Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Бобров А.Н., Радославова Т.В. - Задачи по высшей математике для биологов

Бобров А.Н., Радославова Т.В. - Задачи по высшей математике для биологов (А.Н. Бобров, Т.В. Радославова - Задачи по высшей математике для биологов), страница 3

PDF-файл Бобров А.Н., Радославова Т.В. - Задачи по высшей математике для биологов (А.Н. Бобров, Т.В. Радославова - Задачи по высшей математике для биологов), страница 3 Математический анализ (36707): Книга - 1 семестрБобров А.Н., Радославова Т.В. - Задачи по высшей математике для биологов (А.Н. Бобров, Т.В. Радославова - Задачи по высшей математике для биологов) - 2019-04-28СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "А.Н. Бобров, Т.В. Радославова - Задачи по высшей математике для биологов", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 3 страницы из PDF

Обязательно ли будет разрывной в данной точке x0 сумма двух функцийf (x) + g(x), еслиа) функция f (x) непрерывна, а функция g(x) разрывна в x0 ;б) обе функции f (x) и g(x) разрывны в x0 ?Привести соответствующие примеры.2.17. Обязательно ли будет разрывной в данной точке x0 произведение двухфункций f (x)g(x), если15Функции, предел и непрерывностьа) функция f (x) непрерывна, а функция g(x) разрывна в x0 ;б) обе функции f (x) и g(x) разрывны в x0 ?Привести соответствующие примеры.2.18.

Доказать, что если f (x) — непрерывная функций, |f (x)| также являетсянепрерывной функцией.♦ Указание. Воспользоваться результатом задачи 2.5.2.19. Доказать, что если функция f (x) непрерывна, то функция −c, если f (x) < −c,f (x), если |f (x)| 6 c,fc (x) =c, если f (x) > c,где c — любое положительное число, также непрерывна.2.20. Доказать, что функция Дирихле1, если x — рациональное число,D(x) =0, если x — иррациональное число(2.2)является разрывной в каждой точке вещественной прямой R.2.21.

Привести пример функции, заданной на всей числовой прямой, непрерывной лишь в одной точке.♦ Указание. Рассмотреть функцию xD(x), и доказать, что она непрерывна при x = 0 и разрывна востальных точках.2.22. Привести пример функции, заданной на всей числовой прямой, и имеющейпредел только при x → +∞.D(x).xТеорема 2.1 (о непрерывности сложной функции). Пусть функции f (u) и g(x) непрерывны в точках u0и x0 соответственно. Если g(x0 ) = u0 , то сложная функция f (g(x)) непрерывна в точке x0 .♦ Указание.

Рассмотреть функцию2.23. Обязательно ли будет разрывной в данной точке x0 суперпозиция двухфункций f (g(x)), еслиа) функция f (x) непрерывна, а функция g(x) разрывна в x0 ;б) функция f (x) разрывна в x0 , а функция g(x) непрерывна.Привести соответствующие примеры.16Функции, предел и непрерывность2.24. Обязательно ли будет разрывной в точке x0 суперпозиция f (g(x)) двухразрывных в этой точке функций f (x) и g(x).♦ Указание. Рассмотреть f (x) = g(x) = D(x). Тогда D(D(x)) ≡ 1. Можно привести другой пример.Рассмотрим f (x) = x2 и1, если x — рациональное число,g(x) =−1, если x — иррациональное число.Тогда f (g(x)) = g 2 (x) ≡ 1.2.25.

Доказать, что функция Римана(1m, если x — рациональное число ,R(x) =nn0, если x — иррациональное число,(2.3)mгде— несократимая дробь, m — целое, n — натуральное число, непрерывна вnиррациональных и разрывна в рациональных точках.Рис. 51mI Пусть x0 =— рациональное число. Тогда R(x0 ) = . Очевидно, что последовательность рациональныхnnm1pm + 11чисел+сходится к x0 при p → ∞. Однако lim R= lim= 0, а значит, не выполняетсяp→∞p→∞ pnnpnpnусловие непрерывности в точке.Пусть x0 — иррациональное число. Тогда R(x0 ) = 0. Если xn —иррациональных чисел последовательностьmkтаких, что lim xn = x0 , то R(xn ) = 0 и lim R(xn ) = 0. Если— последовательность рациональныхn→∞n→∞nkчисел, сходящаяся к x0 , то lim nk = +∞ иk→∞lim R(xn ) = lim Rk→∞k→∞mknk= limk→∞1= 0.nkЗначит, по определению предела по Гейне (см. задачу 2.11) lim R(x) = 0 и функция непрерывна в иррациоx→x0нальных точках.17Функции, предел и непрерывность1112.26.

Функция f (x) =, при x ∈; , n = 1, 2, . . .; f (0) = 0;n+1n+1 nf (−x) = f (x), x ∈ [−1; 1] (см. рис. 5). Является ли f (x) непрерывной в точкеx = 0?2.27. Является ли функция x sin 1 , x 6= 0,f (x) =x0 , x = 0,непрерывной на (−∞; +∞)?12.28. Можно ли доопределить функцию f (x) = e− x2 в точке x = 0 так, чтобыона стала непрерывной на всей числовой прямой?1♦ Указание. Положить f (0) = lim e− x2 , предварительно вычислив предел.x→0Рис. 6111при x ∈2.29. f (x) =; , n ∈ N; f (0) = 0; f (−x) = f (x),n+1 n(n + 1)2x ∈ [−1; 1] (см.

