book48_2 (А.Ф. Филиппов - сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF)), страница 3

Ищем его в виде у = хг + ах+ Ь. Подставляя в уравнение (2), получим (4а+ 4)х+ + 2+ 2а+ 4Ь = О. Следовательно, 4а+ 4 = О, 2-Ь 2о -Ь 4Ь = О. Отсюда а = -1, Ь = О. Итак, многочлен у = хг — х является частным решением. 4. При решении задач 738 — 750 воспользоваться следующими утверждениями, вытекающими, например, из г 7 гл. Ъ' книги (5). Пусть ~Я)~ < —,,' при 1е < 1 < ощ с, о = сопэс ) О. Тогда 1) уравнение о" -~- (1 + г(1))н = О имеет два таких линейно независимых решения, что при 1 — > жоо 64 112.

Линейные уравнения с переменными коэффициентами 646. хе+ 2, Зхз — 1, х+ 4. 647. хз — х + 3, 2хз + х, 2т. — 4. 648. ее езе 650. 1, гйп х, соя2х. 649. х, е*, хе*. 651. яЬх, сЬх, 2+е . 652. 1п(хз), 1пЗх, 7. 653. х, О, е'. 654. яЬх, сЬх, 2е — 1, Зе + 5. 656. я1пх, соях, Мп2х. 655.

2', 3, 6*. 657. я1пх, яйп(х+ 2), соя(х — 5). 658. з?х, х?х+1, ъ'я+ 2. 659. агс$8х, агсс18х, 1. 660. хз. х]х]. 662 х хз [хз] 661. х., ]х[, 2х+ ъ'4хз. Рис. 1 Рис. 2 664. Известно, что для функций уы ..., у„детерминант Вронского в точке хв равен нулю, а в точке хг не равен нулю. Можно ли что-нибудь сказать о линейной зависимости (или независимости) этих функций на отрезке [хо, хг]? 665.

Детерминант Вронского для функций уы ..., уа равен нулю при всех х. Могут ли быть эти функции линейно зависимыми? Линейно независимыми? 663. а) Являются ли линейно зависимыми на отрезке [а, Ь] функции, графики которых изображены на рис. 1? б) Тот же вопрос для рис. 2. З 12.

Пинейна~е уравнения е переменными нвэффилиеннзами 65 666. Что можно сказать о детерминанте Вронского функций ды ..., д„, если только известно, а) что они линейно зависимы? б) что они линейно независимы? 667. ФУнкции д1 — — х, дз — — хз, дз — — ~х~~ УдовлетвоРЯют уравнению хзди — 5хд' + 5д = О. Являются ли они линейно зависимыми на интервале ( — 1, 1)? Объяснить ответ.

668. Доказать, что два решения уравнения дп+ +р(х)д'+ + у(х)д = 0 (с непрерывными коэффициентами), имеющие максимум при одном и том же значении х, линейно зависимы. 669. Даны 4 решения уравнения д'н + хд = О, графики которых касаются друг друга в одной точке. Сколько линейно независимых имеется среди этих решений? 670. Пользунсь известным утверждением об интервале существования решения линейного уравнения ((1), гл. У, конец З 1), определить, на каком интервале существует решение данного уравнения с указанными начальными условиями (не решая уравнения): а) (х. + 1)дн — 2у = О, д(0) = О, д'(0) = 2; б) дн -Ь у1К Х = О, д(5) = 1, д'(5) = О. 671. Могут ли графики двух решений уравнения у<"~ + + рз(х)др' О + ...

+ р„(х)д = 0 (с непрерывными коэффициентами) на плоскости х, д а) пересекаться, б) касаться друг друга? 672. При каких п уравнение задачи 671 может иметь частное решение д = хз? 673. Линейное однородное уравнение какого порядка на интервале (О, 1) может иметь такие четыре частных решения: д = хз — 2х+ 2, дз = (х — 2), д = хи+ х — 1, д = 1 — х? В каждой из задач 674 — 680 составить линейное однородное дифференциальное уравнение (возможно меньшего порндка), имеющее данные частные решения.

