book48_3 (1113187)
Текст из файла
191 316. Особые точки ,.1э: ' гге где г = ~Гхзг -Ь У . Очевидно, это Условие выполнЯетсЯ (пРи любом е ( 1), если функции Р и се в исследуемой точке дважды дифференцируемы. Предположим еще, что вещественные части всех корней характеристического уравнения (5) отличны от нуля. Тогда особая точка х1 = О, уг = О системы (9) будет того же типа, что особая точка системы (3), получаемой отбрасыванием функций 1о и ф.
Далее, угловые коэффициенты направлений, по которым траектории входят в особую точку, для систем (3) и (9) одни и те же (однако прямым у = йх для системы (3) могут соответствовать кривые для системы (9)), а в случае фокуса -- направление закручивания траекторий одно и то же. В том случае, когда длн системы (3) особая точка центр, для системы (9) она может быть фокусом или центром. Для наличин центра достаточно (но не необходима), чтобы траектории системы (9) имели ось симметрии, проходнщую через исследуемую точку. Ось симметрии, очевидно, существует, если уравнение вида (2), к которому можно привести систему (9), не меняется от замены х на — х (нли у на — у).
Для наличия фокуса необходимо и достаточно, чтобы нулевое решение системы (9) было асимптотически устойчиво при 1 — > -Ьаа или при à — г — са. Исследование на устойчивость можно провести с помощью функции Ляпунова. Это сделать нелегко, так как в рассматриваемом случае функцию Ляпунове часто приходится брать в виде суммы членов второй, третьей и четвертой степеней относительно х, у. В задачах 961 †9 исследовать особые точки написанных ниже уравнений и систем. Дать чертеж расположения интегральных кривых на плоскости (х,, у).
2х -~- у Зт ж4у 962. у' = 2у — Зх ' 963. у' = у 964. у' = 2х+ Зу' 966. у' = х — у 965. у' = Зх — 4У ' 96Т. у'= " 2У вЂ” Зх' 968 ~ 49 — 2х У где хы ус — новые координаты (после переноса), а, 6, с, Ы вЂ” по- стоянные. Предположим, что длн некоторого е ) О 102 5 16. Особые точки 970. у' = Зх — 2У У'=-, у У х=Зху 9Т1. у = 2х+у. х = 2х — д, 972. ~~ ~ ~ ~ у у = х. < х = х+ Зуу у = -6х — 5у. х=х, 9Т4. У =2х — у.
< х = -2х — 5У, д = 2х + 2У. х = Зх+д, 978. ~ ~ ~ ~ ~ 2 у = у — х. 975. < х = Зх — 2У, у = 4у — бх. х = у — 2х, 978. у = 2У вЂ” 4х. В задачах 979 — 992 найти и исследовать особые точки данных уравнений и систем. 979. у' = Зх+ 6' 980. .У =, х — 2У вЂ” 5' 4д — х 2 2 у 2хд — 4У вЂ” 8' 982. у' = 2 — д — 1 г г 981 983.
у' = . 984. у' = х — д х-Ьу+1 Уу 1н<1 х+;,,') В З. ту - у 9 2 — 2, агс18<х + ху). х — у, - -<у-2). у у+1 !н т' — у'. 998. 988. < 988. ( 989. ( 999. 1п(2 — уг), Г х = (2х — у)(х — 2), 987. ~ е — е" . << у=ху — 2. 106 Ь 16. Особые точки ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ г х = 1п(1 — у+ уг), 991. у= — е+ 8у9. :: = ч' к — г) <- 3 — 2, 992. у=с" * — е. Для уравнений 993 — 997 дать чертеж расположения интегральных кривых в окрестности начала координат. У к а з а н и е.
