book48_2 (А.Ф. Филиппов - сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF)), страница 7

Другая (эквивалентнан) формулировка критерии Михайлова: Необходимо и достаточно, чтобы а„а„з > 0 и чтобы корни многочленое р(С) = о„ вЂ” а„ з( -~- а„ ч(з) = а — з — а зп -~- а„ зо бьыи все положительными, различными и чередующимися, начиная с корня (з, т, е. 0 < 5з < щ < 5з < Оз < (Заметим, что многочлен (6) при Л = зии равен р(ю~) + возу(ьз~).) П ример. Г(Л) = Лз+2Л +7Лз+8Л +10Л+6. Здесь а = 6 > О, а ~ = 10 > О, а многочлены рЯ = 6 — 8С -Ь 24~, д(з1) = 10 — 70 -Ь О~ имеют корни 5г = 1, 5з = 3, Оз = 2, Оз = 5.

Значит, 0 < 5г < Оз < < 5з < Оз. По критерию Михайлова все корни многочлена 7(Л) имеют отрицательные вещественные части. 5. Условив устойчивости нулевого решения линейной системы с периодическими коэффициентами см. в )5), гл. 1П, 3 16. Задачи 881 — 898 решаются с помощью определенин устойчивости. 881. Пользуясь определением устойчивости по Ляпунову, выяснить, устойчивы ли решения данных уравнений с указан- 92 З 15.

Устойчивости ными начальными условиями а) 3(1 — 1)т, = х, х(2) = О. б) т, = 4х — г~х, х(О) = О. в) т=г — х, т(О) =1. г) 21т,=х — тз, х(1) =О. В задачах 882 — 888 начертить на плоскости х, у траектории данных систем вблизи точки (О, 0) и по чертежу выяснить, устойчиво ли нулевое решение. 882. х = — х, у = — 2у. 883. х =:в, у = 2у. 885. т = — у, у = 2тз. 887.

х = у, у = хз(1 + у ). 884. т = -т,, у = у. 886. х = у, у = — з|п т. 888. х = — усозт, у = зшх. 889. Траектории системы уравнений ла = Р(х, У), ш = 1аг(т, У), непрерывны, изображены на фазовой плоскости (рис. 5). Что можно сказать о поведении решений при 1 — ~ +со? Является ли нулевое решение асимптотически устойчивым? Является ли оно устойчивым по Ляпунову? Рис. 5 В задачах 890 — 892 выяснить, является ли устойчивым нулевое решение системы, если известно, что общее решение этой системы имеет указанный вид.

890. т = Са созг1 — Сг е ', у = Сг?4 е '+2Сг. 891. х= ' г, У=(Сг?з+Сг)е ~. 1+1г 892. т = (Сг — Сгг) е, у =, + Сг. С,О? 1п(12 + 2) 893. Доказать., что для устойчивости по Ляпунову нулевого решения уравнения л = а(1)х (где функция о(1) непре- 115. Устоачивоста рывна) необходимо и достаточно, чтобы !пп а(в) 21л ( +со. 2 — 9-асс / о В задачах 899 — 906 с помощью теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость нулевое решение 999. ( 000. ( 902.

( 902. ( 992. ( 2ху — х+ у, бх~ + у + 2х — Зу. тг + у — 2т.а Зх — х+ Зу. е ~ "— созЗх2 ъ'4+ 8х — 2е". 1п(4у+ е з ) 2у †1+Я вЂ. 1п(З е" — 2 сов х), 2 Ес — Х9228 + 12у 894. Доказать, что если какое-нибудь одно решение линейной системы дифференциальных уравнений устойчиво по Ляпунову, то устойчивы все решения этой системы. 895. Доказать, что если каждое решение линейной однородной системы остаетсн ограниченным при 1 — а -~-оо, то нулевое решение устойчиво по Ляпунову. 896. Доказать, что если каждое решение линейной однородной системы стремится к нулю при 1 — а +со, то нулевое решение асимптотически устойчиво. 897.

Доказать, что если линейнан однородная система имеет хотя бы одно неограниченное при 1 -а +со решение, то нулевое решение неустойчиво. 898. Устойчиво ли нулевое решение системы хг = аы(1)хг + аггЯхга хг —— ага(1)хг + агг(1)хг если известно, что аы(1) + агг(1) -а б > 0 при 1-а +соу 94 Ь 15. Устойчивость х = 28(у — х), 904 . я д = 2" — 2 соз ( — — х) .

