book48_3 (1113187), страница 6
Текст из файла (страница 6)
уи — 21у = 8 ее сов х. 75. уи — 2гу' — у = 4 а|их. 76. уи+ 41у' — бу = ее сов 2х. 77. д'и+ 8ед = а1пхсовх. 2. Периодические и ограниченные решения Имеют ли уравнении 78 — 80 периодические решения? 78. р'и + у = соа С З 23. Линеана~е уравнения и системы 79 х+х= (з1п-„) . 80.
х — 2х, = 8 зшз?. 81. При каких ы Е В существует периодическое решение уравнения 'х' + 4х = 2 сов еи1? 82. При каких целых 6 и с уравнение дн'+ Ьзу' = япх+ + сяп т не имеет периодических решений'? 83. а) При каких ы6Л уравнение уйй+4ди'+4у' = созы1 не имеет периодических решений? б) Найти все периодические решения в случае ш = 3.
84. Найти периодическое решение уравнения х+ с+25х = япый Нарисовать график его амплитуды как функцию от ы. 85. При каких целых а уравнение да + азу = зш4х соз 2х а) не имеет решений с периодом я? б)* имеет только одно решение с периодом я? 86*. Те же вопросы для уравнении да + (а — 1)(а — 2)д'+ а у = яп2х. Для каждого из уравнений 87 и 88 выяснить, при каких а Е Л все решении этого уравнения не ограничены при — со < 1 < оо. 87 т', + ах ч!пз е 88.
'х' + т = соз ат. 89. При каких а Е Л хотя бы одно решение уравнения ун'+ ди — 2у' = е'~+ з1п2а1 ограничено при 1 > О? 90. Тот же вопрос длн уравнения у'и + азу' = созассоз2г. 91. Найти все значения а, о и?1, при которых задача У вЂ” 2х+ 5х = ае соя 21 — 1?зш21, х(0) = о, х(0) =?? имеет решение, ограниченное при 1 > О. я 23.
Линейные ураененил и системы 3. Системы уравнений Решить системы 93 — 95. х'=у+х — 4, 93. ~ ~ ~ ~ ~ ~ г У=ЗУ вЂ” х. х = — бу, 94. у = 2х+ 2у. 95. ( х=з — х — у у = х — у — л~ л =о, Лз з — -1. 96. При каких матрицах А все вещественные решения системы х = Ах выражаются тояько через синусы, косинусы и константы? 97. Для одного частного решения системы х = Ах известна только первая координата: хг = с~ + Гсбпу. Каким может быть порядок матрицы А? 98. Найти фундаментальную матрицу системы х = Ах, /егот где А = гг е о о ), нормированную при Ь = О.
ггогг'' 99. Доказать, что для системы х = Ах с вещественной кососимметрической матрицей А нормированная при г = 0 фундаментальная матрица при каждом г является ортогональной. 100. Найти все вещественные периодические решения системы х = 2у — х+ 2 соя с, у = 4У вЂ” 2х+ соя г. 101. Найти решение с периодом л системы х = х — у, у = 2х — у+ бяш г. 92. Пусть х = гр(~) и х = уцг) — решения уравнения 'х' — х+ 4х — 4х = 0 с начальными условиями уг(0) = и, грг(0) = Ь, гргг(0) = с; ф(я) = о, юг(н) = гг, угн(к) = т. Указать какие-нибудь числовые значения и, Ь, с, сг, г), у так, чтобы гр(Ц и ф(Г) были периодическими и линейно независимыми.
140 я 23. Литейные уравнения и систелы 102. а) Найти все вещественные периодические решения системы х = х — д+ Зя1п21, д = 2х — д. б) Найти все решения с периодом я. 103. При каких а система х = д+ я1п2с, д = — 4х+ и соя 21 имеет периодическое решение? 104. Для каких вещественных чисел а и б все решения системы т, = 2д — 4х + а, д = 2х — д + Ь ограничены при 1 > О? 105. Для каких матриц А каждое решение системы т = Ах ограничено при — оо < ~ < со. 4.
