book48_3 (1113187), страница 2
Текст из файла (страница 2)
1049. х+ хе — х+ х = О. 1050 х+ (тг 1)х+х = 0 1051. х + т — 2 агс18 х, + х = О. 1052. х. + 2* — х + х = О. 1053*. Для уравнения х + 2ах — Ьзяпх + х = 0 (О < и < 1, Ь > 0) построить траектории на фазовой плоскости и найти точки, в которых предельный цикл пересекает ось Ох. Указание. Найти зависимость между абсцнссамн двух последовательных пересечений траектории с осью Ох. 1054. Показать, что уравнение х+Г(х)+х = О, где функция Е непрерывна и К(у) > 0 при у > О, г'(д) < 0 при у < О, не может иметь предельных циклов на фазовой плоскости.
Указание. Исследовать знак полной производной аь(х -~-у ). 1055*. Пусть ?(х, у) н Д, ?„' непрерывны, ?(О, 0) < О, а при хг -Ь дг > Ьг имеем 1(х, 9) > О. Доказать, что уравнение х+?(х, х)х+ х = 0 имеет периодическое решение х(1) ф О. Указание. Перейти на фазовую плоскость и исследовать знак полной производной а,(хг ф у ). Построить кольцо, нз которого не может выйти нн одна траектория. Применить теорему 21 нз [3). Ц18. Зависимость решения от начальных условий 109 9 18. ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЯ ОТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ И ПАРАМЕТРОВ. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1.
Рассмотрим систему в векторной записи — = У(с, х), с1х сП ЦУ(1, у) — У(1 )Ц < ЛЦу— (2) Через Ц Ц обозначается любая из обычно применяемых норм век- Ц*Ц = ьсЦ Р -ь . + ~*-Р ЦхЦ=~'~-ь .. -ь1х.! или ЦхЦ = шах )х;Ц ,=ь...,.. * Пусть х(1) — решение системы (1), а у(1) — вектор-функция, удовлетворяющая неравенствам — — а'(1, у) ( и, Цу(0) — х(0)Ц ( б. Тогда имеет место оценка Цх(1) — у(1) Ц ( б еып + — (еьщ — 1) . (2) Это неравенство можно применять для грубой оценки ошибки приближенного решении у(1) системы (1), а также длн оценки сверху разности решения х(1) системы (1) и решения у(1) системы аль = у(1, у), если Цу(1, у) — Г(1, у)Ц < у. 2. Если в системе уравнений йх, и — = Р,(1, тп, ..., х„, р), с = 1, ..., и гЕсли в выпуклой по х области имеем ~ — "~ < о (1, 1 = 1, ..., и).
то оГ в*, е *той области выполнено условие Липшица с Ь = па. где х = (хм ..., х„), 1 = (А, ..., Г„). Пусть в рассматриваемой области вектор-функция Г непрерывна по 1, х и удовлетворяет усло- вию Лившица' по х 1!О З18. Зависимость решения от начальных условий с начальными условиями (б) х;(0)=ан(р), ь=1, ....,п р является параметром, функции 7, и а, (ь = 1, ..., п) непрерывны и имеют непрерывные производные по хы ..., т„, р, то решение имеет непрерывную производную по параметру р. Производные — -' = оп ь = 1, ..., п, удовлетворяют линейной системе уравнений Ои " аУ. аУс (б) и начальным условиям о;(0) = а',(р), с = 1, ..., и, Значении производных в,( н вс в формуле (б) берутсн при хь = хс(1), ..., х = х (1), где хь (1), ..., х„(1) -- решение системы (4) с начальными условиями (б).