3 28 (2 — д) — 2х, Н9+12х — Зс" 9 3 = — Зу е' — е з' 42 — 3 сйп(х + у), 1п(1+ 2 — Зх). В задачах 907 — 912 исследовать, при каких значениях параметров а и Ь асимптотически устойчиво нулевое решение. 90Т. х = ах — 2у+ хз, у = в+у+ хд. 909.

х=х+ау+у, у = Ьх — Зу — хз. 911. х = 2с ' — ь~4+аауу, у = !п(1 + х + оу). т = ах+ у+ х', 908. у = х + ад+ уз. х = у+зшт., 910. ~~ ~ ~ ~ о у = ах+ Ьу. х = 1п(с+ах) — е", 912. у = Ьх+ Фду. 913. Исследовать, устойчиво ли решение х = — ьз, у = 1 системы т, = у — 2ЬУ вЂ” 2У вЂ” х у = 2х+ 21 + е ' 914. Исследовать, устойчиво ли решение х, = соз1, д = = 2сйпс системы 2 Ь У х.= 1п х+ 2шп 2( 2' В задачах 915 — 922 для данных систем найти все поло- женин равновесия и исследовать их на устойчивость.

х=д — х — х, 2 915. у = Зх — х — у 916. ~~ ~ ~ ~ ~ ~ 9 = (х — 1)(у — 1), у= ху — 2. 900. ( 909. у = (4 — х ) соз1 — 2хз1п Ь вЂ” соз 2 з 95 я 15. Устойчивосоув 918. + 2) у =х у 917. у = я9п(х + У). (2=2 — 922* уу, ~ у = 1п(х — 3). х = е" — е*, 920. у = ту'Зх+ Уз — 2. х = 1п(1+ у+ я9пх), 921. 2 = 2 + ВУ' „.—.— 2. ~ ~ ~ ~ ~ ! ~ ~ ~ ~ с Х = — Яунд, 922. 2= 2*+,'Г-у, — 2 д.

В задачах 923 — 931 исследовать устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова или Четаева. з Х=Т. — Уу 923. у=х+у . х=у — х+ху, 924. у =х — у — х — у 2У вЂ” х, — х — у +у*. д — Зх — х, з Вх — 2д. х = — х — ху, 929. У=У Л(х) Ь(д) д = Уз(х) — Л(д). где я8п Д(з) = яйпзу 9 = 1, 2, 3, 4. В задачах 932 — 948 исследовать устойчивость нулевого решения, пользуясь известными условиями отрицательности вещественных частей всех корней многочлена, например, условиями Рауса — Гурвица или критерием Михайлова. 922. ( 922. ( х=ху — х +у 926. у=х — у 928. х = 2у — х — у, у=х — 2у. 930.

~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 3 ~ ~ у х= т,— у — яузу д — 2з. д уз Ь 15. Устойчивость 932 уо'+ уо+ у'+ 2у = О. 933 уо'+ 2уо Ч- 2у'+ Зд = О. 934 у1Ч+ 2у'о+4ди+Зу'+ 29 = 0 935 у'~~ + 2~/о + Здо + 7у' + 2у = О. 936. д~у + 2у'о + бди + 5у'+ бу = О. 937. у~ч'+8уо'+ 14уо+ Збуь+45у = О. 938. у'У + 13уи'+ 16уо + 55д'+ 7бд = О. 939.

у~~+ Зуььь+ 26уьь+ 74уь -~- 85у = О, 940. д~~ + 3,1уо' + 5,2уо + 9,8у' + 5,8у = О, 941 уч + 2уьи + 4у + бди+ 5у'+ 4у = 0 942 у~ + 2дьч + 5уо'+ буо+ 5д'+ 2у = О. 943. д~ + Зу'у + бу + 7д + 4у + 4д 0 944. ух + 4д'~'+ 9уо'+ 16уи + 19у'+ 13у = О. 945. у +4уп'+ 16уоь+25уо+13уь+Од = О. 946. у~+ Зд~~+ 10уо'+ 22уо+ 23у'+ 12у = О. 947. у + осу~~ + 15уо~+ 48уо + 44у~ + 74у = О. 948. у~ + 2у~~ + 14уо~ + Збуьь + 23уь -Ь 68у = О, В задачах 949 — 958 исследовать, при каких значениях параметров а и Ь нулевое решение асимптотически устойчиво. 949. уо' + адо + Ьу' + 2у = О. 950. уо'+ Зуо+ ау'+ Ьу = О.

