book48_2 (1113186)
Текст из файла
311. Линейные уравнения с пошпоянныли ноэффициенгпожи 51 можно искать частное решение в виде уе = х"е. (Л (х) соеПх -ь Т„,(х) е(паях), (7) уи' — бд" -~- 99' = хез' ф ез' соз 2х. (8) Характеристическое уравнение Л вЂ” 6Лз+9Л = О имеет корень Л = 3 кратности 2 и корень Л = О кратности 1. Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид уо = (Се + Сзх)ее* + -~- Сз. Праван часть (8) состоит из двух слагаемых вида (6); длн первага 7 = о+)11 = 3, а для второго а+Щ = 3+ 21.
Так как этн числа различны, то надо искать отдельно частные решения уравнений уи' — буи ф 9у' = хез*, у — бу + 9у = е * сов 2х. (9) (10) Число 7 = 3 является корнем кратности е = 2, поэтому частное решение уравнения (9) согласно (4) имеет внд уе = х (ахф -ЬЬ)ею. Подставив у = уз в (9), найдем а = 1/18, Ь = -1/18. где е = О, если се-~ 81 не корень характеристического уравнения, н е равно кратности корня о + )э( в противном случае, а Л и Т многочлены степени гп, равной наибольшей из степеней многочленов Р и Сх.
Чтобы найти коэффициенты многочленов Лж н Т„„надо подставить решение (7) в уравнение н приравнять коэффициенты при подобных членах. Еще один метод отыскания частного решении уравнения с вещественными коэффициентами и правой частью вида (6) состоит в следующем. Сначала решают уравнение с правой частью Р(х)е~ е~'~'. Вещественная часть этого решения будет решением уравнения с правой частью Р(х)е"*соеДх, а мнимая -- решением уравнении с правой частью Р(х)е 'е)пДх.
Если правая часть уравнения равна сумме нескольких функций вида Р(х)еж н вида (6), то частное решение отыскивается по следующему правилу. Частное решение линейного уравнения с правой частью хг+ +... + 1„равно сумме частных решений уравнений с той же левой частью и правыми частями 7м ..., 1ю Общее решение линейного неоднородного уравнения во всех случаях равно сумме частного решения этого уравнения н общего решения однородного уравнения с той же левой частью. П р н м е р.
Решить уравнение 52 311. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Далее, число а -Ь гП = 3 + 2г не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение уравнения (10) согласно (7) имеет вид уз = езе(ссое 2х -~-г)еш2х). Подставив у = дз в (10),найдем с = — 3/52г г) = — 1г26. Общее решение уравнении (8) равно у = до + дг -~- уз, гле уо, уг, дз уже найдены, 3. Линейное неоднородное уравнение аоу -> агу " ' -г ...
-'г аод = ~(х) (11) с любой правой частью 1(х) решается методом вариации постоянных. Пусть найдено общее решение у = Сгуг -~-... ф С у„линейного однородного уравнения с той же левой частью. Тогда решение уравнении (11) ищется в виде у = Сг(х)уг ф ... ф С (х)у . Функции Сг(х) определяются из системы Сгуг-ь... ФС„'д =0 С,'д', +... + С„'у„' = 0 гп — гг + Сг ~ — з) гдг д ао(Сгу~ ~~ -~- ... -~- С„д~ О) = 1(х). 4.
Уравнение Эйлера аех" уф~ + игх" ущ г + ... + а„гху'+ а„у = ф(х) (12) сводитсн к линейному уравнению с постоянными коэффициентами заменой независимого переменного х = е' при х > 0 (или х = — е' при х ( 0). Для полученного уревнения с постоянными коэффициентами характеристическое уравнение имеет вид аоЛ(Л вЂ” Ц(Л вЂ” 2)... (Л вЂ” яж1)+... -~-а -гЛ(Л вЂ” 1)-~-а„гЛфа = О. При составлении этого уравнения каждое произведение х"урй в (12) заменяетсн на произведение гс убывающих на 1 чисел: Л(Л вЂ” 1)(Л вЂ” 2)... (Л вЂ” к ф 1). П р и м е р.