рис. 6). Является ли f (x) непрерывной в точке x = 0?2.30. Пустьf (x) =ex , x < 0,x + C, x > 0.Как надо выбрать константу C, чтобы f (x) была непрерывной на всей числовойпрямой?18Функции, предел и непрерывность2.31. Являются ли непрерывными функции1 sin x ,x 6= 0,x 6= 0,arctg ,|x|а)б)x0,x = 0;1,x = 0;(1√2x,0 6 x 6 1,x arctg , x 6= 0,в)г)x0,2 − x,1 < x 6 2.x = 0;Теорема 2.2 (первая теорема Больцано–Коши).

Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке[a, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков. Тогда в интервале (a, b) существует точкаc, в которой функция обращается в нуль: f (c) = 0, c ∈ (a, b).Теорема 2.3 (вторая теорема Больцано–Коши). Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке[a, b] и на концах этого отрезка принимает различные значения: f (a) = A, f (b) = B, A 6= B. Тогда для любогочисла C, лежащего в интервале (A, B), существует такая точка c интервала (a, b), что f (c) = C.2.32.

Если в условиях первой и второй теорем Больцано–Коши вместо условиянепрерывности на отрезке [a, b] потребовать непрерывности лишь на полуинтервале [a, b), останутся ли в силе утверждения теорем? Привести соответствующиепримеры.Теорема 2.4 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция f (x) определена и непрерывна на отрезке[a, b], то она ограничена на этом отрезке, т. е. существует такое число C > 0, что |f (x)| 6 C для всех x ∈ [a, b].Заметим, что отсюда следует существование точных верхней и нижней граней множества значений функциина отрезке [a, b]: M = sup f (x), m = inf f (x).x∈[a,b]x∈[a,b]Рис.

7Теорема 2.5 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция f (x) определена и непрерывна на отрезке[a, b], то она достигает на этом отрезке своих точной верхней и точной нижней граней, т. е. на отрезке [a, b]существуют такие x1 , x2 , что sup f (x) = f (x1 ), inf f (x) = f (x2 ).x∈[a,b]x∈[a,b]19Функции, предел и непрерывность2.33. Если в условиях первой и второй теорем Вейерштрасса вместо условиянепрерывности на отрезке [a, b] потребовать непрерывности лишь на полуинтервале [a, b), останутся ли в силе утверждения теорем? Привести соответствующиепримеры.Теорема 2.6 (о существовании обратной функции).

Пусть функция y = f (x) определена, строго монотонно возрастает (убывает) и непрерывна на некотором промежутке X. Тогда на промежутке Y значений этойфункции существует однозначная обратная функция x = g(y), т. е. g(f (x)) ≡ x для всех x ∈ X, f (g(y)) = yдля всех y ∈ Y , причем g(y) является строго монотонно возрастающей (убывающей) и непрерывной.2.34. Являются ли условия строгой монотонности и непрерывности необходимыми для существования обратной функции? Привести соответствующие примеры.♦ Указание. На рис. 7 изображен график кусочно-монотонной и кусочно-непрерывной функции (имеетточки разрыва первого рода при натуральных x), однако имеющая однозначную обратную функцию, определенную на полуинтервале [0, +∞). Докажите.2.35. Привести пример функции, не являющейся кусочно-монотонной, но обладающей однозначной обратной функцией.I В качестве примера рассмотрим функцию y = x + D(x), где D(x) — функция Дирихле (см.

2.2). Этафункция определена на всей числовой прямой Ox, ни в одном интервале не является монотонной и разрывнав каждой точке. Однако у этой функции существует однозначная обратная функция. Действительно, если x— иррациональное число, то y = x и y также иррационально. Значит, на множестве иррациональных точексуществует однозначная обратная функция x = y. Если x — рациональное число, то y = x + 1 и y такжерационально.

Тем самым, на множестве рациональных точек существует однозначная обратная функция x == y − 1. Значит на всей прямой Oy существует однозначная обратная к x + D(x) функция, которая равнаy − D(y).20Производная3 ПроизводнаяОпределение 3.1. Производной функции f (x) в точке x0 называется пределf 0 (x0 ) = lim∆x→0∆yf (x0 + ∆x) − f (x0 )= lim.∆x ∆x→0∆x3.1. Найти по определению производную функции f (x) в точке x0 :а) f (x) = sin x в точке x = x0 .I Пуcть ∆x — приращение аргумента, тогда∆fsin(x0 + ∆x) − sin x0sin ∆x cos x0 + sin x0 cos ∆x − sin x0= lim= lim=∆x→0 ∆x∆x→0∆x→0∆x∆xcos ∆x − 1−(∆x)2sin ∆x+ sin x0 lim= cos x0 + sin x0 lim= cos x0 .= cos x0 lim∆x→0∆x→0 2∆x∆x→0 ∆x∆xlimб) f (x) = x2 в точке x = x0 .√в) f (x) = x в точке x = x0 > 0.г) f (x) = ln x в точке x = x0 > 0.I Пусть ∆x — приращение аргумента, тогда∆xln x0 1 +− ln x0ln(x0 + ∆x) − ln x0∆fx0= lim= lim=lim∆x→0∆x→0∆x→0 ∆x∆x∆x∆x∆xln x0 + ln 1 +ln 1 +− ln x0∆x1x0x0= lim= lim= lim=.∆x→0∆x→0∆x→0 x0 ∆x∆x∆xx03.2.

