в одной точке.♦ Указание. Рассмотреть функцию xD(x), и доказать, что она непрерывна при x = 0 и разрывна востальных точках.2.22. Привести пример функции, заданной на всей числовой прямой, и имеющейпредел только при x → +∞.D(x).xТеорема 2.1 (о непрерывности сложной функции). Пусть функции f (u) и g(x) непрерывны в точках u0и x0 соответственно. Если g(x0 ) = u0 , то сложная функция f (g(x)) непрерывна в точке x0 .♦ Указание.

Рассмотреть функцию2.23. Обязательно ли будет разрывной в данной точке x0 суперпозиция двухфункций f (g(x)), еслиа) функция f (x) непрерывна, а функция g(x) разрывна в x0 ;б) функция f (x) разрывна в x0 , а функция g(x) непрерывна.Привести соответствующие примеры.16Функции, предел и непрерывность2.24. Обязательно ли будет разрывной в точке x0 суперпозиция f (g(x)) двухразрывных в этой точке функций f (x) и g(x).♦ Указание. Рассмотреть f (x) = g(x) = D(x). Тогда D(D(x)) ≡ 1. Можно привести другой пример.Рассмотрим f (x) = x2 и1, если x — рациональное число,g(x) =−1, если x — иррациональное число.Тогда f (g(x)) = g 2 (x) ≡ 1.2.25.

Доказать, что функция Римана(1m, если x — рациональное число ,R(x) =nn0, если x — иррациональное число,(2.3)mгде— несократимая дробь, m — целое, n — натуральное число, непрерывна вnиррациональных и разрывна в рациональных точках.Рис. 51mI Пусть x0 =— рациональное число. Тогда R(x0 ) = . Очевидно, что последовательность рациональныхnnm1pm + 11чисел+сходится к x0 при p → ∞. Однако lim R= lim= 0, а значит, не выполняетсяp→∞p→∞ pnnpnpnусловие непрерывности в точке.Пусть x0 — иррациональное число. Тогда R(x0 ) = 0. Если xn —иррациональных чисел последовательностьmkтаких, что lim xn = x0 , то R(xn ) = 0 и lim R(xn ) = 0. Если— последовательность рациональныхn→∞n→∞nkчисел, сходящаяся к x0 , то lim nk = +∞ иk→∞lim R(xn ) = lim Rk→∞k→∞mknk= limk→∞1= 0.nkЗначит, по определению предела по Гейне (см. задачу 2.11) lim R(x) = 0 и функция непрерывна в иррациоx→x0нальных точках.17Функции, предел и непрерывность1112.26.

Функция f (x) =, при x ∈; , n = 1, 2, . . .; f (0) = 0;n+1n+1 nf (−x) = f (x), x ∈ [−1; 1] (см. рис. 5). Является ли f (x) непрерывной в точкеx = 0?2.27. Является ли функция x sin 1 , x 6= 0,f (x) =x0 , x = 0,непрерывной на (−∞; +∞)?12.28. Можно ли доопределить функцию f (x) = e− x2 в точке x = 0 так, чтобыона стала непрерывной на всей числовой прямой?1♦ Указание. Положить f (0) = lim e− x2 , предварительно вычислив предел.x→0Рис. 6111при x ∈2.29. f (x) =; , n ∈ N; f (0) = 0; f (−x) = f (x),n+1 n(n + 1)2x ∈ [−1; 1] (см.

рис. 6). Является ли f (x) непрерывной в точке x = 0?2.30. Пустьf (x) =ex , x < 0,x + C, x > 0.Как надо выбрать константу C, чтобы f (x) была непрерывной на всей числовойпрямой?18Функции, предел и непрерывность2.31. Являются ли непрерывными функции1 sin x ,x 6= 0,x 6= 0,arctg ,|x|а)б)x0,x = 0;1,x = 0;(1√2x,0 6 x 6 1,x arctg , x 6= 0,в)г)x0,2 − x,1 < x 6 2.x = 0;Теорема 2.2 (первая теорема Больцано–Коши).

Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке[a, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков. Тогда в интервале (a, b) существует точкаc, в которой функция обращается в нуль: f (c) = 0, c ∈ (a, b).Теорема 2.3 (вторая теорема Больцано–Коши). Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке[a, b] и на концах этого отрезка принимает различные значения: f (a) = A, f (b) = B, A 6= B. Тогда для любогочисла C, лежащего в интервале (A, B), существует такая точка c интервала (a, b), что f (c) = C.2.32.