Решить уравнение хэу"' — х у" + 2ху' — 2у = хэ. (13) 2 11. Линейные уравнения с постоянными ноэффициентоми 53 Сразу пишем характеристическое уравнение и решаем его: Л(Л вЂ” 1)(Л вЂ” 2) — Л(Л вЂ” 1) + 2Л вЂ” 2 = О, (14) (Л вЂ” Ц(Л вЂ” ЗЛ + 2) = О, Лг = Лг = 1, Лз = 2. При таких Л общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид (согласно п. 1) уо = (Сг + Сг1)е'+ Сзег'. Чтобы решить неоднородное уравнение (13), сначала раскроем скобки в (14): Л вЂ” 4Л + ЗЛ вЂ” 2 = О.
По этому характеристическому уравнению составляем левую часть дифференциального уравнения, а правую часть получаем из правой части (13) заменой з=е: и и ~ зг у," — 4у, фбу,— 2у=е '. Так как число 3 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде уг = ае .
Подставляя в м уравнение, находим а = 1/4. Следовательно, общее решение имеет вид у = уо ф уг = (Сг -~- Сг1)е -~- Сзе ф — е м 1зг 4 = (С, -Ь Сг )из)з+ Сзз' -Ь -гф (ш > О). 4 При з ( О получается аналогичная формула, но с!п ~з~ вместо 1пз. б. Для решения задач 636 — 640 и 876 можно пользоваться следующими законами теории электрических цепей (см.
также [3], 1 13). Длн каждого узла цепи сумма всех притекающих токов равна сумме вытекающих токов. Алгебраическая сумма напряжений источников тока, содержащихся в любом замкнутом контуре цепи, равна алгебраической сумме падений напряжений на всех остальных участках этого контура. Падение напряжения на сопротивлении П равно )11; падение напряжения на самоиндукции Ь ровно Ь о,, падение напряжения на 1С конденсаторе емкости С равно фС, где д = о(1) — заряд конденсатора в момент й при этом бш = 1; во всех трех случаях 1 = 1(1)— сила тока, .протекающего через рассматриваемый участок цепи в данный момент й В этих формулах 1 выражается в амперах, Л— в омах, Ь вЂ” в генри, о — в кулонах, С вЂ” в фарадах, 1 — в секундах, напряжение — в вольтах.
54 511. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 61 1  — -~- —, = $"вэсоэый 61 С (15) Это линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Для отыскания установившегося режиме найдем периодическое решение этого уравнения. Исходя из вида правой части уравнения, ищем решение в виде 1 = Аг сов ыа ф Вг аш~Л. (16) Подставляя (16) в (15) и приравнивая коэффициенты при подобных членах, получим систему двух уравнений, из которой можно найти Ае и Ве. Но в электротехнике ввжнее знать не коэффициенты Аэ и Ве, а амплитуду изменения силы тока. Поэтому выражение (16) переписывают в виде 1 = Авш(еэс — у).
(17) Подставляя (17) в (15), переходя к тригонометрическим функци- ям углов ыт и у, приравнивая коэффициенты сначала прн эшый а затем при сивый получим А ВАышпу ф — сову = О, С А ВАысоэ у — — а!ну = Р'вэ. С' Отсюда найдем тбу= —, А= ес',/Ю (ск' Поясним, почему найденное периодическое решение называется установившимся режимом.
Общее решение уравненив (15) равно Установившимся режимам называется такой, при котором сила токе постоянна или меняется перноднческн. П р и м е р. Последовательно включены: источник тока, напряжение которого меняется по закону Е = Ияпый сопротивление В и емкость С. Найти силу тока в цепи при установившемся режиме'. Решение. Сила тока 1 = 1(1) на любом участке цепи одна и та же (по закону о последовательном соединении).