В частности, если положить аь(р) = рь а,(р) = сонэ! при ( ~ (с и считать, что все функции 7ы ..., 7' не зависят от р, то из предыдущего утверждения будет следовать, что для системы (4) с начальными условиями х;(0) = а„ь = 1, ..., и производные в'ь = = оь (! = 1, ..., и) от компонент решения хы ..., х„по начальному условию аь существуют и удовлетворяют системе уравнений Ф дту и начальным условиям и;(0) = 0 при с ф (с, оь(0) = 1. 3. Если в (4) н (б) функции 7, н а, имеют непрерывные производные по хп ..., хн, р (вблиэи значения р = 0) до порядка т включительно, то решение тоже имеет непрерывные производные по р до порядка т, и, следовательно, разлагается по степеням параметра р по формуле Тейлора: х(1) = ио(с) Ч- риг(1) .~- р из(1) -~- ° ° .
+ р от(1) -~- о(р ). (7) Здесь х и и, — и-мерные вектор-функции. Чтобы найти функции и,(1), можно разложить правые части в (4) и (б) по степеням р, подставить туда разложение (7) и приравннть коэффициенты при одинаковых степенях р. Получим систему дифференциальных уравнений, нз которой последовательно определяются оо(1), иг(1), ... В случае, когда 7ь и а, — аналитические функции от хы ... ..., х ., р, решение х(1) разлагается в сходящийсн прн малых р степенной рнд по р (в силу теоремы об аналитической зависимости З 18.
Зависимость решения от начальных условий 111 решения от параметра, см. (4), гл. 1, З 6). Коэффициенты этого ряда совпадают с коэффициентами разложении (7). Изложенный метод можно использовать для отыскания решения дифференциального уравнении при малых д в тех случаях, когда при р = О уравнение решается известными методами. П р н мер. Разложить по степеням параметра р решение задачи х=х +2дг, х(1) = — 1.
(8) Ищем решение в виде х(1) = оо(1) + дог(1) + д~ог(1) + ... Подставляя это в (8) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях д, получаем систему г~о = г'о~ г оо(1) = — 1, бг = 2еоог + 21 ', оз(1) = О, ог = 2ооог -~- ог, ог(1) = О, Из первого уравнения и начального условия находим ов(1) = — 1 — 1 Подставлня это во второе уравнение, получаем оз = -21 ог ж 21 , ез(1) = О. Отсюда гц(1) =1 — 1 '. Подставляя найденные оо и ог в третье уравнение, получаем Ог = — 21 ег -~- (1 — 1 ), ог(1) = О. Решив это линейное уравнение и воспользовавшись начальным условием, найдем ог(1) = — — —, ф 17г — -,т.
Следовательно, решег г е 1 ние задачи (8) имеет вид 1 / 11 /1 2 8 11 х(1) = — — фр(1 — — ) фр ( — — — ф — — — ) фо(р ). бг) 18 1 31г гз) Это разложение можно продолжить дальше тем же способом. Аналогичным методам можно получать разложения по степеням параметра периодических решений нелинейных уравнений, в частности, уравнений вида х-Ьагх =дя, х, х, 1г), (9) где функции 7' периодическая по й Переходить от уравнения 2-го порядка к системе при этом ненужно.
Произвольные постоянные, 112 218. Зависимость решения от начальных условий возникаюЩие пРи отыскании оо(1), ог(г), ..., опРеДелЯютсн Уже не из начальных условий, а из условий периодичности (см. [4), гл. 2, з 8). В слУчае, когда пРаван часть (9) не зависит от гг пеРиод Решения х(1) заранее не известен. Тогда в уравнении (9) надо перейти от г к новому независимому переменному т = 1(1+ Ь д+ Ьгр + ... ) и искать решения х(г) периода 2я,га.
Коэффициент Ьг обычно определяется из условия существования периодического решения для иг(т), и т.д. (см. [4), гл. 2, З 8). 4. Если функция г(х, у) в окрестности точки (хо, уо) аналитическая, т. е. разлагается в ряд по степеннм (х — хо) и (у — уо), то решение уравнения у = 1(х., у) с начальным условием у(хо) = = уо тоже является аналитической функцией, т. е. разлагается в степенной рнд в окрестности точки то (см. [2), З 18 и [1], гл. П, З 1, п. 6).
