book48_2 (А.Ф. Филиппов - сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF))

311. Линейные уравнения с пошпоянныли ноэффициенгпожи 51 можно искать частное решение в виде уе = х"е. (Л (х) соеПх -ь Т„,(х) е(паях), (7) уи' — бд" -~- 99' = хез' ф ез' соз 2х. (8) Характеристическое уравнение Л вЂ” 6Лз+9Л = О имеет корень Л = 3 кратности 2 и корень Л = О кратности 1. Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид уо = (Се + Сзх)ее* + -~- Сз. Праван часть (8) состоит из двух слагаемых вида (6); длн первага 7 = о+)11 = 3, а для второго а+Щ = 3+ 21.

Так как этн числа различны, то надо искать отдельно частные решения уравнений уи' — буи ф 9у' = хез*, у — бу + 9у = е * сов 2х. (9) (10) Число 7 = 3 является корнем кратности е = 2, поэтому частное решение уравнения (9) согласно (4) имеет внд уе = х (ахф -ЬЬ)ею. Подставив у = уз в (9), найдем а = 1/18, Ь = -1/18. где е = О, если се-~ 81 не корень характеристического уравнения, н е равно кратности корня о + )э( в противном случае, а Л и Т многочлены степени гп, равной наибольшей из степеней многочленов Р и Сх.

Чтобы найти коэффициенты многочленов Лж н Т„„надо подставить решение (7) в уравнение н приравнять коэффициенты при подобных членах. Еще один метод отыскания частного решении уравнения с вещественными коэффициентами и правой частью вида (6) состоит в следующем. Сначала решают уравнение с правой частью Р(х)е~ е~'~'. Вещественная часть этого решения будет решением уравнения с правой частью Р(х)е"*соеДх, а мнимая -- решением уравнении с правой частью Р(х)е 'е)пДх.

Если правая часть уравнения равна сумме нескольких функций вида Р(х)еж н вида (6), то частное решение отыскивается по следующему правилу. Частное решение линейного уравнения с правой частью хг+ +... + 1„равно сумме частных решений уравнений с той же левой частью и правыми частями 7м ..., 1ю Общее решение линейного неоднородного уравнения во всех случаях равно сумме частного решения этого уравнения н общего решения однородного уравнения с той же левой частью. П р н м е р.

Решить уравнение 52 311. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Далее, число а -Ь гП = 3 + 2г не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение уравнения (10) согласно (7) имеет вид уз = езе(ссое 2х -~-г)еш2х). Подставив у = дз в (10),найдем с = — 3/52г г) = — 1г26. Общее решение уравнении (8) равно у = до + дг -~- уз, гле уо, уг, дз уже найдены, 3. Линейное неоднородное уравнение аоу -> агу " ' -г ...

-'г аод = ~(х) (11) с любой правой частью 1(х) решается методом вариации постоянных. Пусть найдено общее решение у = Сгуг -~-... ф С у„линейного однородного уравнения с той же левой частью. Тогда решение уравнении (11) ищется в виде у = Сг(х)уг ф ... ф С (х)у . Функции Сг(х) определяются из системы Сгуг-ь... ФС„'д =0 С,'д', +... + С„'у„' = 0 гп — гг + Сг ~ — з) гдг д ао(Сгу~ ~~ -~- ... -~- С„д~ О) = 1(х). 4.

Уравнение Эйлера аех" уф~ + игх" ущ г + ... + а„гху'+ а„у = ф(х) (12) сводитсн к линейному уравнению с постоянными коэффициентами заменой независимого переменного х = е' при х > 0 (или х = — е' при х ( 0). Для полученного уревнения с постоянными коэффициентами характеристическое уравнение имеет вид аоЛ(Л вЂ” Ц(Л вЂ” 2)... (Л вЂ” яж1)+... -~-а -гЛ(Л вЂ” 1)-~-а„гЛфа = О. При составлении этого уравнения каждое произведение х"урй в (12) заменяетсн на произведение гс убывающих на 1 чисел: Л(Л вЂ” 1)(Л вЂ” 2)... (Л вЂ” к ф 1). П р и м е р.

