book48_2 (А.Ф. Филиппов - сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF)), страница 4

PDF-файл book48_2 (А.Ф. Филиппов - сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF)), страница 4 Математический анализ (36688): Книга - 2 семестрbook48_2 (А.Ф. Филиппов - сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF)) - PDF, страница 4 (36688) - СтудИзба2019-04-28СтудИзба

Описание файла

Файл "book48_2" внутри архива находится в папке "А.Ф. Филиппов - сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF)". PDF-файл из архива "А.Ф. Филиппов - сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 4 страницы из PDF

Пусть в задаче 733 предел с конечный. Доказать, что ܄— » В > О при п — ~ оо (в обозначениях задачи Т35). 737*. Заменой независимого переменного г = ус(з:) привести УРавнение Ц х —,",— с — — О к видУ а,т + Ь(с) ал х д = О, затем избавиться от первой производной заменой д = а(1)и. (Это преобразование называетсн преобразованием Лиувилля.

Во многих случаях оно позволяет привести уравнение дн + + ц(х)д = 0 к уравнению аналогичного вида, но с «почти постоянным» (слабо меннющимися на интервале (го, оо)) коэффициентом при д. Это облегчает исследование асимптотического поведения решения при х » со.) 3 13. Краевые задачи 749*. уи — 4хгу = О. 750'. хуи + у = О. 3 13. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 1. Длн отыскания решения краевой задачи ое(х)пв -'г ог(х)У' -г ог(х)У = зг(х), хо < х < <хг, (1) ау'(хо) -~- ггу(хо) = О, уу'(хг) -~- ду(хг) = О (2) надо подставить общее решение уравнения (1) в краевые условия (2) и из этих условий определить (если это возможно) значения произвольных постоянных, входящих в формулу общего решения.

В отличие от задачи с начальными условиями (задачи Коши), краевая задача не всегда имеет решение. 2. Функцией Грина краевой задачи (1), (2) называется функция С(х, в), определенная при хв < х < хг, хе < в < хг, и при каждом фиксированном в из отрезка (хо, хг] обладающая свойствами (как функция от и): 1) при т ф в она удовлетворяет уравнению оо(х)Ув -~-ог(х)1з' зг ог(х)У = О;. (3) 2) при х = хо и х = хг она удовлетворяет заданным краевым условиям (2); 3) при х = в она непрерывна по х, а ее производная по х имеет скачок, равный 1/оо(в), т. е.

С(в-~-О, в) = С(в — О, в), С',~ = С', .~- . (4) *~*=зчо ' *=,-о ое(в) Чтобы найти функцию Грина краевой задачи (1), (2), надо найти два решения уг(х) и уг(х) (отличныл от у(х) = О) уравнения (3), удовлетворяющие соответственно первому и второму из краевых условий (2). Если дг (х) не удовлетворнет сразу обоим краевым условинм, то функция!'рина существует и ее можно искать в виде оуг(х) (хв < х < е), С(х, в) = Ьуг(х) (в < х < хг).

Функции о и Ь зависят от я и определяются из требования, чтобы функция (Ц удовлетворяла условиям (4), т. е. Ьуг(в) = уг(в), Ьуг(в) = иуг(в) + — . г 1 ое(в)' 72 3 13. ораеоые задачи 3. Если функция Грина С(х, о) существует, то решение краевой задачи (1), (2) выражается формулой 4. Собственным значением задачи ао(х)уи ф аз(т)у' ф аз(х)у = Лу, (6) оу'(хо) -~- (зу(хо) = О., уу'(хз) -~- дзуз(хз) = О (7) называется такое число Л, при котором уравнение (6) имеет решение у(х) з~О, удовлетворяющее краевым условиям (7). Это решение у(х) называется собственной функцией.

Найти решения уравнений 751 †7, удовлетворяющие указанным краевым условиям. 751. уи — у = 2х: у(0) = О, у(1) = — 1. 752. уи+ у' = 1: у'(О) = О, д(1) = 1. 753. уи — у' = 0; у(0) = — 1., у'(1) — у(1) = 2. 754. уи + у = 1, д(0) = О, у ® = О. 755. уи + у = 1; у(0) = О, у(л) = О. 756. уи+ у = 2х — л; д(0) = О, у(зг) = О. 757. уи — у' — 2у = 0; у'(0) = 2, у(+ос) = О. 758.