Если в условиях первой и второй теорем Больцано–Коши вместо условиянепрерывности на отрезке [a, b] потребовать непрерывности лишь на полуинтервале [a, b), останутся ли в силе утверждения теорем? Привести соответствующиепримеры.Теорема 2.4 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция f (x) определена и непрерывна на отрезке[a, b], то она ограничена на этом отрезке, т. е. существует такое число C > 0, что |f (x)| 6 C для всех x ∈ [a, b].Заметим, что отсюда следует существование точных верхней и нижней граней множества значений функциина отрезке [a, b]: M = sup f (x), m = inf f (x).x∈[a,b]x∈[a,b]Рис.

7Теорема 2.5 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция f (x) определена и непрерывна на отрезке[a, b], то она достигает на этом отрезке своих точной верхней и точной нижней граней, т. е. на отрезке [a, b]существуют такие x1 , x2 , что sup f (x) = f (x1 ), inf f (x) = f (x2 ).x∈[a,b]x∈[a,b]19Функции, предел и непрерывность2.33. Если в условиях первой и второй теорем Вейерштрасса вместо условиянепрерывности на отрезке [a, b] потребовать непрерывности лишь на полуинтервале [a, b), останутся ли в силе утверждения теорем? Привести соответствующиепримеры.Теорема 2.6 (о существовании обратной функции).

Пусть функция y = f (x) определена, строго монотонно возрастает (убывает) и непрерывна на некотором промежутке X. Тогда на промежутке Y значений этойфункции существует однозначная обратная функция x = g(y), т. е. g(f (x)) ≡ x для всех x ∈ X, f (g(y)) = yдля всех y ∈ Y , причем g(y) является строго монотонно возрастающей (убывающей) и непрерывной.2.34. Являются ли условия строгой монотонности и непрерывности необходимыми для существования обратной функции? Привести соответствующие примеры.♦ Указание. На рис. 7 изображен график кусочно-монотонной и кусочно-непрерывной функции (имеетточки разрыва первого рода при натуральных x), однако имеющая однозначную обратную функцию, определенную на полуинтервале [0, +∞). Докажите.2.35. Привести пример функции, не являющейся кусочно-монотонной, но обладающей однозначной обратной функцией.I В качестве примера рассмотрим функцию y = x + D(x), где D(x) — функция Дирихле (см.

2.2). Этафункция определена на всей числовой прямой Ox, ни в одном интервале не является монотонной и разрывнав каждой точке. Однако у этой функции существует однозначная обратная функция. Действительно, если x— иррациональное число, то y = x и y также иррационально. Значит, на множестве иррациональных точексуществует однозначная обратная функция x = y. Если x — рациональное число, то y = x + 1 и y такжерационально.

Тем самым, на множестве рациональных точек существует однозначная обратная функция x == y − 1. Значит на всей прямой Oy существует однозначная обратная к x + D(x) функция, которая равнаy − D(y).20Производная3 ПроизводнаяОпределение 3.1. Производной функции f (x) в точке x0 называется пределf 0 (x0 ) = lim∆x→0∆yf (x0 + ∆x) − f (x0 )= lim.∆x ∆x→0∆x3.1. Найти по определению производную функции f (x) в точке x0 :а) f (x) = sin x в точке x = x0 .I Пуcть ∆x — приращение аргумента, тогда∆fsin(x0 + ∆x) − sin x0sin ∆x cos x0 + sin x0 cos ∆x − sin x0= lim= lim=∆x→0 ∆x∆x→0∆x→0∆x∆xcos ∆x − 1−(∆x)2sin ∆x+ sin x0 lim= cos x0 + sin x0 lim= cos x0 .= cos x0 lim∆x→0∆x→0 2∆x∆x→0 ∆x∆xlimб) f (x) = x2 в точке x = x0 .√в) f (x) = x в точке x = x0 > 0.г) f (x) = ln x в точке x = x0 > 0.I Пусть ∆x — приращение аргумента, тогда∆xln x0 1 +− ln x0ln(x0 + ∆x) − ln x0∆fx0= lim= lim=lim∆x→0∆x→0∆x→0 ∆x∆x∆x∆x∆xln x0 + ln 1 +ln 1 +− ln x0∆x1x0x0= lim= lim= lim=.∆x→0∆x→0∆x→0 x0 ∆x∆x∆xx03.2.