Решить уравнение хэу"' — х у" + 2ху' — 2у = хэ. (13) 2 11. Линейные уравнения с постоянными ноэффициентоми 53 Сразу пишем характеристическое уравнение и решаем его: Л(Л вЂ” 1)(Л вЂ” 2) — Л(Л вЂ” 1) + 2Л вЂ” 2 = О, (14) (Л вЂ” Ц(Л вЂ” ЗЛ + 2) = О, Лг = Лг = 1, Лз = 2. При таких Л общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид (согласно п. 1) уо = (Сг + Сг1)е'+ Сзег'. Чтобы решить неоднородное уравнение (13), сначала раскроем скобки в (14): Л вЂ” 4Л + ЗЛ вЂ” 2 = О.

По этому характеристическому уравнению составляем левую часть дифференциального уравнения, а правую часть получаем из правой части (13) заменой з=е: и и ~ зг у," — 4у, фбу,— 2у=е '. Так как число 3 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде уг = ае .

Подставляя в м уравнение, находим а = 1/4. Следовательно, общее решение имеет вид у = уо ф уг = (Сг -~- Сг1)е -~- Сзе ф — е м 1зг 4 = (С, -Ь Сг )из)з+ Сзз' -Ь -гф (ш > О). 4 При з ( О получается аналогичная формула, но с!п ~з~ вместо 1пз. б. Для решения задач 636 — 640 и 876 можно пользоваться следующими законами теории электрических цепей (см.

также [3], 1 13). Длн каждого узла цепи сумма всех притекающих токов равна сумме вытекающих токов. Алгебраическая сумма напряжений источников тока, содержащихся в любом замкнутом контуре цепи, равна алгебраической сумме падений напряжений на всех остальных участках этого контура. Падение напряжения на сопротивлении П равно )11; падение напряжения на самоиндукции Ь ровно Ь о,, падение напряжения на 1С конденсаторе емкости С равно фС, где д = о(1) — заряд конденсатора в момент й при этом бш = 1; во всех трех случаях 1 = 1(1)— сила тока, .протекающего через рассматриваемый участок цепи в данный момент й В этих формулах 1 выражается в амперах, Л— в омах, Ь вЂ” в генри, о — в кулонах, С вЂ” в фарадах, 1 — в секундах, напряжение — в вольтах.

54 511. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 61 1  — -~- —, = $"вэсоэый 61 С (15) Это линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Для отыскания установившегося режиме найдем периодическое решение этого уравнения. Исходя из вида правой части уравнения, ищем решение в виде 1 = Аг сов ыа ф Вг аш~Л. (16) Подставляя (16) в (15) и приравнивая коэффициенты при подобных членах, получим систему двух уравнений, из которой можно найти Ае и Ве. Но в электротехнике ввжнее знать не коэффициенты Аэ и Ве, а амплитуду изменения силы тока. Поэтому выражение (16) переписывают в виде 1 = Авш(еэс — у).

(17) Подставляя (17) в (15), переходя к тригонометрическим функци- ям углов ыт и у, приравнивая коэффициенты сначала прн эшый а затем при сивый получим А ВАышпу ф — сову = О, С А ВАысоэ у — — а!ну = Р'вэ. С' Отсюда найдем тбу= —, А= ес',/Ю (ск' Поясним, почему найденное периодическое решение называется установившимся режимом.

Общее решение уравненив (15) равно Установившимся режимам называется такой, при котором сила токе постоянна или меняется перноднческн. П р и м е р. Последовательно включены: источник тока, напряжение которого меняется по закону Е = Ияпый сопротивление В и емкость С. Найти силу тока в цепи при установившемся режиме'. Решение. Сила тока 1 = 1(1) на любом участке цепи одна и та же (по закону о последовательном соединении).