В задачах 993 — 997 особые точки не принадлежат к рассмотренным в начале з 16 типем. Для их исследования можно построить несколько изоклин. Затем надо выяснить, с каких сторон интегральные кривые входят в особую точку. ,г г 994*. д' = х +д 998*. д' = х -~- у 995*. у' = у+ х 996'. д' = у — х' г у -~- х 998. Доказать, что если особая точка уравнения (ах + Ьу) Дх + (тх + яу) йу = 0 является центром, то это уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Обратное неверно.
999*. Доказать, что если уравнение предыдущей задачи не является уравнением в полных дифференциалах, но имеет интегрирующий множитель, непрерывный в окрестности начала координат, то особан точка -- седло (если ая ф Ьт). 1000*. Пусть в уравнении ах+ Ьу+р(х, у) д ох+ ду+ 9(х, у) функции р и у определены и непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки (0,0), а в самой точке 104 317. Фазовая я.ааскость (0,0) р = р', = р'„= д = д' = д, '= О.
Доказать„что если урав- нение (1) не меняется от замены у на — у, в корни характерис- тического уравнения с — Л с( Ь вЂ” Л чисто мнимы, то особая точка (О, О) -- центр. 0 17. ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ 1. О поннтиях фазового пространства, фазовой плоскости, автономной системы, траектории см. [Ц, гл. Ъ'11, 3 1, и.
4, или [3], 3 15, или [4], гл. 3, 3 1. 2. Чтобы построить траектории системы х = Уг(х. у), у = Уг(х; у) бу гг(х у) бх тг(х, у) (2) Траектории системы (1) будут интегральными кривыми уравнения (2). Их можно построить или решив уравнение (2) (часта оно решается проще, чем система (1)), или с помощью метода изоклин (3 1), при этом необходимо исследовать особые точки системы (методами 3 16). Длн построения траекторий уравнения х = 7'(х, х) на фазовой плоскости надо от этага уравнения перейти к системе т = у, у = = 7(х, у), которая исследуется так же, как система (1).
3. Предельным циклом называется замкнутая траектория, у которой существует окрестность, целиком заполненнан траекториями, неограниченно приближающимися к этой замкнутой траектории при 1 -г -Ьсс или при т — г — сс. Предельный цикл назыввется устойчивым, если траектории приближаются к нему только при 1 -г +ос, неустойчивым — если только при 1 -э — сс, полуустойчивым если с одной стороны цикла траектории приближаются к нему при 1 — > -ьсс, а с другой стороны при 1 — > — сс. О предельных циклах см. [3], 3 28, [2], 3 25. на фазовой паоскости х, у, можно или исследовать непосредственно эту систему, или, разделив одно уравнение на другое, свести ее к уравнению первого порядка 105 з 17. Фазовая клоскость 1001. х+ 4т, = О. 1002.
х — х = О. 1003. х — х+ тз = О. 1004. х — 3хз = О. 1005 х+2тз О 1006. х+2хз 2х= О 1007. х+ек — 1= О. 1008. х — 2'+х+1= О. 1009. х — ипх = О. 1010. т+ 2созх — 1 = О. 1011. т. — 4т+ Зх = О. 1012. т+ 2х+ 5х = О. 1013. х — т — 2х = О. 1014. т+ 2т+ хз + т = О. 1015. х+ х+ 2т — хз = О. 1016. х + хз — хз -ь 1 = О.
1017. х+ 2 — хз = О. 1018. т+ ~'та+та — 1 = О. г 1019. х ч-5х — 41п ~~ = О. 1020. х + т, + агс18(хз — 2т) = О. В задачах 1021 — 1034 начертить на фазовой плоскости траектории данных систем и исследовать особые точки. 2 ,1, 2 1 О 2 2 . у = 4У вЂ” 8. х = 2х+у — 1, 1021. У=Ох — у +1. з.' = 4 — 4х — 2У, 1023. у = ту т, = 2+у — хз 1025. у = 2х(т — д). 1027. х=1 — х — у, у = 2ху. х = 2(х — 1)(д— 1028. у = у' — х'. х=1 — т — у, 1024. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 ~ г ь У=2х. х = хд — 4, 1026. у = (х-4)(у-х). 2), В задачах 1001 — 1020 для данных уравнений начертить траектории на фазовой плоскости.
