book48_2 (А.Ф. Филиппов - сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF)), страница 2

572. до+ 4д'+ Зд = сЬх. 573. до+ 4у = вЬх вш2т,. 574. до+ 2д'+ 2у = сЬт в1пт. Решить уравнения 575 — 581 способом вариации постоянных. 575. ун — 2у'+ у = — '. 576. ун + Зд'+ 2д =,.~ 578. до+ 4д = 21ях. 579. ун + 2у' + у = Зе а'х + 1. 580. до+ у = 2яесз х 581*. хз(ун — у) = хз — 2. Найти решения уравнений 582 — 588, удовлетворяющие указанным начальным условиям.

582. ун — 2у'+ у = 0; д(2) = 1, у'(2) = — 2. 583. до + д = 4е; д(0) = 4, у'(О) = — 3. 584. ун — 2у' = 2е*; д(1) = — 1, у'(1) = О. 585. ун + 2д'+ 2у = те '", у(0) = д'(0) = О. 586. рн' — у' = 0; д(0) = 3, у'(О) = — 1, ун(0) = 1. 111. линелныв уравнения с постоянными яоэффиииентами 58T. уи' — Зу' — 2у = 9ег*. у(0) 0 у'(0) 3 дн(О) = 3. 588 уги + уи = 2 соа х: у(0) = — 2, у'(0) = 1, ун(0) = дн'(0) = О. В задачах 589 — 600 решить уравнения Эйлера 589.

хгун — 4ту'+ бд = О. 590. хгун — хд' — Зд = О. 591. хздн' + ху' — у = О. 592. хгуи' = 2д'. 593, хгдн — ху' + у = 8хз 594. хгун+ ху'+ 4у = 10х. 595. хэун — 2ху = 61пх. 596. хгун — Зхд'+ 5д = Зхг. 597, хгда — бу = 5хз + 8хг. 598. хгдн — 2у = в1п1пх. 599. (х — 2)гун — 3(х — 2)у'+ 4д = х. 600 (2с+ 3)зун'+ 3(2х+ 3)у' — бу = О Применяя различные методы, решить уравнения 601— 611.

601. дн+ 2у'+у = совах. 602. дн — 2д'+ у = хе* вшг гх 603. дн -~- 2гу = 8е аптх. 604. да+ 21у' — у = 8совх. 605. ун' — 8гу = сов 2х. 606. ун — — ' = 31п( — х). 2у хг 60Т. у" + 2у' + у = хе + — „. 1 хе" Ь 11. Линейные уравнения с постоянными ноэффиниентами 59 608. до+ 2д'-Ь 5д = е *(созз х+18х). 609. хзун — 2д = х -Ь 1 610. ходи — хд'+ д = 1 + х 1пх 611*. ди + д = У(х).

612*. Какие условия достаточно наложить на функцию Дх), чтобы все решения уравнения задачи 611 оставались ограниченными при х -о +ос? В задачах 613 — 618 построить линейные однородные дифференциальные уравнения с постоннными коэффициентами (возможно более низкого порядка)., имеющие данные частные решения. 613. дз = хзе'. 615. дз = х зцтх. 614.

дг = ез'сов х. 616. дг = хе* сов 2х. 617. дз = хе, уз = е . 618. дг = х, дз = з1пх. 619. При каких а и Ь все решения уравнения до + ад'+ + Ьд = 0 ограничены на всей числовой оси — со ( х ( +со? 620. При каких а и Ь все решения уравнения до + ад' + + Ьд = — О стремятся к нулю при х — 1 +со? 621. При каких а и Ь уравнение до + ад'+ Ьд = 0 имеет хотя бы одно решение д(х)ф О, стремящееся к нулю при * — 1 +со? 622.

При каких а и Ь каждое решение уравнения до + + ад'+ Ьд = О, кроме решения д(х) = О, монотонно возрастает по абсолютной величине, начиная с некоторого х? 623. При каких а и Ь каждое решение уравнения дн + + ад' + Ьд = 0 обращаетсн в нуль на бесконечном множестве точек х? 624*. При каких а и Ь все решении уравнения ди + + ад' + Ьд = О удовлетворяют соотношению д = о(е *) при х — ~ +со? 625*.

Для заданного Ь > 0 подобрать такое а, при котором решение уравнении д" + ад'+ Ьу = 0 с начальными условиями 60 З 11. Линейные уравнения с постоянними яоэффиииенгпами у(0) = 1, у'(0) = 0 возможно быстрее стремится к нулю при х -о +со. 626. При каких й и оэ уравнение уи + йзу = э1поэ1 имеет хотя бы одно периодическое решение? 627. Найти периодическое решение уравнения х + ах + + ух = ею ыу и нарисоваты рафик зависимости его амплитуды от величины иь 628. Найти периодическое решение уравнения х + х + + 4х = енм и на комплексной плоскости начертить кривую, которую пробегает амплитудный множитель этого решения при изменении ш от 0 до +ос. 629*. Дано уравнение уи + ау' + Ьу = 1(х), причем ~Дх)~ < т ( † < х < со), а корни характеристического уравнения Лз < Лэ < О.

Найти решение, ограниченное при — ое < х < оэ. Показать, что а) все остальные решения неограниченно приближаются к этому решению при х — э +ее, б) если 11х) периодическая, то это решение тоже периодическое. Указание. Применить метод вариации постоянных. Нижние пределы полученных интегрелов взять бесконечными такого знака, чтобы интегралы сходились. В задачах 630 — 632 принять, что при отклонении груза от положения равновесия на расстояние х пружина действует на него с силой йх, направленной к положению равновесии. 630.

Найти период свободных колебаний массы т, подвешенной к пружине, если движение происходит без сопротив- ления. 631. Один конец пружины закреплен неподвижно, а к другому прикреплен груз массы т. При движении груза со скоростью о сила сопротивления равна йе. При 1 = 0 грузу, находившемуся в положении равновесия, сообщена скорость ое. Исследовать движение груза в случаях йз < 4йт, и йз > 4йгп. 632. Решить предыдущую задачу при дополнительном условии, что к грузу приложена еще периодическая внешняя сила 1 = оз1псой Показать, что при любых начальных условиях движение груза будет приближаться к периодическому и найти это периодическое движение (вынужденные колебания).

З 11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 61 633. На конце упругого стержня укреплена масса яь Другой конец стержня вибрирует так, что его смещение в момент 1 равно В гйпх1. Упругая сила, возникающая в стержне, пропорциональна разности смещений его концов. Найти амплитуду А вынужденных колебаний массы ш. Может ли быть А > В? (Массой стержни и трением пренебречь.) 634. Частица массы гп движется по оси Ох, отталкиваясь от точки х = 0 с силой 3тго и притягивансь к точке х = 1 с силой 4тгы где го и гг — расстонния до этих точек. Определить движение частицы с начальными условиями х(0) = 2, х(0) = О. 635. Электрическая цепь состоит из последовательно включенных источника постоннного тока, дающего напряжение 1', сопротивления Л, самоиндукции Е и выключателя, который включается при 1 = О.

Найти зависимость силы тока от времени (при 1 > 0). 636. Решить предыдущую задачу, заменив самоиндукцию Ь конденсатором емкости С. Конденсатор до замыкании цепи не заряжен. 637. Последовательно включены сопротивление Л и конденсатор емкости С, заряд которого при 1 = 0 равен д. Цепь замыкается при 1 = О. Найти силу тока в цепи при 1 > О. 638. Последовательно включены самонндукцин Е, сопротивление Л и конденсатор емкости С, заряд которого при 1 = 0 равен о.

Цепь замыкается при 1 = О. Найти силу тока в цепи и частоту колебаний в том случае, когда разряд носит колебательный характер. 639. Последовательно включены источник тока, напряжение которого меняется по закону Е=1'зшеой, сопротивление Л и самоиндукция Ь. Найти силу тока в цепи (установившийся режим). 640. Последовательно включены источник тока, напряжение которого меняется по закону Е = $'зшеой, сопротивление Л, самоиндукция Е и емкость С.

Найти силу тока в цепи (установившийся режим). При какой частоте х сила тока наи- большаяу 62 112. Линейные уравнения с переменными коэффиииентами Б 12. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1. Большинства задач этого параграфа решается с помощью методов общей теории линейных дифференциальных уравнений (см. (1), гл. 1г, 1 2., х 3 или (4], гл. 2, т' 3, 3 5) и методов качественного исследовании линейных уравнений второго порндка (см.

(1), гл. т'1, 3 2, и. 1, п. 3). К остальным задачам даны указания или ссылки на литературу. 2. Если известно частное решение уг линейного однородного уравнения и-го порядка, то порндок уравнения можно понизить, сохранян линейность уравнении. Для этого в уравнение надо подставить У = Угг и затем понизить поРЯдок заменой г' = и. Чтобы найти общее решение линейного однородного уравнения второго порндка иэ(х)ун -~- ог(х)У' -~-иг(т)У = О, у которого известно одно частное Решение Уг,можно понизить поРЯдок УРавнения указанным выше способом.

Однако удобнее воспользоваться формулой Остроградского Лиувилля: У, гуг, -Г М~з* иг(х) — С ( )— = Се р(х) = Уг Уг ао(х)' где уг и уг — любые два решения данного уравнении. Пример. Пусть известно частное решение уг = х уравнения (Ц (х + Ц у — 2ху + 2у =- О. По формуле Остроградского — Лиувиллн получим У) У -1(~ ) з*, = Се ' э'; Угуг — У',уг = С(х + Ц. Уг Уг Так как функция уг известна, то мы получили линейное уравнение первого порндка относительно уг.

Проще всего оно решается следующим способом. Разделив обе части уравнении на у,', получим слева производную от дроби уг/гуг Уг ) УгУг — Угуг С(х + Ц И'= ' '=.' Уг/ Уг Уг Так как уг = х, то / 11 — С бх-~-Сг=С х- — -~-Сг; уг,/ хг Уг = С(х — Ц + Сгх. 2 12. Линейные уравнения с переменными коэффициентами 63 Это — общее решение уравнения (1). 3. Общего метода для отыскания частного решения линейного уравнения второго порядка не существует. В некоторых случаях решение удается найти путем подбора. П р и м е р.

Найти частное решение уравнения (1 — 2х )у + 2у + 4у = О, (2) иг(1) = соэс ж О ~ — ), иг(1) = э1пс+ О ( — ); ~ -)' (,1-) ' 2) уравнение он — (1 — 7(1))и = О имеет два таких линейно независимых решения, что при 1 — г 4-оо ,(1) = е' (1+ О ( — )), (1) = ~1+ О ( — )) . В задачах 641 — 662 исследовать, являются ли данные функции линейно зависимыми. В каждой задаче функции рассматриваются в той области, в которой они все определены. 642.

Ох+ 9, 8х+ 12. г 641. х+ 2, х — 2. 643. в(пх, совх. 645. 4 — х, 2х+ 3, 6х -~-8. нвлнющеесн алгебраическим многочленом (если такое решение существует). Сначала найдем степень многочлена. Подставляя у = х" + ... в уравнение (2) и выписывая только члены с самой старшей степенью буквы х, получим: — 2хг я(о — 1)х" г-~- ...-~- 44х" -~-... = О. Приравниван нулю коэффициент при старшей степени х, получим: — 2п(о — 1)+4 = 0; и — и — 2 = О. Отсюда ог = 2; корень яг = — 1 не годен (степень многочлена — целое положительное число). Итак, многочлен может быть только второй степени.