951. у1~ + 2у'о + Зуо + 2у' + ад = О. 952. у1У+ ауо'+ до+ 2у'+ у = О. 953. ау~~ + уи'+ уо+ у'+ Ьд = О. 954 у1У + уо' + ауо + у' + Ьд = О. 955 утч + ауо' -';- 4уо + 2у'+ Ьу = 0 у'~ + 2уо' + ауо + Ьу' -~- у = О. Ь 16. Особые точки 957. у1~ + ауи'+ 4уи+ Ьу'+ у = О. 958. у1У -~- 2уи' -~- 4уи -~- ар' + Ьу = О. Для исследования устойчивости уравнений с периодическими козффициентами в задачах 959 и 960 надо найти матрицу монодромии и вычислить мультипликаторы, см. (5), гл.

111, 2 15, 2 16. 959. Исследовать на устойчивость нулевое решение уравнения х. + Р(т)х = О, р(1) = аз (О < Ь < и), р(1) = Ь (л < 1 < 2л)., р(Ь+ 2к) = р(1), при следующих значениях параметров: 960. Исследовать, при каких а и Ь устойчиво нулевое решение системы с периодическими коэффициентами = А(1), А(1+ 2) = А(1), А(1)=1 ~приО<1<1, А(1)=~ ~при1<1<2. (О а1 /О 01 816. ОСОБЫЕ ТОЧКИ 1. Особой точкой системы — = Р(х, у), — =. 0(х, у) бх с1у бт ' ' йт или уравнения Ь Я(х у) бх Р(х, у)' где функции Р и сг непрерывно дифференцируемы, называется такая точка, в которой Р(х, у) = О, Я(х, у) = О.

2. Для исследования особой точки системы ох оу — = ах -~- Ьу, .— = сх -~- оу 41 '' 41 (6) а) а = 0,5, в) а = 0,5, д) а = 1, Ь=О; Ь= 1,5; Ь=О; б) о = 0,5, Ь = 1; г) о = 0,75, Ь = 0: е) а = 1., Ь = 1,5. з 16. Особые точки или уравнения с1у ох+ Нр Йх ах -ь Ьр недо найти корни характеристического уравнения (4) а — Л Ь = О. б — Л Если корни вещественные, различные и одного знака, то особая точка — узел (рис. О,а), если разных знанов — седло (рис.

6,б), если корни комплексные с вещественной частью, отличной от нуля, то особая точка — фокус (рис. Ь,в), если чисто мнимые, —— центр (рис. 6,г); если корни равные и ненулевые (т. е. Лг Лг ф О), то особая тачка может быть вырожденным узлом (рис. 6,д) или дикритическим узлом (рис. О,е), причем дикритический узел имеет место только в случае системы сг = ах: лиг = = ар (или уравнения д = л), а во всех остальных случанх при Лг = Лг ~ О особая точка является вырожденным узлом.

Если же один или оба корня уравнения (5) равны нулю, то а Ь~ ~ = О и, следовательно, дробь в правой части уравнения (4) с Н~ сокращается. Уравнение принимает вид вл = Ь, и решения иа плоскости х, р изображаются параллельными прямыми. б) в) е) Рис. 6 Чтобы начертить траектории (кривые, изображающие решения на плоскости х, у) в случае узла, седла и вырожденного уз- з 16. Особые точки (6) г.=2з, у =:"'+ у Составляем и решаем характеристическое уравнение = О, (2 — Л)(1 — Л) = О, Л1 = 1, Лз = 2.

! 2 — Л О 1 1 — Л Корни вещественные, различные и одного знака. Следовательно, особан точка узел (того же типа, что на рис. 6,а). Для Лг = 1 находим собственный вектор (О, 1), а для Лз = 2 вектор (1, 1). На плоскости к, у строим прямые, направленные вдоль этих векторов, а затем кривые, касающиеся в начале координат первой из этих прнмых, так как (Лг! < )Лз(, см. рис. 7. Другой способ построения интегральных кривых. Разделив одно ич уравнений (6) на другое, получим уравнение вида (4) Рис.

7 ла, надо прежде всего найти те решения, которые изображаются прямыми, проходящими через особую точку. Эти прямые всегда /а Ь\ направлены вдоль собственных векторов матрицы ! !,составленной из коэффициентов данной системы (3). В случае узла кривые касаются той прямой, которая направлена вдаль собственного вектора, соответствующего м е н ь ш е м у по абсолютной величине значению Л. В случае особой точки типа фокус надо определить направление закручивания траекторий.