Показательная функция матрицы 106. Сформулировать свойства показательной функции матрицы. В задачах 107 — 110 найти се~ . 107. А= . 108. А= 109.А= О О 0 . 110.А= О 2 О 111. Найти вектор ерл б, если А=(1 ),Ь=(). В задачах 112 — 114 а) не вычисляя матрицу е'л, найти ее детерминант и собственные значения; 141 5 23. Линейние уравнения и системи б) найти еел . 112. А = 113. А = 114. А = О О 115. А = 0 0 1 . Найти с1ех( е'~ с??.
0 1 0 о 116. Нри каких матрицах А имеем е'л — ~ 0 при? — ~ +со? 117. Найти фундаментальную матрицу системы х 5 Ах. 118. Если А -- такая матрица, что ев = Е, то обнзательно ли А=О? 119*. Что можно сказать о жордановой форме матрицы А, если 5 есл ~ ' 1з?5Аьт ь=о 120*. Если при всех ? матрица есл симметрическая, то обязательно лн матрица А симметрическая? 121*.
Если е'л е'и = ейл+в>, то обязательно ли АВ = ВА? 122*. Если матрица е'л ортогональная при каждом 1Е Н, то обязательно ли А* = -А? 5. Линейные системы с периодическими коэффициентами 123. Что называется мультипликатором системы х = А(?)х с периодической матрицей А(?)? 124. Какому условию должны удовлетворять мультипликаторы линейной системы для того, чтобы все ее решения стремились к нулю при? -5 +со? 125. Найти мультипликатор длн уравнения х = (о + +сйп 1)х.
142 З 24. Устоачиеоста 126*. При каких значениях параметра а Е В уравнение т. = (а+ з1п 1)а+ 1 имеет ровно одно периодическое решение? 127'. Пусть матрица А(Ц имеет период Т, и ~~А(Ц~~ < а при всех й Доказать, что для системы х = А(г)т модули мультипликаторов не превосходят еаг . 3 24. УСТОЙЧИВОСТЬ 1. Теоретические вопросы 128. Дать определение устойчивости по Ляпунову. 129.
Сформулировать и доказать теорему об устойчивости при наличии функции Ляпунова о(ж). 130. Сформулировать теорему об устойчивости по первому приближению. 131. Сформулировать необходимые и достаточные условия устойчивости по Ляпунову нулевого решения системы х = Ах (ж е Л", матрица А постоянная). 132. Доказать, что если одно решение линейной системы устойчиво, то устойчиво каждое решение этой системы. 133. Какому необходимому и достаточному условию должна удовлетворять матрица А, чтобы для любой непрерывной функции 6(1) каждое решение системы т = Аж+ 6(~) было устойчивым по Ляпунову? 134.
а) При каких матрицах А система х = Аш имеет более одного положения равновесин? б) При кавих дополнительных предположениях все эти положения равновесия устойчивы? 135. Система х = Ат, где ш Е ггз, А — постоянная матрица, имеет частное решение, у которого известна только первая координата: жг = е '+ сов д Устойчиво ли нулевое решение? 136. Система т, = Аш (ж Е тт~) имеет частное решение, у которого известны только две координаты: тг —— згп 1 + 2 соз1, аз = сов 2~. Устойчиво ли нулевое решение? 137. Если для системы лг = Ат (т 6 Л") нулевое решение неустойчиво, то обязательно ли оно неустойчиво для каждой системы вида х = Аж + у(ш), где ~д(ж) Е Сг, д(т) = оцх~) при ш — ~ О? 143 З 24. Устпойчивость 2.
Исследование устойчивости конкретных систем Для уравнений 139 †1 и систем 145 †1 найти положения равновесия и исследовать их на устойчивость. 139. х = — хл. 141. х = — хзшз х. 143. х = х зш й 145. х=у, у= — хз. 140. х = злпх — х. 142. х = — хелп 1.
144. х = лл~ 146. х = у, у = Зхз — 2х. 142. *' = д †. + ~д — х) з, у = 0. В задачах 148 — 155 выяснить, при каких значениях параметра а нулевое решение является а) асимптотически устойчивым; б) устойчивым, но не асимптотически; в) неустойчивым. 148. ( 148. ( 188. ( 181. 184. — ад — х — а х. з ах+ д+ (а+ 1)хз, х+ ау.