Падение напряжения на сопротивлении равно В1, а на емкости д/С. Следовательно, В1 + — = И е1пвэй Дифференцируя и пользуясь тем, что Я 66 ' С вЂ” = 1, получим уравнение 61 8 11. Линейные ураенемия с настоянными ноэр7фициентами 55 сумме найденного частного решения (17) и общего решения линей- ного однородного уравнении (18) Решить уравнения 511 — 548. 511. ун + у' — 2у = О. 513. ум — 2у' = О.
512. ун + 4у'+ Зу = О. 514. 2дн — 5д' + 2у = О. 515. ун — 4у' + 5у = О. 516. ун + 2у' + 10у = О. 517. уи + 4у = О. 519. у1~ — у = О. 521 учг + 64у 0 518. уи' — 8у = О. 520. у~~+ 4у = О. 522. уи — 2у' + д = О. 523. 4ун + 4у'+ д = О. 524. ур — бр~~ + 9ум' = О. 525. уг — 10д'н + Оу' = О. 526. у~~+ 2ун+ у = О. 527. у'и — Зун + Зу' — у = О. 528. у'н — ун — у' + у = О. 529. у~у — бум+ 4у = О. 530. у~ + 8ун'+ 16у' = О.
531 ун~ Зу~ + 2д 0 532 угу + 4ун + Зд 0 533. уи — 2д' — Зу = еэе. 534. ум+ у = 4шее. 535. ун — у = 2е — хз. 536. ум + у' — 2у = Зше ь 537. уи — Зу'+ 2у = япш. 538. ун+ у = 4з)гыш 539. у" — 5у'+ 4у = 4хзез . Так как решение уравнении (18) 1 = Ке Оне (здесь 8 — произвольная постояннан) стремится к нулю при г — > -~-сю, то любое решение уравнения (15) при г — э +ее неограниченно приближаетсн (и притом весьма быстро) к найденному периодическому решению (17). 56 В 11. Линеание ураенения с настоянными коэффициентами 540.
уи — Зд'+ 2у = хсовх. 541. уи + Зу' — 4у = е 4* + хе 542 уи+ 2у' — Зу = хге'. 543. ди — 4у'+ 8д = еги + в1п2х. 544. ди — 9у = ез совх. 545. уи — 2у' + у = бхе."'. 546. до+ у = хв1пх. 547. уи + 4у' + 4у = хег'. 548. уи — 5д' = Зхг + вш 5х. В задачах 549 — 574 дла каждого из данных уравнений написать его частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить).
549. ди — 2у'+ 2у = е'+ хсовх. 550. до+ бу'+ 10у = Зхе з' — 2ез'совх. 551. уи — 8д'+ 20у = 5хееи яп2х. 552. уи+ 7д'+ 10д = э,е г' сов 5х. 553. уи — 2у'+ 5у = 2хе + ее яп2х. 554. ди — 2у'+ у = 2хеи+ е*яп2х. 555. уи — 8у'+ 17у = е4'(хг — Зхяпт). 556. уи'+ у' = япх+ хсовх. 557. у'и — 2ди + 4у' — 8д = ег* яп 2х ц- 2хг. 558. уи — бу'+ 8у = Зхег'+ 2еееяпх. 559. уи+ 2у'+ у = х(е — совх). 560. у'и — уи — у'+ у = Зе*+ Зхв1пт.. 561. уи — 6д'+ 1Зу = хгез' — 3сов2х.
562. ди — 9у = е зе(х~ + вш Зх). 563. у'~+ у" = 7х — Зсовх. 511. Линейные уравнения с настоянными ноэффиаиента ни 57 564. до+ 4у = совх совЗх. 565. ун' — 4дн+ Зу' = та + тел*. ун — 4у' + 5д = ез' яшз х. 566. 567. дн + Зд' + 2у = е * сова т,. 568. ун — 2д'+ 2д = (х+ е*) вшх. 569. д1~+ 5уо+ 4у = яшт сов2х. 570. дн — Зу'+ 2д = 2*. 571. дн — у = 4впх.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