Обязательно ли будет не иметь производной в данной точке x0 сумма двухфункций f (x) + g(x), еслиа) функция f (x) имеет в x0 производную, а функция g(x) не имеет в x0 производной;б) обе функции f (x) и g(x) не имеют в x0 производных?Привести соответствующие примеры.3.3. Обязательно ли будет не иметь производной в данной точке x0 произведениедвух функций f (x)g(x), если21Производнаяа) функция f (x) имеет в x0 производную, а функция g(x) не имеет в x0 производной;б) обе функции f (x) и g(x) не имеют в x0 производных?Привести соответствующие примеры.♦ Указание. В точке x = 0 рассмотреть: а) f (x) = x, g(x) = |x|; б) f (x) = g(x) = |x|.3.4. Обязательно ли не имеет производной в данной точке x0 сложная функцияf (g(x)), еслиа) функция f (u) имеет в u0 = g(x0 ) производную, а функция g(x) не имеет вx0 производной;б) функция f (u) не имеет в u0 = g(x0 ) производной, а функция g(x) имеет вx0 производную;в) обе функции f (x) и g(x) не имеют в производных в соответствующих точках?Привести соответствующие примеры.♦ Указание.

В точке x = 0 рассмотреть: а) f (x) = x2 , g(x) = |x|; б) f (x) = |x|, g(x) = x2 ; в) f (x) = 2x + |x|,12g(x) = x − |x|.333.5. Если функция f (x) дифференцируема на конечном интервале (a; b) за исключением точки c ∈ (a; b) и имеет разрыв в этой точке, то может лиа) существовать конечный lim f 0 (x);x→cб) существовать lim f 0 (x) = ∞?x→c3.6. Если функция f (x) дифференцируема на конечном интервале (a; b) за исключением точки c ∈ (a; b) и существует lim f (x) = ∞, то обязательно лиx→cа) lim f 0 (x) = ∞;x→cб) lim |f 0 (x)| = +∞?x→c♦ Указание. Рассмотреть функцию f (x) =11+ cos при x → 0.xx3.7. Если функция f (x) дифференцируема на конечном интервале (a; b) за исключением точки c ∈ (a; b) и существует lim f 0 (x) = ∞, то обязательно лиx→clim f (x) = ∞?x→c22Производная♦ Указание.

Рассмотреть функцию f (x) =√3x при x → 0.3.8. Если функция f (x) дифференцируема на луче (a, +∞) и существует конечный lim f (x), то обязательно ли существует конечный lim f 0 (x)?x→+∞x→+∞♦ Указание. Рассмотреть функцию f (x) =sin x2.x3.9. Пусть ограниченная функция f (x) дифференцируема на луче (a, +∞) исуществует конечный lim f 0 (x). Обязательно ли существует конечный или бесконечный lim f (x)?x→+∞x→+∞♦ Указание. Рассмотреть функцию f (x) = cos(ln x).3.10. Можно ли почленно дифференцировать неравенство между функциями?3.11.

Пусть ϕ (x) = o (x) при x → 0 и ϕ (x) непрерывна в точке x = 0. Доказать,что ϕ (x) имеет производную в точке x = 0, равную нулю.3.12. Доказать, что производная четной дифференцируемой функции являетсянечетной функцией, а производная нечетной дифференцируемой функции является четной функцией.3.13.

Доказать, что производная дифференцируемой периодической функцииявляется также периодической функцией с тем же периодом.3.14. Доказать, что функция (см. рис. 4) x sin 1 , x 6= 0,f (x) =x0 , x = 0,не имеет производную в точке x0 = 0.I В точке x0 = 0 имеем ∆y = ∆x sin2.12).1∆y1. Значит= sinпредела при ∆x → 0 не имеет (см.

задачу∆x∆x∆x3.15. Существуют ли f 0 (0) и f 00 (0) для функции x2 sin 1 , x 6= 0,f (x) =x0 , x = 0.23ПроизводнаяI При x 6= 0 имеем f 0 (x) = 2x sin11− cos . При x = 0xxf (x) − f (0)1= lim x sin = 0.x→0x→0xx1cos00f (x) − f (0)1xf 00 (0) = lim= lim 2 sin −x→0x→0xxxf 0 (0) = limне существует.3.16. Доказать, что для f (x) из задачи 2.26 f 0 (0) не существует (см. рис. 5).♦ Указание. Рассмотреть limx→0f (x) − f (0)110для xn = и xn = − .xnn3.17. Существует ли f 0 (0) для f (x) из задачи 2.29 (см.