675. х, е*. 674. 1, совх. 676. Зх, х — 2, ее+ 1. 677. хз — Зх, 2хз + 9, 2х + 3. 679. х, хз е* 678. е', айх, сЬх. хз ~хз~ 66 г 12. Линейнне уравнения е переменками коэффициентами В задачах 681 — 701 найти общие решения данных уравнений, зная их частные решения. В тех задачах, где частное решение не дано, можно искать его путем подбора, например, в виде показательной функции уг = еое или алгебраического многочлена уг — — хн + от" ' + 6х™ + ... 681.

(2т+ 1)до+ 4ху' — 4У = О. 682. хг(х+ 1)ди — 2у = О; уг = 1+ —. 683. хуи — (2х + 1)у' ц- (х + 1)у = О. 684. хуи+ 2У' — ху = О; уг = — '. 685. Уи — 2(1+тбг х)у = О; уг = сбх. 686.:т(х — Цуи — хд' + у = О. 687. (е*+ 1)уи — 2У' — е у = О; уг = е* — 1. 688. хгуи 1пх — ху'+ у = О. 689. Уи — у'гйх+ 2У = О; уг — — вшх. 690.

(,гг — 1)ун+ (х — 3)д' — у = О. 691. хуи — (х+ 1)у' — 2(х — 1)у = О. 692. Уи + 4ху' + (4хг + 2)у = О: уг — — еае . 693. хуи — (2х+ 1)у'+ 2у = О. 694. х(2х+ 1)уи+ 2(х+ 1)у' — 2У = О. 695. х(х + 4)уи — (2х + 4)у'+ 2у = О. 696. х(х' + 6)ди — 4(хг ц- 3)д' -> бху = О. 697. (хг -Ь 1)уи — 2у = О. 698. 2х(х+ 2)да+ (2 — х)у'+ у = О. 699. хд'и — Уи — хд'+ У = О:, Уд = х., Уг = е . 700. хг(2х — 1)уи'+ (4х — 3)хуи — 2ху'+ 2У = О; Уг — х Уг — 1/х. 701.

(хг — 2х+ 3)уи' — (хг + 1)до + 2ху' — 2у = О; Уг=х Уг=е. г 12. Линейные уравнение с переэсенными коэффициентаии 67 В задачах 702, 703 найти общее решение линейного неоднородного уравнения, если известно, что частное решение соответствующего однородного уравнения являетсн многочленом. 702. (х+ 1)хуи+ (х+ 2)у' — д = х+ ~~. 703. (2х+ 1)уи+ (2х — 1)д' — 2У = хе + х. В задачах 704, 705, знан два частных решения линейного неоднородного уравнения второго порядка, найти его общее решение. 704. (хг — 1)Уп + 4хУ' + 2У = 6х; Уг = х, Уг = 705.

(Зхз + х)уи + 2У' — Оху = 4 — 12хг; У1 — — 2х, уз=(х+Ц . В уравнениях 706 †Т линейной заменой искомой функции д = о(х)г уничтожить член с первой производной. Т06. хгуп — 2ху' + (хг + 2)у = О. 707. хгдп — 4хд + (6 †, )у = О. 708. (1+ хе)уи+ 4ху'+ 2У = О. 709. хгуп+ 2хгу'+ (хг — 2)д = О. 710. хуп + у'+ ху = О. В уравнениях 711 — 715 заменой независимого переменного с = еэ(х) уничтожить член с первой производной. 711. хуи — у' — 4хзу = О. 712.

(1 + хг)ди + ху' + у = О. 713. хг(1 — хг)уи+ 2(х — хз)у' — 2у = О. 714. Уп — у' + е 'у = О. 715. 2хуи + у'+ ху = О. 716. Зная три частных решения уг — — 1, уг = х, Уз = х линейного неоднородного уравнения второго порядка, написать его общее решение. 68 З12. Линейке~в уравнения с переменными коэффициентами 717. Что можно сказать о функции р(х), если известно, что все решения уравнения дп+ р(х)д'+ с?(х)д = О при х — э оо стремятся к нулю вместе со своими первыми производными'? У к а з а н и е.

