book48_2 (А.Ф. Филиппов - сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF)), страница 6

у = Зэх — у. 845. В задачах 846 — 850 данные системы решить методом вариации постоянных. х=29 — х., езс у = 4у — Зх+, вас+1' х=д+1я 1 — 1, 846. ~ 847. ' ~ у=-я+181. 2 х = — 4х — 2у+ ес — 1 ' 3 у = 6х+Зув ес 1' осе. ( 1 х, = х — у+ 849. сов1' д=2х — у. х = Зх — 2у, 850. д = 2х — у+15 е' чсЯ Решить системы 851 — 866, записанные в векторной форме: х = Ах, где т — вектор, А — данная матрица.

851.х=Ах,, А= < /3 01 — <,0 3). 852. х = Лх, Л = ~ е'1 1'1 ~2 О)' х = х+2у., 834. у = х — 5яп1. х = 2х — у, 836. у = у — 2х + 181. х = 2х+4у — 8, 838. у = Зх + 6у. х = х — у+ 2 яп1., 840. у=2х — у. х = 4х — Зу+ яп1, 842. у = 2х — у — 2 сов1. х = 2т, — 4д, 835. у=х — Зу-~-Зс. х = т+2у+161ес. 837.

д = 2х — 2д. х = 2х — Зу, 839. у = т.— 2у+2вш х = 2х — д, 841. у = х+ 2е'. х = 2х+ д+ 2 е', 843. у = х + 2у — 3е~'. 853.х=Ат,, А= ~ /1 — 2в [,2 — 3) ' А= ( 854. т, = Ат. А= 1 4 — 2 А= — 2 — 1 2 А= — 3 — 1 1 А= 3 — 2 2 А= — 1 О 1 А= 1 О 1 А= — 1 О 2 А= 1 Π— 1 855. х = Ах, 856. х = Ах, 857. х = Ах 858. х = Ах, 859. х = Ах 866. х = Ах, 861. х = Ах, 862. х = Ах, 863. х = Ах 864. х = Ах, 865. х = Ах ~14. Уинейные системы с постоянными коэффициентами 85 86 З14. Линейные система~ с лостоянными коэффициентами 2 0 — 1 866.х=Аз, А= 1 — 1 0 3 — 1 — 1 В задачах 867 — 873 найти показательную функцию ел данной матрицы А.

867. А = 873 А= 0 2 1 868. А= О В задачах 874 и 875 найти с1е1ел, не вычисляя матрицу е 1 0 3 1 4 2 874.А= — 1 2 0 . 875.А= 3 1 — 1 0 1 — 1 2 1 — 3 876. Тело массы са движется на плоскости т, у, притягивансь к точке (О, 0) с силой азьчм, где т - — расстонние до этой точки.

Найти движение тела при начальных условиях т(0) = д, у(0) = О, т(0) = О, у(0) = о и траекторию этого движения. 877. Один конец пружины закреплен неподвижно в точке О, а к другому прикреплен груз массы 3сп, соединенный другой пружиной с грузом массы 2яи Оба груза двигаютсн без тренин по одной прямой, проходнщей через точку О. Каждая из пружин растягивается на величину т, под действием силы а~нет. Найти возможные периодические движения системы. 878. На концах вала закреплены два шкива, моменты инерции которых Т1 и Уз.

При повороте одного шкива относительно другого на любой угол ~р вследствие деформации вала З 15. Устойчивость возникают упругие силы с крутящим моментом Льо. Найти частоту крутильных колебаний вала при отсутствии внешних сил. 879. К источнику тока с напряжением Е = Ъ'зшсоб последовательно присоединено сопротивление 1?.

Далее цепь разветвлнется на две ветви, в одной из которых включена самоиндукция Е, а в другой — емкость С (рис. 4). Найти силу тока в цепи (установившийся режим), проходящего через сопротивление й. При какой частоте ы сила тока наибольшан? Наименьшая? й=рзьосз1 Рис. 4 У к а з а н и е. 0 составлении дифференциальных уравнений в задачах об электрических цепях см. и. б 1 11. 880'.

Какое условие достаточно наложить на собственные значения матрицы А, чтобы система уравнений (в векторной записи) х = Ах + 1(1) имела периодическое решение при всякой непрерывной вектор-функции ) (1) периода из? У к а з а н и е. Применив метод вариации постоянных в векторной форме, выразить общее решение через фундаментальную матрицу е~~, функцию 1(1) н начальные условия.

Воспользоваться условием периодичности. ~ 15. УСТОЙЧИВОСТЬ 1. Рассмотрим систему уравнений с1х. с1ь — = 1'з(й хз, .... х ), ь = 1, ...., о, нли, в векторной записи Ох сзс — =1(ь,х), х=(хз, ...,т,„). (2) Пусть все ?ь и, непрерывны прн 1о < 1 < со. д?, йхь Решение х = у(1) системы (2) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого в > О существует такое д > О, что для 88 215. Устойчивость всякого решения х(г) той же системы, начальное значение которо- го удовлетворяет неравенству (3) ) (го) — р(со)! < д, при всех г > го выполняетсн неравенство ~х(г) — ч (1) ~ < ' Если же для некоторого г > О такого б не существует, то решение 1о(г)называется неустойчивым.

Решение р(г) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и, кроме того, все решения с достаточно близкими начальными условиями неограниченно приближаются к р(й) при г — ь -~-со, т.е. если из неравенства (3) следует х(1) — ьз(г) ь О(1 — ь Ч-оо). Наличие или отсутствие устойчивости не зависит от выбора Со. Вопрос об устойчивости данного решения х = р(1) системы (2) сводится к вопросу об устойчивости нулевого решения у(г) г— н О другой системы, получаемой из (2) заменой искомой функции х— — р(1) =у 2.

Исследование на устойчивость по первому приближению. Пусть хг(1) = О (г = 1, ..., и) — решение системы (1). Чтобы его исследовать на устойчивость, надо выделить из функций Тг линейную часть вблизи точки хь = ... — — х = О, например, по формуле Тейлора. Полученную систему часто можно исследовать с помощью следующей теоремы. Теорема Ляпунова. Рассмотрим систему йьч Й вЂ” =а,гхзч-...фатх„-~-фг(г,хы ...,х ), г=1, ...,и, (4) где а,ь — постоянные, а ф„— бесконечно малые выше первого по- рядка, точнее, при ~х~ < ео )з)ц! < т(х))х(, г = 1, ..., пч Ч(х) Ь О пРи )х! -ь О,. (5) Тогда если все собственные значения матрицы (игь), г, к = 1, ..., и, имеют отрицательные вещественные части, то нулевое решение системы (4) асимптотически устойчиво; если же хоть одно собственное значение имеет положитпельную вещественную часть, то пулевое решение неустойчиво. 89 315.

Устойчивость П р н м е р. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы < х = чггй+ 4у — 2е*~е, у = айнах Ч-!п(1 — 4у), а = сопз1. Выделня линейную часть функций по формуле Тейлора, получаем з = — 2х — у+ чгг(х, У), у = ах — 4у + грг(х, у), где функции вч и фг равны 0(х~ + у ) и, значит, удовлетворяют условию (5). Находим собственные значения матрицы коэффициентов =О, Л +6Л+8+а=О, Лгг= — ЗхЛ вЂ” а. При а > 1 корни комплексные, КеЛг,г = — 3 < О, а при — 8 < а < 1 корни вещественные отрицательные, значит, в этих случаях нулевое решение аснмптотически устойчиво. При а < — 8 один корень положителен, значит, нулевое решение неустойчиво.

При а = — 8 имеем Лг = О, Лг = — 6 и вопрос об устойчивости не решаетсп с помощью изложенной теоремы. 3. Исследование на устойчивость с помощью функции Ляпунова. Производной от функции о(й хг, ... ..., х„) в силу системы (1) называется функция с!о до до до 41 60 дс дхг дх„"' где хы ..., 1"„правые части системы (1). Теорема Ляпунова.

Если существует дифферекцируемая функция о(хг, ..., х„), удовлетворяющая в области ~х~ < со усло- виям 1) о>0 ирихфО, о(0) =О, 2) —" < 0 при /х! < ео, ! > 1о, гй 00 то нулевое решение системы (1) устойчиво по Ляпунову. Если вместо условия 2) выполнено более сильное условие 3) —" < — ю(х) < 0 при 0 < (х~ < ео, 1 > тт сй 60 а функция го(х) непрерывна при (х( < со, то нулевое решение сис- темы (1) асимптотически устойчиво.

90 ъз 15. Устой'швость Теорема Четаева. Пусть система (1) обладает нулевым решением. Пусть в некоторой области Ъ' пространства хз, ..., х существует дифференцируемая функция э(хз, ......, х„), причем 1) точка х = О принадлезкит границе области 1г, 2) о = О на границе области )г при ~х~ < го, 3) в области )г при г > го имеем о > О, гс > т(х) > О, О1 функция ш(х) непрерывна. Тогда нулевое решение системъз (1) неустойчиво.

Не существует общего метода построения функции Ляпунова о (когла решение системы (1) неизвестна). В ряде случаев функцию Ляпунова удается построить в виде квадратичной формы о = 2 Ьих,х; или в виде суммы квадратичной формы и интегралов от нелинейных функций, входнщих в правую часть данной системы. 4. Условия отрица тельност и всех вещественных частей корней уравнения аоЛ" Ч-азЛ" ' Ч- ... +а„зЛ+ а„= О, ао > О, (6) аъ ао О О О О ... О аз аз аз ао О О ... О аз аз аз аз аз ао ... О О О О О О О ... а„ На главной диагонали этой матрицы стоят числа оы аг, ..., а„. В каждой строке индекс каждого числа на 1 меньше индекса предыдущего числа. Числа аь с индексами з > я или з < О заменяютсн нулями. Главные диагональные миноры матрицы Гурвица: аъ ао О аз ао ~з— Сьз = аз аз аз, ...

(7) аз аз аз аь аз Ьз =ам с вещественными коэффициентами. а) Необходимое условие: все а; > О. В случае п, < 2 это условие является и достаточным. б) Усл он ие Раусв — Гу рви ца: необходимо и достаточно, чтобы были положительными все главные диагональные миноры матрицы Гурвица з 15. Устойчивость в) Условия Льенара--Ши пара. Необходимо и достаточно, чтобьз все а, > 0 и чтобы дь„-з > О, зЛ з > О, г.'ь„з > О, ..., где Ь, гпе же, что в (7). Эти условия равносильны условинм Раусв — Гурвица, но удобнее, так как содержат меньше детерминантов.

Пример. При каких а и Ь корни уравнения Л + 2Л + аЛз-~- -|-3Л+ Ь = 0 имеют отрицательные вещественные части". Пишем условия Льенара--Шипара; 2 1 0 а>0, Ь>0, зЛз= 3 а 2 =ба †45 в>0, зать=2>0. 0 Ь 3 Отсюда получаем усаовин Ь > О, Оа > 45+ 9. г) Критерий Михайлова. Необходимо и достаточно, чтобы на комплексной плоскости точка 71зьз), где 7(Л) левая часть (6), при изменении ьз от 0 до -~-сс не проходила через начало координат и сделала поворот, вокруг него на угол ззн~2 в положительном направлении.