book48_3 (1113187), страница 3
Текст из файла (страница 3)
х = 41у~, х(О) = О, найти — * у = 1+ 5рх, у(0) = О; др р=о т. = ту + 12, х(1) = т,о, 1070 з найти д сь=з 2у = — уз, у(1) = уо,' диь иь х = х + у, х(0) = 1+1ь, 1071. найти дх у = 2х+1ьд~, у(0) = — 2; др р=о 1072. т — х = (х+1)з — Рхз; х(0) = зь т(0) = — 1; найти де д р 1073. х = —, — —, х(1) = 1, х(1) = Ь; найти дь ~ Указание. При Ь = 1 решением служит функция х = П В задачах 1074 — 1078 найти 2 — 3 члено разложении решения по степеням малого параметра Ьь 1065. у' = 2х+ руз, у(О) = 1ь — 1; 1066. у' = д + у + тдз, у(2) = до:.
1067. ф = — + 1ч1 е *, х(1) = 1; 1068 о~и = хз+1ь1хз х(О) = 1+дц 1074. д' = 41л — у, д(Ц = 1. 1075. у' = з — 51ьх, у(1) = 2. 1076. ху' = рт' + 1п у, у(1) = 1. найти о " р=о найти -'-~ д "' и;о найти де д р р=а найти д '" р=о З18. Зависимость решения от начальных условий 115 1077. р' = — '." — р', р(1) = 1+ Зд. 1078. у' = ео *+др, р(0) = — дн Для уравнений 10Т9 — 1085 с помощью метода малого параметра (см.
(4), гл. 2, ~ 8) найти приближенно периодические решения с периодом, равным периоду правой части уравнения; д — малый параметр. 1079. х+ Зх = 2з1п1+ 1ьхг. 1080. х + бх = соз 21+ рхг. 1081. х + Зх + хз = 29 сов 1. 1082. с+ хг = 1+ дз|п1. 1083. х+ япх = дяп21. 1084". х+ х = яп31 — зш21+ дхг; найти лишь нулевое приближение. 1085*. х + х = бд яп с — хз В задачах 1086 — 1090 с помощью метода малого параметра (см. (4), гл. 2, ч' 8, п. 4) приближенно найти периодические решения данных уравнений.
1086 й+х — хг О 1087 х+х+хз О 1088. х+япх = О. 1089. х+ х = 1з(1 — хг)х. 1090. х+ х = д(х — тз). В каждой из задач 1091 — 109Т найти в виде степенного рида решение, удовлетворяющее данным начальным условиям. Вычислить несколько первых коэффициентов рнда (до коэффициента при хл включительно). 1091. р' = рг — х; 1092.
р' = х + ~~; 1093. р' = р+ хе"; 1094. р' = 2х + соз р; 1095 р' = хг + рз, р(О) = 1. р(О) =1. р(О) = О. р(О) = О. р(1) = 1. 116 З18. Зависимоснш решения от начальных условий 1096. ун = ху' — дз; 1092. ун = уса+, у(0) = 1, у'(О) = 2. у(0) = 4., у'(О) = -2.
В задачах 1100 — 1109 найти линейно независимые решения каждого из данных уравнений в виде степенных рядов. В тех случаях, когда это легко сделать, сумму полученного ряда выразить с помощью элементарных функций. 1100. ун — хзд = О. 1101. ун — ху' — 2у = О. 1102. (1 — хз)уи — 4ху' — 2у = О. 1108.
(,' ь Црн + б .д'+ Зд = О. 1104. (1 — х)уи — 2у' + у = О. 1105. (хз — х+ 1)ун+ (4х — 2)у'+ 2у = О. 1106. ун — ху'+ ху = О. 1107. уо + двоих = О. 1108. хда + д 1п(1 — х) =- О. 1109. у'о — хуо + (х — 2)у' + у = О. В задачах 1110 — 1116 найти те решения данных уравнений, которые выражаются степенными (или обобщенными степенными) рядами. 1110. хрн -1- 2у'+ ху = О. 1111. 2хзуа + (Зх — 2хз)д' — (х+ 1)у = О.
1098*. Построив мажорирующее уравнение (см. [2), Х 18), оценить снизу радиус сходимости степенного ряда, представлнющего решение уравнения у' = у' — х с начальным условием р(О) =1. 1099*. Оценить, с какой точностью можно получить при ~х~ < 0,2 решение уравнения у' = е" — х~у с начальным условием у(0) = О, если в степенном ряде, представляющем решение, взять только четыре члена (до алх~ включительно). 818. Зависимость решеиия от иачальнмх условий 117 1112 Охгуо (хг 2) у 1113.
хгуо — хгу' + (х, — 2)у = О. 1114. хгуо+ 2ху' — (хг+ 2х+ 2)у = О. 1115. хуи — ху' — у = О. 1116. хуи + у' — ху = О. 1117*. Найти с точностью до 0(хз) при х о О решение уравнения туи+у' — ху = О, линейно независимое с решением, указанным в ответе задачи 1116. В задачах 1118 — 1120 указать, имеют ли данные уравнения решение в виде степенного ряда (или обобщенного степенного ряда). 1118. тгуо+ ту' — (х+ 2)у = О.
1119. хгдо + ху' + (1 — х)д = О. 1120. хгдо + (Зх — 1)у'+ у = О. В задачах 1121 — 1125 найти в виде тригонометрических рндов (см. ]1], гл. Ъ'1, 8 1, п. 3 или [4], гл. 2, 8 7) периодические решения данных уравнений. 1121. уо — Зд = Д(х), г"(х) = ]х] при ]х] < я, 1(х + 2х) = 1(х). 1122. уо + у'+ у = ] япх]. 1123 уо' — у/ д = 2 "пх 5 — 4созх Указание.
Разложение в ряд Фурье правой части уравнения 1123 имеет вид ~ 2 "япох. =ч 1124. уо — ягд = 7(х)., Дх) = х(1 — т) при О ( х ( 1, У( +1) — = У( ) до + Од ~ яп2йх — й' В задачах 1126 — 1129 с помощью метода ломаных Эйлера (с итерацинми или без ннх, см. (4], гл.
1, 8 6, 8 7) найти 118 г 18. Зависимоппь решения от начаньних условий приближенно на указанном отрезке решения данных уравнений с указанными начальными условиями. Вычисления вести с двумя или тремя десятичными знаками после запятой с шагом 6=0,2 или 6=0,1. 1126. у' = уг + т,, 0 < г: < 1; у(0) = 0,3. 1127. д' = 1 + х, О < х < 1; у(0) = 1. 1128.у'= — * — у, 0<х<1; у(0)=1. 1 ( х ( 2; д(1) = О. 1129. у' = В задачах 1130 — 1135 с помощью метода Адамса или Штермера (см.
(4), гл. 1, ~ 7) вычислить приближенно решения написанных ниже уравнений на указанном отрезке. Вычисления вести с тремя знакамн после запятой. Значения решения в начальных точках вычислить с помощью степенного ряда. 1130.у'=у, 0<х<1; у(0)=1. 1131.у'=уг — х, 0<х<1: у(0)=0,5. 1132.у'=1 — х, 0<х<1: у(0)=1. 1133. уг=хг уг, 1<х<2: д(1) =1. 1134.дн=ху, 0<х<1; у(0)=1, у'(0)=0. 1135. хуо + д'+ ху = О, 0 < х, ( 1; у(0) = 1, у'(0) = О. Задачи 1136 — 1140 можно решить, сравнивая наклон поля направлений (определяемого уравнением у' = Г(х, д)) в точках некоторых кривых у = ~р,(х) с наклоном этих кривых.
1136*. Оценить сверху и снизу решение уравнения у' = = 2+ з1пх — уг, 0 ( х < +ос, д(0) = 1. (11а плоскости х, у построить полосу сч < у < /1, из которой не может выйти это решение.) 1137*. Оценить сверху и снизу решение уравнения у' = = 1 + 2х, 0 < х < +ос, у(0) = 1. 1138*. Доказать, что решение уравнения у'=т — уг с начальным условием у(4) = 2 удовлетворяет неравенствам ч/х — 0,07 < у(х) < з/х при 4 < х < оо. 119 319.
Нелинейные системы 1139*. Доказать, что длн решении у(х) уравнения у' = = х — уг с начальным условием р(хо) = ро, где хо ) О, уо Э О, имеем д(х) — ьгх -е 0 при х — г +со. 1140*. Оценить сверху и снизу то периодическое решение уравнения 1г' = 293 — сов' 5х, которое лежит в области у < О. 9 19. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 1.
Систему дифференциальных уравнений люжно свести путем исключения неизвестных к одному уравнению (иногда к нескольким уравнениям с одной неизвестной функцией в каждом). Подробнее см. (1), гл. т'11, 3 1, и. 2, или (4), гл. 3, 3 2. П р и м е р 1. Решить систему уравнений )г+, У х х Решение. Исключаем г из данных уравнений. Из первого уравнения имеем з = зйц Подставляя во второе уравнение, получеем после упрощений хр =(у — ху) . Данная система уравнений (1) приведена к одному уравнению второго порядка.
Это уравнение может быть решено методами, изложенными в 310 (путем понижения порядка). После того как из этого уравнения будет найдено у, следует найти г, пользуясь равенством г = ху . 2. При решении системы уравнений путем исключения неизвестных обычно получается уравнение более высокого порндка, поэтому во многих случанх удобнее решать систему путем отыскания интегрируемых комбинаций (см.
(1), гл. т'11, 3 5, и. 2). П р и м е р 2. Решить систему' (2) Системе (2) записана в симметрической форме. 0 симметрической форме системы дифференциальных уравнений см. (1), гл. тН, 1 5, о. 1, или (4), гл. 3, 5 3. 120 3 19. Нелсьяебяасе систпемы Первые две дроби образуют интегрируемую комбинацию. Сос(з с(У 1 кращая равенство — = — на — и интегрируя получаем первый хг уг г интеграл 1ссаг + агах + ... + Й„о„ Ьгбг -Ь Ьгбг -~-... -1- Ь Ь Пользуясь этим свойством, получаем из (2) с((зу) с(г 4(щу) = — 2г с(г. 2зуг — зу' у Йк -~- з с(у с1г у хг -~- х уг — ху Следовательно, щу -~- г = Сг.
(4) Очевидно, первый интеграл (3) и первый интеграл (4) независимы. Система решена. Вместо того чтобы искать вторую интегрируемую комбинацию,можно., воспользовавшись знанием первого интеграла (3), .исключить из системы (2) одно из неизвестных, например, х. Из (3) имеем т = Сгу. Подставлян во второе из уравнений (2), получаем с1У г г г г. Отсюда — Саус(у = гс(г; г = — Ссу + Сг. Подставуг ляя сюда выражение дли Сг из формулы (3), находим еще один первый интеграл: гг -~- зу = Сг. В задачах 1141 — 1160 решить данные системы уравнений.
1141. д' = — *, а г 1142. у' = —,У вЂ”, з' = д+ 1. 1143. у' = — ' й' е(х — Ц 1144. д' = дгз, г' = -', — дзг. 1145. 2зу' = дг — ге+ 1, г' = з+ у. гО первых интегралах см. (1), гл. УП, 1 4 или (3), 1 23. -*=С,. (3) у Чтобы найти вторую интегрируемую комбинацию, воспользуемся следующим свойством равных дробей: если -"г- = аз = ...
= га = сч ьг ь„ = й то при любых Ьс, Ьг, ..., Уп имеем г 19. Нелинейные системы 1146. ге †р х 1147. — ' — ар ит аха р х 1149. их ер е хере» х р. 1150. ах = ех х ан р ех — — р 1152. ах = а~х — ав хх р 1154. е = ал их х р хр-Гх 1155. '* = Ф их хи,/, г.). г . 115'Т. «' ар е, х(ртх) х)х 1159. е ер их рЬ х) рг — хх ' 1160. ех ар ) Р)х'г '-хг) «9 '2~рг) ° 1165 для данных систем д фф альных уравнений и данных функций ег проверить, являются ли соотношения 1с = С первыми интегралами этих систем. ргг = ш — су.
, г 1162. х = ху, у = тг+ уг; сед — — т)пу — игу; 'Рг = Рт — 21пги 1163. — "' = ех — а й У х х 122 З20. Уравнения в пастнаах производных первого порядка 1164. Проверить, явлнютсн ли независимыми первые интегралы Я = Сы Р -и = Сз системы 1165*. Доказать, что в области, содержащей особую точку типа узла или фокуса, для системы а)* Йу — = Р( и) — = 9(х у) ЙЬ ' ' сМ не может существовать первого интеграла вида ~р(х, д) = С с непрерывной функцией р, ао,с=сопз1 в сколь угодно малой окрестности особой точки. 1166.
Пусть уз(Ь, х, у) = Сы аоз(Ь, х, у) = Сз — — первые интегралы системы ва = Л(Ь, т, У), зза = = Ь(Ь х У)' фУнкЦии (ы рз и их пеРвые пРоизводные по х, д непРеРывны. Пусть в пространстве Ь, х, у поверхности ~рз(Ь, х, д) = 1, аоз(Ь, х, д) = 2 имеют только одну общую линию (т. е. пересекаются или касаются друг друга по этой линии). Доказать, что зта линия нвляется интегральной кривой данной системы. 2 20. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1. Чтобы решить уравнение в частных производных дх дх аа — -ь ... +а„, =Ь, ха хь где аы ..., а , Ь зависят от хм ...,х , х, надо написать систему обыкновенных дифференциальных уравнений йхд аз и найти п независимых первых интегралов этой системы З,(х„..., х.. г) = С„~ ао„(хы ..., х„, х) = Св. 320.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
