book48_2 (А.Ф. Филиппов - сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF)), страница 4

Пусть в задаче 733 предел с конечный. Доказать, что ܄— » В > О при п — ~ оо (в обозначениях задачи Т35). 737*. Заменой независимого переменного г = ус(з:) привести УРавнение Ц х —,",— с — — О к видУ а,т + Ь(с) ал х д = О, затем избавиться от первой производной заменой д = а(1)и. (Это преобразование называетсн преобразованием Лиувилля.

Во многих случаях оно позволяет привести уравнение дн + + ц(х)д = 0 к уравнению аналогичного вида, но с «почти постоянным» (слабо меннющимися на интервале (го, оо)) коэффициентом при д. Это облегчает исследование асимптотического поведения решения при х » со.) 3 13. Краевые задачи 749*. уи — 4хгу = О. 750'. хуи + у = О. 3 13. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 1. Длн отыскания решения краевой задачи ое(х)пв -'г ог(х)У' -г ог(х)У = зг(х), хо < х < <хг, (1) ау'(хо) -~- ггу(хо) = О, уу'(хг) -~- ду(хг) = О (2) надо подставить общее решение уравнения (1) в краевые условия (2) и из этих условий определить (если это возможно) значения произвольных постоянных, входящих в формулу общего решения.

В отличие от задачи с начальными условиями (задачи Коши), краевая задача не всегда имеет решение. 2. Функцией Грина краевой задачи (1), (2) называется функция С(х, в), определенная при хв < х < хг, хе < в < хг, и при каждом фиксированном в из отрезка (хо, хг] обладающая свойствами (как функция от и): 1) при т ф в она удовлетворяет уравнению оо(х)Ув -~-ог(х)1з' зг ог(х)У = О;. (3) 2) при х = хо и х = хг она удовлетворяет заданным краевым условиям (2); 3) при х = в она непрерывна по х, а ее производная по х имеет скачок, равный 1/оо(в), т. е.

С(в-~-О, в) = С(в — О, в), С',~ = С', .~- . (4) *~*=зчо ' *=,-о ое(в) Чтобы найти функцию Грина краевой задачи (1), (2), надо найти два решения уг(х) и уг(х) (отличныл от у(х) = О) уравнения (3), удовлетворяющие соответственно первому и второму из краевых условий (2). Если дг (х) не удовлетворнет сразу обоим краевым условинм, то функция!'рина существует и ее можно искать в виде оуг(х) (хв < х < е), С(х, в) = Ьуг(х) (в < х < хг).

Функции о и Ь зависят от я и определяются из требования, чтобы функция (Ц удовлетворяла условиям (4), т. е. Ьуг(в) = уг(в), Ьуг(в) = иуг(в) + — . г 1 ое(в)' 72 3 13. ораеоые задачи 3. Если функция Грина С(х, о) существует, то решение краевой задачи (1), (2) выражается формулой 4. Собственным значением задачи ао(х)уи ф аз(т)у' ф аз(х)у = Лу, (6) оу'(хо) -~- (зу(хо) = О., уу'(хз) -~- дзуз(хз) = О (7) называется такое число Л, при котором уравнение (6) имеет решение у(х) з~О, удовлетворяющее краевым условиям (7). Это решение у(х) называется собственной функцией.

Найти решения уравнений 751 †7, удовлетворяющие указанным краевым условиям. 751. уи — у = 2х: у(0) = О, у(1) = — 1. 752. уи+ у' = 1: у'(О) = О, д(1) = 1. 753. уи — у' = 0; у(0) = — 1., у'(1) — у(1) = 2. 754. уи + у = 1, д(0) = О, у ® = О. 755. уи + у = 1; у(0) = О, у(л) = О. 756. уи+ у = 2х — л; д(0) = О, у(зг) = О. 757. уи — у' — 2у = 0; у'(0) = 2, у(+ос) = О. 758.

уи — у = 1: у(0) = О, у(х) ограничено при х — > +ос. 759. уи — 2(у = 0; у(0) = — 1, у(+со) = О. 760. хода — Оу = 0; у(0) ограничено, д(1) = 2. 761. хада — 2ху'+ 2д = 0: у(х) = о(х) при х о О, у(1) = 3. 762. ходи+ 5ху'+ Зу = 0; у'(1) = 3, у(х) = 0(х з) при х о +со.

763*. При каких а краевая задача уи + ау = 1, у(0) = О, у(1) = 0 не имеет решений' ! З13. Лраееые задачи 73 Для каждой из краевых задач 764 — 779 построить функцию Грина. 764. уи = «(х); у(0) = О, у(1) = О. 765. уа + у = «(х); у'(0) = О, у(к) = О. 766. да+ у' = «(х); у(0) = О, у'(1) = О. 767. да — у = «(х):, у'(0) = О, д'(2) +у(2) = О. 768*. да+ у = «(х); д(0) = у(зт)., у'(О) = у'(и). 760.

хзуп+ 2хд' = «(х); у(1) = О, у'(3) = О. 770., да — д' = «( .); д'(1) = О, у(2) = О. 771. хада — 2у = «(х); у(1) = О., у(2) + 2у'(2) = О. 772. уа = «(х); у(0) =О, у(х) ограничено при х — т +со. 773. уа+ у' = «(х); д'(0) = О, у(+со) = О. 774. хуа+ у' = «(х); у(1) = О, у(х) ограничено при х — т +ос. 775. да + 4у'+ Зу = «(х); у(0) = О, у(х) = 0(е зе) при х -++ос. 776.

тзуа+ ту' — у = «(х); у(1) = О, у(х) ограничено при х — т +ос. 777. хауп+ 2ху' — 2у = «(т); у(0) ограничено, д(1) = О. Т78. да — у = «(х), д(х) ограничено при х — т хсо. ТТО. хзуа — 2у = «(х), у(х) ограничено при х т 0 и при х — т +ос. 780. При каких а, существует функция Грина краевой задачи уп + ау = «(х), у(0) = О, у(1) = О? 781*. Оценить сверху и снизу решение задачи хада + + 2ху' — 2у = «(х), у(х) ограничено при х — т 0 и х — т +со, и его первую производную, если известно, что 0 < «(х) < тп. Указание. Записать решение с помощью функции Грина. 74 З14. г7инейнъге системы с постоянными коэффициентами В задачах 782 — 785 найти собственные значения и собственные функции. В 14. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1.

Путем исключения неизвестных систему, вообще говоря, молсна свести к уравнению более высокого порядка с одной неизвестной функцией (съь ~1), гл. ЛГИ, З 1, п. 2 или ~4], гл. 3, З 2). Этот способ удобен для решения лишь несложных систем. Пример. Решить систему ф = у+ 1, д = 2е' — к. Исключаем у. Из первого уравнения имеем у = л — 1. Подставлян во второе уравнение, получаем г. = 2е' — к. Решив это уравнение второго порядка (методами З 11), найдем а = Сг соз1+ Сг ашз+ е'. Значит, у = т — 1 = — Сг шп1 + Сг соъ 1 + е' — 1. 2.

Для решения системы (где с означает ф) Е йг = иылг+ ... +аг аю ф =а гаг~- . фа к., или, в векторной записи, к = Аа, где а — - вектор, А — матрица: надо найти корни характеристического уравнения ои — Л аш .. иг„ огг агг — Л ... иг„ (2) а„— Л а„г а г 782. ун = Лд; 788. дн = Лу; 784. уо = Лу; 785. шхун = Лу: д<о) = о, д'(о) = о, ~(П) = П, д(1) = О, у(Ц =о. у'<ю) = о. у'<1) = О. у1а) = 0 (а ) 1).

214. Линейные системы с постоянными коэуфиниентажи 75 < хз (ад-Ьс+ +Им — ™)е х =(р-~-41-~- ... -Рл1 )е (3) Чтобы найти коэффициенты о, Ь, ..., л, надо подставить решение (3) в систему (1). Приравняв коэффициенты подобных членов в левой и правой частях уравнений, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно а, Ь, ..., в. Надо найти общее решение этой системы. Коэффициенты а, Ь, ..., з должны занисеть от й произвольных постоянных, где й — кратность корня Л.

Найдя для каждого Л решении указанного вида и сложив их, получим общее решение системы (1). П р и м е р. Решить систему х = 2х + у+», у = — 2х — », » = 2х + у + 2». (4) Составляем и решаем характеристическое уравнение 2 — Л 1 — 2 — Л 2 1 — 1 =О, 2 — Л Л вЂ” 4Л -~-5Л вЂ” 2 = О, Лз = 2, Лг = Лз = 1. Для простого корня Лз=2 находим собственный вектор (гс, Д, 7), решая систему Е Д-~-7=0, -2ы — 2Д вЂ” 7 = О, 2ы+ О= О (6) гй случве Ь < 3 число Ь вЂ” гп нельзл уменьшить, а в случае Ь > 4 иногда можно, если известна жордвнава форма матрицы А. Каждому простому корню Л, характеристического уравнения соответствует решение С,н'е~'~, где С; — произвольнвя постоянная, и' — собственный вектор матрицы А, соответствующий этому Л,.

Если для кратного корня Л имеетсн столько линейно независимых собственных векторов и", ..., и", какова его кратность., то ему соответствует решение Сзозем + ... -р Сл о~с~~. Если для корня Л кратности Ь имеется только т линейно независимых собственных векторов, и т ( Ь, то решение, соответствующее этому Л, можно искать в виде произведения многочлена степени Й вЂ” ггз на е, т.

е. в виде 76 З14. Линейные системы с иостоянными коэффициентами (коэффициенты этой системы равны элементам детерминанта (5) при Л = 2). Из (6) находим 2о = — 11 = 7. Значит, вектор (1, — 2, 2) — собственный, и з=е, у=-2е, з=2е (7) — частное решение системы (4). Для кратного корин Л = 1 сначала определим число линейно независимых собственных векторов. При Л = 1 из (5) получаем матрицу — 2 — 1 — 1 Ее порядок и = 3, ранг г = 2. Число линейно независимых собственных векторов равно т = п — г = 1. Корень Л = 1 имеет кратность й = 2. Так как й > га, то решение надо искать в виде произведении многочлена степени й — т = 1 на е , т.

е. в виде м г = (а ф ЬС)е', у = (с-~-гд)е', з = (7" 484)е'. (8) Чтобы найти коэффициенты а, Ь, ..., подставляем (8) в систему (4) и приравниваем коэффициенты при подобных членах. Получаем систему 6+4+8=0, 6= а+с+ 7, — 26 — г7 — 8= О, г(= — 2а — с — 7', 26 фг7-~-~,"= О, 8= 2а+ с+ У. (9) Найдем общее решение этой системы.

Из двух левых уравнений имеем 6 = О, 8 = — 4. Подставлян это в остальные уравнения, получаем 0 = а+ с+ 7', 4 = — 2а — с — 7' (10) (остальные уравнения будут следствиями написанных). Решаем систему (10), например, относительно а и 7: а= — г(, 7"=о — с. з = — Сзе -~- Сзе, у = (Сл -~- Сз1) е — 2Сзе з = (Сз — Сз — Сзт) е + 2Сзез'. Таким образом, все неизвестные выражены через с и 4. Положив с = Сл „с( = Сз, имеем а = — Сз, Ь = О, з' = Сз — Сл, д = — Сз. Общее решение системы (9) найдено.

Подставив найденные значения а, Ь, ... в (8) и прибавив частное решение (7), умноженное на Сз, получим общее решение системы (4): З14. Линейные системы с лостоянн ми коэффициентами 77 3. Другой способ решения системы (1). Длн любой матрицы существует базис, в котором матрица имеет жорданову форму. Каждой клетке порядка р > 1 жордановой формы соответствует серия Ьл, Ьг, ..., Ье векторов базиса, удовлетворяющих уравнениям АЬг = ЛЬл, 1м ф О, АЬг = ЛЬг .~- Ьг, (11) АЬг = Л!гз -~- Ьг, АЬо — — ЛЬр -ь Ьр л.

ш =е Ьы лс г лг(1 з =е ~ — Ьл ~1) г лг/1 к=е ~ — Ьг 1,2) +Ь,), + — Ьг+Ьз (12) 1~ — г ш~ =е '~ Ь,л.(- Ьг-~- ... Ц- — Ьр г+Ьг). 1 1р — Ц! (р — 2)! 1! Общее число всех теких решений равно сумме порндков всех клеток жордановой формы, т. е. порядку матрицы.