Обязательно ли будет не иметь производной в данной точке x0 сумма двухфункций f (x) + g(x), еслиа) функция f (x) имеет в x0 производную, а функция g(x) не имеет в x0 производной;б) обе функции f (x) и g(x) не имеют в x0 производных?Привести соответствующие примеры.3.3. Обязательно ли будет не иметь производной в данной точке x0 произведениедвух функций f (x)g(x), если21Производнаяа) функция f (x) имеет в x0 производную, а функция g(x) не имеет в x0 производной;б) обе функции f (x) и g(x) не имеют в x0 производных?Привести соответствующие примеры.♦ Указание. В точке x = 0 рассмотреть: а) f (x) = x, g(x) = |x|; б) f (x) = g(x) = |x|.3.4. Обязательно ли не имеет производной в данной точке x0 сложная функцияf (g(x)), еслиа) функция f (u) имеет в u0 = g(x0 ) производную, а функция g(x) не имеет вx0 производной;б) функция f (u) не имеет в u0 = g(x0 ) производной, а функция g(x) имеет вx0 производную;в) обе функции f (x) и g(x) не имеют в производных в соответствующих точках?Привести соответствующие примеры.♦ Указание.

В точке x = 0 рассмотреть: а) f (x) = x2 , g(x) = |x|; б) f (x) = |x|, g(x) = x2 ; в) f (x) = 2x + |x|,12g(x) = x − |x|.333.5. Если функция f (x) дифференцируема на конечном интервале (a; b) за исключением точки c ∈ (a; b) и имеет разрыв в этой точке, то может лиа) существовать конечный lim f 0 (x);x→cб) существовать lim f 0 (x) = ∞?x→c3.6. Если функция f (x) дифференцируема на конечном интервале (a; b) за исключением точки c ∈ (a; b) и существует lim f (x) = ∞, то обязательно лиx→cа) lim f 0 (x) = ∞;x→cб) lim |f 0 (x)| = +∞?x→c♦ Указание. Рассмотреть функцию f (x) =11+ cos при x → 0.xx3.7. Если функция f (x) дифференцируема на конечном интервале (a; b) за исключением точки c ∈ (a; b) и существует lim f 0 (x) = ∞, то обязательно лиx→clim f (x) = ∞?x→c22Производная♦ Указание.

Рассмотреть функцию f (x) =√3x при x → 0.3.8. Если функция f (x) дифференцируема на луче (a, +∞) и существует конечный lim f (x), то обязательно ли существует конечный lim f 0 (x)?x→+∞x→+∞♦ Указание. Рассмотреть функцию f (x) =sin x2.x3.9. Пусть ограниченная функция f (x) дифференцируема на луче (a, +∞) исуществует конечный lim f 0 (x). Обязательно ли существует конечный или бесконечный lim f (x)?x→+∞x→+∞♦ Указание. Рассмотреть функцию f (x) = cos(ln x).3.10. Можно ли почленно дифференцировать неравенство между функциями?3.11.

Пусть ϕ (x) = o (x) при x → 0 и ϕ (x) непрерывна в точке x = 0. Доказать,что ϕ (x) имеет производную в точке x = 0, равную нулю.3.12. Доказать, что производная четной дифференцируемой функции являетсянечетной функцией, а производная нечетной дифференцируемой функции является четной функцией.3.13.

Доказать, что производная дифференцируемой периодической функцииявляется также периодической функцией с тем же периодом.3.14. Доказать, что функция (см. рис. 4) x sin 1 , x 6= 0,f (x) =x0 , x = 0,не имеет производную в точке x0 = 0.I В точке x0 = 0 имеем ∆y = ∆x sin2.12).1∆y1. Значит= sinпредела при ∆x → 0 не имеет (см.

задачу∆x∆x∆x3.15. Существуют ли f 0 (0) и f 00 (0) для функции x2 sin 1 , x 6= 0,f (x) =x0 , x = 0.23ПроизводнаяI При x 6= 0 имеем f 0 (x) = 2x sin11− cos . При x = 0xxf (x) − f (0)1= lim x sin = 0.x→0x→0xx1cos00f (x) − f (0)1xf 00 (0) = lim= lim 2 sin −x→0x→0xxxf 0 (0) = limне существует.3.16. Доказать, что для f (x) из задачи 2.26 f 0 (0) не существует (см. рис. 5).♦ Указание. Рассмотреть limx→0f (x) − f (0)110для xn = и xn = − .xnn3.17. Существует ли f 0 (0) для f (x) из задачи 2.29 (см.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее