book48_2 (А.Ф. Филиппов - сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF)), страница 8
Описание файла
Файл "book48_2" внутри архива находится в папке "А.Ф. Филиппов - сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF)". PDF-файл из архива "А.Ф. Филиппов - сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 8 страницы из PDF
Для этого надо, во-первых, исследовать устойчивость этой точки по знаку НеЛ и, во-вторых. определить, в каком направлении вокруг особой точки происходит движение по траекториям. Для этого достаточно построить в какой-нибУдь точке (з, У) вектоР скоРости ( л*,, лл), онРеделЯемый по формулам (3).
Аналогично исследуется направление движения в случае вырожденного узла. Н р и м е р 1. Исследовать особую точку з = О, у = О системы 100 З 16. Особые точки Оу 4х — Зу дх х — 2у (7) Находим корни характеристического уравнении 4 — 3 — Л = 0; Л ф 2Л -~- 5 = 0; Л = — 1 х 2г. Особая точка —. фокус. Переходим от уравнения (7) к системе дх г(у — = х — 2у, — = 4х — Зу. (8) гМ ' г(г Строим в точке (1, 0) вектор скорости ( лг г Зхг) . В силу (8) он равен (х — 2у, 4х — Зу). В точке т.
= 1, у = 0 получаем вектор (1, 4) (рис. 8га). Следовательно, возрастанию 1 соответствует движение па траекториям против часовой стрелки. Так как вещественная часть корней Л равна — 1 ( О, то особая точка всимптотически устойчива, следовательно, при возрастании 1 решения неограниченно приближаются к особой точке. Итак, при движении против часовой стрелки интегральные кривые приближаются к началу координат (рис. 8,б). Рис. 8 3.
Для исследования особой точки более общей системы (1) или уравнения (2) надо перенести начало координат в исследуемую особую точку и разложить функции Р и Я в окрестности этой точки по формуле Тейлора, ограничиваясь членами первого порядка. Тогда система (1) примет вид г1хг дуг — = ахг+ Ьуг+ 1о(хг, уг), — = схг+ буг+ ф(хг, уг), (9) Прямые, проходящие через особую точку, ищем в виде у = йх (а также х = 0).
Подставляя в написанные уравнения, находим й = 1. Значит, у = х и х = 0 — искомые прямые. Остальные интегральные кривые строятся с помощью изоклин (рис. 7). П ри мер 2. Исследовать особую точку уравнении .