уи — у = 1: у(0) = О, у(х) ограничено при х — > +ос. 759. уи — 2(у = 0; у(0) = — 1, у(+со) = О. 760. хода — Оу = 0; у(0) ограничено, д(1) = 2. 761. хада — 2ху'+ 2д = 0: у(х) = о(х) при х о О, у(1) = 3. 762. ходи+ 5ху'+ Зу = 0; у'(1) = 3, у(х) = 0(х з) при х о +со.

763*. При каких а краевая задача уи + ау = 1, у(0) = О, у(1) = 0 не имеет решений' ! З13. Лраееые задачи 73 Для каждой из краевых задач 764 — 779 построить функцию Грина. 764. уи = «(х); у(0) = О, у(1) = О. 765. уа + у = «(х); у'(0) = О, у(к) = О. 766. да+ у' = «(х); у(0) = О, у'(1) = О. 767. да — у = «(х):, у'(0) = О, д'(2) +у(2) = О. 768*. да+ у = «(х); д(0) = у(зт)., у'(О) = у'(и). 760.

хзуп+ 2хд' = «(х); у(1) = О, у'(3) = О. 770., да — д' = «( .); д'(1) = О, у(2) = О. 771. хада — 2у = «(х); у(1) = О., у(2) + 2у'(2) = О. 772. уа = «(х); у(0) =О, у(х) ограничено при х — т +со. 773. уа+ у' = «(х); д'(0) = О, у(+со) = О. 774. хуа+ у' = «(х); у(1) = О, у(х) ограничено при х — т +ос. 775. да + 4у'+ Зу = «(х); у(0) = О, у(х) = 0(е зе) при х -++ос. 776.

тзуа+ ту' — у = «(х); у(1) = О, у(х) ограничено при х — т +ос. 777. хауп+ 2ху' — 2у = «(т); у(0) ограничено, д(1) = О. Т78. да — у = «(х), д(х) ограничено при х — т хсо. ТТО. хзуа — 2у = «(х), у(х) ограничено при х т 0 и при х — т +ос. 780. При каких а, существует функция Грина краевой задачи уп + ау = «(х), у(0) = О, у(1) = О? 781*. Оценить сверху и снизу решение задачи хада + + 2ху' — 2у = «(х), у(х) ограничено при х — т 0 и х — т +со, и его первую производную, если известно, что 0 < «(х) < тп. Указание. Записать решение с помощью функции Грина. 74 З14. г7инейнъге системы с постоянными коэффициентами В задачах 782 — 785 найти собственные значения и собственные функции. В 14. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1.

Путем исключения неизвестных систему, вообще говоря, молсна свести к уравнению более высокого порядка с одной неизвестной функцией (съь ~1), гл. ЛГИ, З 1, п. 2 или ~4], гл. 3, З 2). Этот способ удобен для решения лишь несложных систем. Пример. Решить систему ф = у+ 1, д = 2е' — к. Исключаем у. Из первого уравнения имеем у = л — 1. Подставлян во второе уравнение, получаем г. = 2е' — к. Решив это уравнение второго порядка (методами З 11), найдем а = Сг соз1+ Сг ашз+ е'. Значит, у = т — 1 = — Сг шп1 + Сг соъ 1 + е' — 1. 2.

Для решения системы (где с означает ф) Е йг = иылг+ ... +аг аю ф =а гаг~- . фа к., или, в векторной записи, к = Аа, где а — - вектор, А — матрица: надо найти корни характеристического уравнения ои — Л аш .. иг„ огг агг — Л ... иг„ (2) а„— Л а„г а г 782. ун = Лд; 788. дн = Лу; 784. уо = Лу; 785. шхун = Лу: д<о) = о, д'(о) = о, ~(П) = П, д(1) = О, у(Ц =о. у'<ю) = о. у'<1) = О. у1а) = 0 (а ) 1).

214. Линейные системы с постоянными коэуфиниентажи 75 < хз (ад-Ьс+ +Им — ™)е х =(р-~-41-~- ... -Рл1 )е (3) Чтобы найти коэффициенты о, Ь, ..., л, надо подставить решение (3) в систему (1). Приравняв коэффициенты подобных членов в левой и правой частях уравнений, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно а, Ь, ..., в. Надо найти общее решение этой системы. Коэффициенты а, Ь, ..., з должны занисеть от й произвольных постоянных, где й — кратность корня Л.

Найдя для каждого Л решении указанного вида и сложив их, получим общее решение системы (1). П р и м е р. Решить систему х = 2х + у+», у = — 2х — », » = 2х + у + 2». (4) Составляем и решаем характеристическое уравнение 2 — Л 1 — 2 — Л 2 1 — 1 =О, 2 — Л Л вЂ” 4Л -~-5Л вЂ” 2 = О, Лз = 2, Лг = Лз = 1. Для простого корня Лз=2 находим собственный вектор (гс, Д, 7), решая систему Е Д-~-7=0, -2ы — 2Д вЂ” 7 = О, 2ы+ О= О (6) гй случве Ь < 3 число Ь вЂ” гп нельзл уменьшить, а в случае Ь > 4 иногда можно, если известна жордвнава форма матрицы А. Каждому простому корню Л, характеристического уравнения соответствует решение С,н'е~'~, где С; — произвольнвя постоянная, и' — собственный вектор матрицы А, соответствующий этому Л,.

Если для кратного корня Л имеетсн столько линейно независимых собственных векторов и", ..., и", какова его кратность., то ему соответствует решение Сзозем + ... -р Сл о~с~~. Если для корня Л кратности Ь имеется только т линейно независимых собственных векторов, и т ( Ь, то решение, соответствующее этому Л, можно искать в виде произведения многочлена степени Й вЂ” ггз на е, т.

е. в виде 76 З14. Линейные системы с иостоянными коэффициентами (коэффициенты этой системы равны элементам детерминанта (5) при Л = 2). Из (6) находим 2о = — 11 = 7. Значит, вектор (1, — 2, 2) — собственный, и з=е, у=-2е, з=2е (7) — частное решение системы (4). Для кратного корин Л = 1 сначала определим число линейно независимых собственных векторов. При Л = 1 из (5) получаем матрицу — 2 — 1 — 1 Ее порядок и = 3, ранг г = 2. Число линейно независимых собственных векторов равно т = п — г = 1. Корень Л = 1 имеет кратность й = 2. Так как й > га, то решение надо искать в виде произведении многочлена степени й — т = 1 на е , т.

е. в виде м г = (а ф ЬС)е', у = (с-~-гд)е', з = (7" 484)е'. (8) Чтобы найти коэффициенты а, Ь, ..., подставляем (8) в систему (4) и приравниваем коэффициенты при подобных членах. Получаем систему 6+4+8=0, 6= а+с+ 7, — 26 — г7 — 8= О, г(= — 2а — с — 7', 26 фг7-~-~,"= О, 8= 2а+ с+ У. (9) Найдем общее решение этой системы.

Из двух левых уравнений имеем 6 = О, 8 = — 4. Подставлян это в остальные уравнения, получаем 0 = а+ с+ 7', 4 = — 2а — с — 7' (10) (остальные уравнения будут следствиями написанных). Решаем систему (10), например, относительно а и 7: а= — г(, 7"=о — с. з = — Сзе -~- Сзе, у = (Сл -~- Сз1) е — 2Сзе з = (Сз — Сз — Сзт) е + 2Сзез'. Таким образом, все неизвестные выражены через с и 4. Положив с = Сл „с( = Сз, имеем а = — Сз, Ь = О, з' = Сз — Сл, д = — Сз. Общее решение системы (9) найдено.

Подставив найденные значения а, Ь, ... в (8) и прибавив частное решение (7), умноженное на Сз, получим общее решение системы (4): З14. Линейные системы с лостоянн ми коэффициентами 77 3. Другой способ решения системы (1). Длн любой матрицы существует базис, в котором матрица имеет жорданову форму. Каждой клетке порядка р > 1 жордановой формы соответствует серия Ьл, Ьг, ..., Ье векторов базиса, удовлетворяющих уравнениям АЬг = ЛЬл, 1м ф О, АЬг = ЛЬг .~- Ьг, (11) АЬг = Л!гз -~- Ьг, АЬо — — ЛЬр -ь Ьр л.

ш =е Ьы лс г лг(1 з =е ~ — Ьл ~1) г лг/1 к=е ~ — Ьг 1,2) +Ь,), + — Ьг+Ьз (12) 1~ — г ш~ =е '~ Ь,л.(- Ьг-~- ... Ц- — Ьр г+Ьг). 1 1р — Ц! (р — 2)! 1! Общее число всех теких решений равно сумме порндков всех клеток жордановой формы, т. е. порядку матрицы.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее