book48_2 (А.Ф. Филиппов - сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF)), страница 5

Они составляют фундаментальную систему решений системы ф = Аи. Правило для запоминании формул (12). Собственному вектору Ьл., соответствует решение з = е Ьг. Если везде лг отбросить ел", то каждая строка правой части (12) получится интегрированием по 1 предыдущей строки, причем постоянную интегрирования надо взять равной следующему по порядку вектору серии. 4. В случае, когда имеются комплексные корни Л, изложенные способы дают выражение решения через комплексные функции. Если при этом коэффициенты системы (1) вещественны, то можно выразить решение только через вещественные функции. Для этого нада воспользоваться тем, что вещественная и мнимая части комплексного решения, соответствующего корню Л = сг + Дг (лг ф 0), являются линейно независимыми решениями.

Вектор Ьл называется собственным, а Ьг, Ьг, ..., Ьр — присоеди- ненными. Каждой серии Ье, Ьг, ..., Ьр соответствует р линейно независимых решений х', к', ..., хо системы з = Аш (верхний индекс указывает номер решения): 78 514. Линейные системы с постоянными коэффициентами Пример. Решить систему г, = 4х — у, у = 5х+ 2у. Составляем н решаем характеристическое уравнение 4 — Л вЂ” 1 = О| Л вЂ” ОЛ+ 13 = О, Л = 3 Л 2|1 о 2 — Л )(ля корня Л = 3-Ь 2|' находим собственный вектор (а, Ь): < (1 — 2|)а — Ь = О, 5а — (1+ 2|)6 = О. Можно взять а = 1, Ь = 1 — 2|.

Имеем частное решение х = ещтмп, у = (1 2г)о|зази| Так как данная система с вещественными коэффициентами, то решение, соответствующее корню Л = 3 — 2|| можно не искать, оно будет комплексно сопрнженным с найденным решением. Чтобы получить два вещественных решения, надо взять вещественную и мнимую части найденного комплексного решении. Так как е|~т~'Р = ез'(сов 21-~- | зш24), то | | ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ < 3 о 2 О | ~~ 3 ! х| =Вее + * =е соз21, |зогйг з| у| = Во(1 — 2|)е|~~мн = е Р(сов214-2яп26), < хг = 1ше| + О' = е зш21, ~з-~гие з| уг =1п|(1 — 2г)е| + О =е (яп21 — 2соз21).

Общее решение выражается через два найденных линейно незави- симых решения: х = С|х| ж Сгхо = С| е соз 21-Ь Сг е зш 21, з| з| у = С|у| -~- Сгуг = С| е е(соз 21 -~- 2з|п 21) 4- Сг е (яп21 — 2 сов 21). 5. Чтобы решить систему а|ох 4-аых ' + ... +а| х+ ->Ьгоу' +Ьму ф ... -~-Ь| у=О, ОО ( — Ц агах ф аггх~ г + ... ф огрх -'г ОΠΠ— гг + Ьгоубй+ Ьг,у|о '+ ... + Ь,ду = О, не приведенную к нормальному виду, надо составить характерис- тическое уравнение ашЛ + а||Л + ...

-> а, 6|оЛ" -ь Ь||Л" +... + Ь|„ агоЛр+аг|Лр + ... +агр ЬгоЛо+ Ьг|Л" 4- ... +6|„ 314. Линейные системы с лостолнн ми коэффициентами 79 и найти его корни. После этого решение отыскивается тем же способом, как в п. 2. Аналогично решаются системы трех и более уравнений. б. Частное решение линейной неоднородной системы с постоянными коэффициентами т, = амхг + ... + ас„х„+ 7,(С), г = 1, ..., я (13) можно искать методом неопределенных коэффициентов в том случае, когда функции 7с(С) состоят из сумм и произведений функций Ье + ЬдС + ... + Ь,С., е ~, сов ССС, эш ССС.

Нто делается по тем же правилам, что для одного линейного уравнения с постоннными коэффициентами, см. и. 2 3 11., со следующим изменением. Если с,(С) = Р„ч(С)ет', где Р,(С) — многочлен степени гя„то частное решение системы (13) ищется не в виде С'С;)„(С) ет'., а в виде х; = Ц*„,э„(С) ет, с = 1......, я,. (14) где С,С' +,(С) — многочлены степени т + е с неизвестными коэффициентами, т = шахт,;, л = О, если у -- не корень характеристического уравнения (2), а если 7 — корень, то е можно взять равным кратности этого корня (или, точнее, е на 1 больше наибольшей из степеней многочленов, иа которые умножается ет в общем решении однородной системы). Неизвестные коэффициенты много- членов определяются путем подстановки выражений (14) в данную систему (13) и сравнения коэффициентов подобных членов.