Аналогичное утверждение справедливо длн уравнении у~"~ = Дх, у, у', ..., у~ О) с начальными условиями у(хо) = уо, у'(хо) = уо, ", у'" О(хо) = у,'" ~. П р и м е р. Найти в виде рида решение уравнения угг = хуг — у' с начальными условиями у(0) = 2, у'(0) = 1. Ищем решение в виде ряда у = аз+ агх-Ь ага -~- ... = 2+ х-'; агх жазх + ..., (10) так как из начальных условий следует, что ао = 2, аг = 1. Под- ставляя ряд в дифференциальное уравнение, получаем 2аг+базх+12ачх +... =х(2+х+агх +... ) — 1 — 2агх — балх —... е г г г Представляя правую часть в виде степенного ряда и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях уравне- ния, получаем 2аг = — 1, баз = 4 — 2аг, 12ач = 4 — Заз, ...
Отсюда находим 1 аг = —, 8' 1 аг = —— 2 Следовательно, аз = —, 6 1 г 5 з 1 4 у=2нх — — х + — х + — х + 2 6 8 5. Для уравнения ро(х)у~ ~+рг(х)у~ ~ + ... +р„(х)у = О, (1Ц у которого все р,(х) аналитические в окрестности точки х = 0 и ро(хо) = О, т. е.коэффициент при старшей производной обращается в нуль в точке хо, решений в виде степенного ряда может не З 18. Зависимосшь решения от начальных условий 113 существовать. В этом случае могут существовать решения в виде обобщенных степенных рядов ао(т — хо) шаг(х — хо) -г аг(х — хо) + ... (12) где число г не обязательно целое (см. [1), гл.
ч"1, З 2, и. 2, или [4), гл. 2, З 7). Чтобы их найти, надо подставить ряд (12) в уравнение (1Ц и, приравняв коэффициенты при наименьшей степени (л — хо), найти возможные значения показателя г, а затем для каждого из этих значений г определить коэффициенты а;. 1056. Оценить, на сколько может измениться при 0 < х < 1 решение уравнения у' = х+ вшу с начальным условием у(0) = до = О, если число да изменить меньше, чем на 0,01. 1057. Оценить, на сколько может измениться при 0 < 1 < Т решение уравнения маятника х+ шп х = 0 с начальными условиями х(0) = О, х(0) = О, если в правую часть уравнения добавить такую функцию иг(1), что [иг(1)[ < 0,1 (т. е.
если приложить некоторую внешнюю силу). 1058. Чтобы приближенно найти решение уравнения х+ з1пх = О, его заменили уравнением х + х = О. Оценить при 0 < 1 < 2 возникающую от этого ошибку в решении с начальными условиями х(0) = 0,25, х(0) = О, если известно, что [х — вшх[ < 0,003 при [х[ < 0,25. В задачах 1059 — 1063 оценить ошибку приближенного решения на указанном отрезке. 1059.
д' = — ' — го, у(0) =1; у= 1 — $, [х[< — '. 1060. х=х — у, у=йх, х(0) =1, д(0) =0: х = 1 + 1+ — ', у = г— , [1[ < Ог1. 1061. уо — х у=О, у(О) =1,у'(О) =О; 1)=с*1 [х[ < 0,5. 1062. д' = 1 + х, у(0) = 1; у = 1+ х, 0 < х < 1г. 1063. у' = 2хуг + 1, д(0) = 1; у = „~, [х[ < г. Указание. Сначала выделить ограниченную область, в которой содержится приближенное решение д и, предположительна, точное решение у. Для этой области оценить постоянную в условии 114 818.
Заеисилсость решения от яачолъиььх условий Лившица, затем оценить !у — уЬ С помощью втой оценки проверить, содержится яи д в выделенной области. В задачах 1064 — 1073 найти производные по параметру или по начальным условиям от решений данных уравнений и систем. 1064. у' = у+ 1ь(х+ уз), д(О) = 1; найти Ьд~ ар~к=о 1069.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