ах+ а злпд, 151. ~ ах — а д. 153. ау — фй х. Х = У1 д = — х(1+х~) — ад. х = Зу — ау, д = 2х + (2 — а)д. д — ах — у 3 3 — (а+ 1)х — ау. 138*. Пусть ~(1, х) Е Сл, х Е лл" и пусть разность каждых двух решений уравнения х = Я, х) стремится к нулю при 1 — ~ +со.
Следует ли отсюда при каком-либо н, что всякое решение етого уравнения асимптотически устойчиво2 Ь 25. Фавовая плоскость х = — их+ (а — 1)у, 155. у=х+ау . 156. е) При каких а Е Л существуют ограниченные при — оо < 1 < оо решения системы х, = 2у — 4х+1, у = 2х — у+ и. Найти все такие решении. б) Устойчивы ли они? 157. Устойчиво ли решение системы х=х — у, д=2х — у+6вш с, имеющее период я? В задачах 158 — 160 я) найти все значении параметра и Е Л, при которых все решения уравнения неограничены при Ь > 0 (не требуется отыскивать решения); б) выяснить, являются ли эти решения устойчивыми или есимптотически устойчивыми.
158. х + ах = вьп с. 159. 'х' + х = соз ис. 160. т + ах. = сов а1. В 25. ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ 1. Траектории линейных систем 161. При каких соотношениях между коэффициентами оо Ь, с., 4 особая точка системы х = ах+ Ьу, у = ох+ ду нвляется я) седлом, б) узлом? 162. При каких а, Ь, с, д для каждого решения системы х = ах + Ьд, у = сх + сЬу полярный угол точки (х(?), у(2)) возрастает при увеличении Ь? В задачах 163 — 165 определить тип особой точки и нарисовать траектории системы на плоскости х, у. 145 Ь 25. Фавовая плоскость я = я+Зу, лс=х — бу, 163.. 164.
~, ~ ~ ~ ~ с ~ ~ ~> ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ г ~ ~ ) ! у=5у — я. ( у = бт — 5д. я=у+я — 4, 165. у =Зу — хь 166. При каких а особая точка системы т = а(т + у), у = азу является седлом? 167. а) Может ли траектория системы т=2у — х, у=За — 2у из точки ( — а — 1, — 1) попасть в точку (1, аз + 1)? б) Устойчиво ли положение равновесия'? 168. а) определить тип особой точки и нарисовать траектории системы д — Ьу+ я я = аж — у, при а=-2, Ь= -3. б) На плоскости параметров а, Ь указать такую область, что при любых (о, Ь) из этой области вторая компонента д(Ь) любого решенин указанной выше системы имеет бесконечно много нулей при 1 > О. 169. Рассматривается система лс = азж — у, у = 5х — (3+ 2а)у. а) Будет ли нулевое решение системы при а = 1 асимптотически устойчивым? Обосновать ответ. б) Нарисовать траектории системы при а = -3. в) Существует ли такое значение а Е Л, при котором траектории замкнутые кривые? В задачах 170 †1 исследовать а) при каких значениях параметра а Е Й нулевое решение асимптотически устойчиво и при каких — устойчиво: б) при каких значениях параметра а Е?? особая точка— седло? узел? фокус? в) при указанном значении а дать чертеж траекторий.
146 З 25. Фазовая плоскость х=х+ау, 170. ' а = —. у = ах+у:, х= от,+у, 171. ' а=1. у = ау — (2а+ 1)х. х = 2ах+у, а = 1. у = ау — 2ах: х = х+ (2 — а)у, 1ТЗ. ' а 4 у = ах — Зу; 2. Траектории нелинейных систем 174. Найти и нарисовать траектории системы х=х — Зху у=Зх у — у. 1ТЗ. Имеет ли уравнение т, + хь = 0 ненулевые решения, определенные при — со < 1 < оо? 176. Имеются ли у уравнения х = 4х — 4тз неограниченные решения? 177. Перейти от уравнения х+ ах+ х — хз = 0 к автономной системе двух уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