Аналогично определяются степени многочленов и в случае, когда 7с(С) содержат о ' соз СЗС и е"' щиСЗС, а число т = а -Ь С)С является корнем характеристического уравнения. П р и м е р. Решить систему < х = 4х — у+е (С+в)пС), у = х ж 2у ж Се 'сов С. (15) хо = (Сгг ж Сг) е ', Уе = (СгС ф Сг — Сг) е '. В системе (13) для функций Сел', ез' з(пС, С ее'сов С числа а + СЗС соответственно равны 3, 3+ г, 3+ гц Поэтому надо отдельно найти частные решения систем х = 4х — у-~-Се ', у = х-~-2у, (13) х = 4х — у+с ьшС, у = к+ 2у+ Се соьС. (17) Сначала для однородной системы х = 4х — у, у = х + 2у находим корни Лг = Лг = 3 и как в п. 2 отыскиваем общее решение 80 314..7ииейиме системы с посшояиимми коэффициентами Длн системы (16) ха+Да = 3 = Лг = Лг, л = 2, т = 1.

Согласно (14), частное решение можно искать в виде хг = (аг + Ы + сг+ и) е, уг = (71 + ут -!- !аг+8) е Длн системы (17) о + Дг = 3 + г ф Лкг, э = О, гп = 1. Частное решение имеет вид хг = (Н -Ь 1) е з1п1-!- (тг ф п) е ' сов й уг = (рг + О) е з(п1+ (гг + з) е соэ й Отыскав значения коэффициентов о, Ь, ..., общее решение систе- мы (15) напишем в виде х = хо 4 ха;хг, у = уо -г уг -'г уг.

7. Решение неоднородной системы х; = ага(1)хг -!- .. +аг (1)х„-!- ~,(1), г = 1, ..., и можно найти методом вариации постоянных, если известно обпгее решение однородной системы с теми же коэффициентами ом(1). Для этого в формуле общего решения однородной системы надо заменить произвольные постоянные С, иа неизвестные функции С,(1). Полученные выражения для х; надо подставить в данную неоднородную систему, и из этой системы найти С,(1). 8. Показательной функцией е~ матрицы А называется сумма рида А 4г 4з е =Е+ — ф — + —,+ ..., 1! 2! 3! (18) где Š— единичнан матрица.

Ряд сходится для любой матрицы А. Свойства о~: а) если А = СМС ', то е" = С ем С б) ~Е Е 1 лэв А в в л в) матрица Х(1) = е' удовлетворяет уравнению з, = АХ: Х(0) = Е. Методы отыскания ел: 1) Путем решении системы дифференциальных уравнений. В силу свойства в) г-й столбец матрицы еал есть решение системы уравнений (в векторной записи) т = Ах с начальными условиями х;(0) = 1, ха(0) = 0 при й ф г' (х; — — г-я координата вектора х). 514.

Линейные систеэ9ы с ностоянныэ9и ноэд9фиииентаэ999 81 2) Путем приведения матрицы к жордановой форме. Пусть известна такая матрица С, что матрица С 9АС = М имеет жорданову форму, т. е. состоит из клеток К,. Каждая жорданова клетка имеет вид Л = ЛЕ+ Р, у матрицы Р все элементы нули, кроме 1-го косого ряда над диагональю. Поэтому Р™ = О, где гя — порядок матрицы Р, и е легко найти с помощью ряда (18). Так как еще лв лЕ е=е"+ =ее =еЕе =ее я ллек ле г з к л г Составив из клеток е~* матрицу е'~~, найдем е~ с помощью свойства а). Доказательства и пример см.

в [5), гл. 1, Б 12 — 14. В задачах 786 — 812 решить данные системы уравнений (х означает "— ', и т. дд для облегчения работы в некоторых Л99 задачах указаны корни характеристического уравнения). 789 793 795 999. ( х=х+з — у, д=х+у — з, 2 = 2х — у 797 (Л9 = 1, Лз = 2, Лз = †!) (Лг = О, Лз = 2, Лз = -1).