По чертежу сделать выводы о поведении решений при з — ь +со. 105 г 17. Фазооая плоскость х = (х+у)' — 1, 1029. у = — уг — х+1. х = (2~ — у) — 9, 1030. у=9 — (' — 2у) . х = (2х — д)' — 9. 1031. у = (х — 2у)г — 9. х = хг+у — бх — 8у, 1032. у = х(2д — х+ 5). х' = х — у, г 1033. у = (х — у)(х — д+ 2). т = хг + У вЂ” 5ь 1034. у = (х — 1)(х + 3д — 5). 1035. Вывести уравнение движения маятника без сопротивления.
Для случая, когда все постоянные, входящие в уравнение, равны 1, начертить траектории на фазовой плоскости. Дать физическое истолкование траекториям различных типов. 1036. Вывести уравнение движения маятника с сопротивлением, пропорциональным квадрату скорости. Дать чертеж траекторий на фазовой плоскости. У к в з в н и е.
Воспользоваться чертежом, построенным для задачи 1035. 1037. Вывести уравнение движения маятника, на который действует постоянная сила, равная половине веса маятника и направленная всегда в одну сторону по касательной к дуге окружности, по которой движется маятник. Приннв постоянные 1 и д равными 1, нарисовать траектории полученного уравнения на фазовой плоскости. Какие движения маятника изображаются траекториями различных типов? 1038.
Груз массы т прикреплен к пружине. При отклонении груза на расстояние х пружина действует на него с силой йх, направленной к положению равновесия. Сила трения равна 7" = сопз1 и направлена в сторону, противоположную скорости 107 З 17. сйазоаал п.ааскоспгь груза. При 1 = 0 груз находится на расстоянии Ь от положения равновесия и имеет нулевую скорость. Вывести уравнение движения груза. Приняв т = 2, к = 2, Г" = 1, 6 = бс изобразить движение груза на фазовой плоскости. 1039.
Изобразить на фазовой плоскости малые колебания маятника переменной длины, считая, что при движении маятника вверх его длина равна 1, а при движении вниз равна Е ) й Во сколько раз увеличится амплитуда за одно полное колебание? (Пример: раскачка качелей.) Начертить на фазовой плоскости траектории систем 1040 — 1046, записанных в полярных координатах, и исследовать, имеются ли предельные циклы. 1040.
— 'т = т(1 — тз), с1г 1041. — т = т(т — 1)(т — 2), — = 1. с1г сП вЂ” = 1. сИ 1042. — т = г(1 — т)з, сй 1043. —" = ашт, ~М 1044. — = Ят — 1~ — )т — 2) — 2т+ 3), — = 1. сЬ сМ с1с 1045. — т = г яп —, ог 1046. — = т(1 — т) яп с — = 1. 4 Ф бг 1 — т' Ж 1047'. При каких условиях система — =1, с1сэ сМ Указание.
При малых колебаниях считать агпк к. Изменение длины маятника происходит мгновенно (скачком), прн этом угол отклонения маятника и его момент количества движения относительно осн не испытывают скачков. 108 Д 18. Зависимость решении от начальных условий где функция )(г) непрерывна, имеет предельный цикл? При каких условиях этот цикл устойчив' ? Неустойчив' ? Полуустойчив? 1048*. При каких значениях постоянной а система дуг Ог г — = 1, — = (г — 1)(а+ з!и уь) сМ ' с[1 имеет устойчивый предельный цикл? Неустойчивый? Для уравнений 1049 — 1052 с помощью изоклин построить траектории на фазовой плоскости и исследовать особые точки. По чертежу сделать заключение о поведении решений при 1 — э +со и о возможности существования замкнутых траекторий.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