Воспользоваться формулой Лиувилля. 718. Доказать, что в случае е?(х) < 0 решения уравнении дп + р(з)д' + д(х)д = 0 не могут иметь положительных максимумов. 719. Где могут лежать точки перегиба графиков решений уравнения дп + д(х)д = О? 720. Могут ли графики двух решений уравнения дп + + д(х)д = О (функцин д(х) непрерывна) располагаться так, как на рис. З,а? рнс. З,б? рис. З,в? рис. З,г? г) Рис. 3 721.

Доказать, что отношение двух любых линейно независимых решений уравнения дп+р(х)д'+ д(х)д = О (с непрерывными коэффициентами) не может иметь точек локального максимума. 722. Доказать, что в случае д(х) > 0 для любого решенин уравнения да + д(х)д = О отношение д'(х)?'д(х) убывает при возрастании х на интервале, где д(х) ф О. Ь 12. Пикейные уравнения е переменными нвэффиаиентами 69 723.

Доказать, что в случае д(х) < 0 все решении уравнения уп + д(х)у = 0 с положительными начальными условиями у(тв) > О, у'(то) > 0 остаются положительными при всех т, > те. 724. Доказать, что решение уравнения ун — хзу = 0 с начальными условиями у(0) = 1, у'(0) = 0 есть четная функция, всюду положительная. 725'. Доказать, что в случае д(х) < 0 краеван задача ун + д(х)у = О, у(х1) = а, у(хз) = Ь при любых а, Ь и х1 ф хз имеет единственное решение. Доказать, что зто решение — монотонная функция, если Ь = О. 726.

Найти расстояние между двумя соседними нулнми любого (не тождественно равного нулю) решения уравнения уи + гау = О, где т = сопзь > О. Сколько нулей может содержатьсн на отрезке а < т, < ЬТ В задачах 727 — 730, используя результат предыдущей задачи и теорему сравнения (см.

(1), гл. й1, Ь' 2, и. 3), оценить сверху и снизу расстояние между двумя соседними нулнми любого (не тождественно равного нулю) решении следующих уравнений на заданном отрезке. 727. уи + 2ху = О, 20 ( т < 45. 728. туп+ у = О, 25 < х < 100. 729. дн — 2ху'+ (т+ 1)зу = О, 4 ( т, ( 19. 730. уи — 2е*у'+ ез'у = О, 2 ( х ( 6. 731'. Доказать, что любое решение уравнения ун+ту = 0 на отрезке — 25 < т ( 25 имеет не менее 15 нулей. 732. Пусть хы тз, ... расположенные в порядке возрастания последовательные нули решения уравнения ун + + д(х)у = О, где у(х) > 0: при х1 < х < оо функция у(х) непрерывна и возрастает. Доказать, что х„т1 — х„ < хн — т„ (т.

е. расстояние между соседними нулями убывает). ТЗЗ. В предыдущей задаче обозначим через с конечный или бесконечный предел функции у(х) при х -+ оо. Доказать, что 1пп (хпв1 — хи) = я/т/с. 70 З12. Линейные уравнения с аеременныли нввуфициентаяси В задачах 738 †7 исследовать асимптотическое поведение при х » +ос решений данных уравнений, пользуясь преобразованием Лиувиллн (см. задачу 73Т) и утверждениями п. 4 (стр. 77). 738. да + х~д = О. 740.

да+ хад = О. 742. хдн — д = О. 744. хди+ 2д'+ д = О. 739. ди — хзд = О. 741. да +езсд = О. 743. дн — хд = О. 745. дн — 2(х — 1)д'+ хзд = О. 746*. дн + (х~ + 1) д = О. 747*. (хз + 1)дн — д = О. 748". хада+ д1пз х = О. В задачах 749 — 750 получить более точное асимптотическое представление решений данных уравнений, применян два раза преобразование Лиувилля. 734*.

Пусть д и з решения уравнений да + с7(х)д = = О и зн+ ®х)з = О с совпадающими начальными условинми д(ха) = з(хо) д'(хо) = з'(хо) и на интервале (хо, х») имеем О(х) > Ч(х), д(х) > О, з(х) > О. Доказать, что на этом интервале отношение з(х)/д(х) убывает. 735'. Пусть выполнены условия задачи 732 и пусть Ь„= твх (д(х) !. Доказать, что Ь| > Ьз > Ьз >... е„«*я„»~ 736*.