999. ( 999. ( т = 2х — у+э, у=х+2у — з, З=х — у+2з х=Зт,— д+з, у=х+у+з, 2 = 4х — у+4з (Л9 =1,Лз=2,Лз=З). (Л9 =1,Лз=2,Лз=5). х=2х+у, 786. у = Зх+ 4у. 788. т+т — 8у = О, у †х †. 790. х = х — Зу, у=Зх+у. 792. х= 2х+у, у = 4у — х. 794. т, = 2у — Зх, у=у — 2х. < т. = х — у, у = у — 4зн < т=х+у, у = Зу — 2х. < х+ х+ 5у = 09 д †х †. < х = Зх — у, у = 4х — у. < т, — 5х — Зу = О, у+Зт+у=О.

< х = т, — 2у — з, у=у †х, 82 З14. Линейние системм с ностонннъ4ми коэффичиентами х = х — д — г1 у=т+у1 г=Зх+г (Лг = 11Лг,з = 1~ 22). (Л2=1,Лг =2,Лз= — 1) 802. (Лг =- 21 Лг,з =- 3 х 2) (Лг = 1 Лг,з = т8). 804. (Лг = 01 Лг = Лз = 1) ° (Лг — 2, Лг = Лз = 3) х = д — 2х — 2г, (Лг = 3, Лг — — Лз = — 1) (Лг = Лг = 2, Лз = -5).

808. (Лг = Лг = 1 Лз = 2) (Л, = 1, Л, = Лз = -1). (Лг = Лг = О, Лз = 3). (Лд = Лг = Лз = 1). 812. (Лг = Лг = Лз = 2). В задачах 813 — 825 решить системы., не приведенные к нормальному виду. х=2х — Зу, 813. у =х — 2у. х = Зх+4д, 814. ч у = — х — у. 800. ( 886. ( 810.

( х = 4д — 2г — Зх у=г+х, г = бх — 61г+ 5г х = 2х+д, у=х+Зу — г, г = 2у+Зг — х х=4х — у — г, у =х+2у — г, г = х — у+2г у = х — 2у + 2г, г = Зх — Зу+ 5г х=х — у+г, д = т, + д — г1 г = 2г — у т. = 2х+у, у = 2д+4г х =4х — у, у=Зх+д — г г=т+г 801. ( 808. ( 808. ( 882. ( 809. ( 811. ( х = 2х+2г — у, у = х+2г, 2 = у — 2х — г х = 2х — р — г, у = Зх — 2у — Зг, г = 2г — х+у х = Зх — 2д — г, у = Зх — 4д — Зг, г = 2х — 4у х = у — 2г — х, 'д = 4х + д1 г = 2х+у — г х = 2х — у — г, д = 2х — у — 2г, г = 2г — х+д З14. Линейные системм с носсноннными коэффичиентами 83 816. ( х = Зх — у — с, д= — х-ьзу — з, Б= — т, — у+Зз.

х = 2у, 815. у = — 2х. 2х — 5у = 4у — х, 817. Зт — 4у = 2х — д. х — 2у+ у+ х — Зу = О, 819. 4у' — 2х — х — 2х+ 5д = О. х — х + 2у — 2у = О, 820. х — х+у+у=О. х — 2у+ 2т, = О, 821. Зт+ д — 8д = О. т+ 5х+ 2у+ у = О, 823. Зт+ 5х+ д+ Зу = О. т+4т — 2х — 2у — у = О, 824. х — 4т — д + 2у+ 2у = О. 2х+ 2х+ х+ Зу+ у+ у = О, 825. х+ 4х — х+ Зу+ 2у — у = О. х+х+у — 2у=О, 818. х — у+х=О.

х+Зд — х = О, 822. х + Зу — 2р = О. В задачах 826 — 845 решить линейные неоднородные сис- темы. хк у+2ес 826. ~~ ~ ~ ~ 2 ~ с ! ы у = х+4'. х = Зх+ 2у+ 4е~', 828. у=х+2у. 830. т=4т+у — е', у=у — 2х. х = 5х — Зу+ 2е~~, 832. д=т+д+5ес х = д — Зсон4, 827. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ) ~ ~ ~ ! ~ ш у=2х+у. т = 2х — 4д+4е ", 829. у =2т,— 2д. х = 2у — х+1, 831. д = Зу — 2г,. х = 2т+ у+е~, 833. д = — 2т+ 24. 84 в 14. Линейные системы с постоянными коэффициентами < х = 2х — у, у = 2д — х — осесяпй. х=х — у+81, 844.