Падение напряжения на сопротивлении равно В1, а на емкости д/С. Следовательно, В1 + — = И е1пвэй Дифференцируя и пользуясь тем, что Я 66 ' С вЂ” = 1, получим уравнение 61 8 11. Линейные ураенемия с настоянными ноэр7фициентами 55 сумме найденного частного решения (17) и общего решения линей- ного однородного уравнении (18) Решить уравнения 511 — 548. 511. ун + у' — 2у = О. 513. ум — 2у' = О.

512. ун + 4у'+ Зу = О. 514. 2дн — 5д' + 2у = О. 515. ун — 4у' + 5у = О. 516. ун + 2у' + 10у = О. 517. уи + 4у = О. 519. у1~ — у = О. 521 учг + 64у 0 518. уи' — 8у = О. 520. у~~+ 4у = О. 522. уи — 2у' + д = О. 523. 4ун + 4у'+ д = О. 524. ур — бр~~ + 9ум' = О. 525. уг — 10д'н + Оу' = О. 526. у~~+ 2ун+ у = О. 527. у'и — Зун + Зу' — у = О. 528. у'н — ун — у' + у = О. 529. у~у — бум+ 4у = О. 530. у~ + 8ун'+ 16у' = О.

531 ун~ Зу~ + 2д 0 532 угу + 4ун + Зд 0 533. уи — 2д' — Зу = еэе. 534. ум+ у = 4шее. 535. ун — у = 2е — хз. 536. ум + у' — 2у = Зше ь 537. уи — Зу'+ 2у = япш. 538. ун+ у = 4з)гыш 539. у" — 5у'+ 4у = 4хзез . Так как решение уравнении (18) 1 = Ке Оне (здесь 8 — произвольная постояннан) стремится к нулю при г — > -~-сю, то любое решение уравнения (15) при г — э +ее неограниченно приближаетсн (и притом весьма быстро) к найденному периодическому решению (17). 56 В 11. Линеание ураенения с настоянными коэффициентами 540.

уи — Зд'+ 2у = хсовх. 541. уи + Зу' — 4у = е 4* + хе 542 уи+ 2у' — Зу = хге'. 543. ди — 4у'+ 8д = еги + в1п2х. 544. ди — 9у = ез совх. 545. уи — 2у' + у = бхе."'. 546. до+ у = хв1пх. 547. уи + 4у' + 4у = хег'. 548. уи — 5д' = Зхг + вш 5х. В задачах 549 — 574 дла каждого из данных уравнений написать его частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить).

549. ди — 2у'+ 2у = е'+ хсовх. 550. до+ бу'+ 10у = Зхе з' — 2ез'совх. 551. уи — 8д'+ 20у = 5хееи яп2х. 552. уи+ 7д'+ 10д = э,е г' сов 5х. 553. уи — 2у'+ 5у = 2хе + ее яп2х. 554. ди — 2у'+ у = 2хеи+ е*яп2х. 555. уи — 8у'+ 17у = е4'(хг — Зхяпт). 556. уи'+ у' = япх+ хсовх. 557. у'и — 2ди + 4у' — 8д = ег* яп 2х ц- 2хг. 558. уи — бу'+ 8у = Зхег'+ 2еееяпх. 559. уи+ 2у'+ у = х(е — совх). 560. у'и — уи — у'+ у = Зе*+ Зхв1пт.. 561. уи — 6д'+ 1Зу = хгез' — 3сов2х.

562. ди — 9у = е зе(х~ + вш Зх). 563. у'~+ у" = 7х — Зсовх. 511. Линейные уравнения с настоянными ноэффиаиента ни 57 564. до+ 4у = совх совЗх. 565. ун' — 4дн+ Зу' = та + тел*. ун — 4у' + 5д = ез' яшз х. 566. 567. дн + Зд' + 2у = е * сова т,. 568. ун — 2д'+ 2д = (х+ е*) вшх. 569. д1~+ 5уо+ 4у = яшт сов2х. 570. дн — Зу'+ 2д = 2*. 571. дн — у = 4впх.