book48_1 (А.Ф. Филиппов - сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF)), страница 7

419. (тз — 1) с)х ф (хауз ф хз ф т) 4у = О. 420. х(у' + ез") = — 2у'. 8 10. УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА 1. Если в уравнение не входит искомая функция у, т. е. оно имеет вид Г(х, уС~~, уС"+Ц, ..., уС"~) = О, то порядок уравнения можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию низшую нз производных, входящих в уравнение, т.

е. сделав замену уС ~ = з. 2. Если в уравнение не входит независимое переменное х, т. е. уравнение имеет вид Г(у, у . у, ..., уС"1) = И, то порядок уравнении можно понизить, взяв за новое независимое переменное у, а за неизвестную функцию у' = р(у). Пример. Решить уравнение 2уд" = у' + 1. 2 210. Уравнения, допускающие понижение порядка 45 В уравнение не входит х. Полагаем у' = р(у).

Тогда 4(у') 4 (у) д ду с1х дх 41г с(х Подставляя у' = р и уо = рр' в уравнение, получим 2урр' = р -!- 1. Порндок уравнения понижен. Решив полученное уравнение, найдем р = хэгГу — Е Следовательно, д' = +ос(~у — 1. Из этога уравнения получим 4(Су — 1) = С (х+ Сг). 3. Если уравнение однородно относительно у и его производных, т.

е. не меняется при одновременной замене у, у, у, ... на Йу, Йу', Йу", ..., та порядок уравнения понижается подстановкой у = уг, где г — новая неизвестная функция. 4. Порядок уравнения понижаетсн, если оно являетсн однородным относительна х и у в обобщенном смысле, т. е, не меннется от замены х на Йх. у на Й"'у (при этом у' заменяется на Й'" у', у" —- на Й™ гуо и т. д.). Чтобы узнать, будет ли уравнение однородным, и найти число т, надо приравнять друг другу показатели степеней, в которых число Й будет входить в к а ж д ы й член уравнения после указанной выше замены. Например, в первый член уравнении 2хвуо — Зу' = х~ после этой замены число Й будет входить в степени 44-(т — 2), во второй — в степени 2т, в третий — в степени 4. Следовательно, т должно удовлетворять уравнениям 4 Ч- (пг — 2) = 2гп = 4.

Отсюда т, = 2. Если же полученные уравнения длн т, будут несовместными, то дифференциальное уравнение не нвляется однородным в указанном смысле. После того как число т найдено, надо сделать замену переменных х = е', у = ге ', где г = г(1) новая неизвестная функции, а ! — новое независимое переменное. Получим уравнение, в которое не входит независимое переменное Е Порядок такого уравнения понижается одним из ранее рассмотренных способов. б. Порядок уравнения легко понижается, если удается преобразовать уравнение к такому виду, чтобы обе его части являлись полными производными по х от каких-нибудь функций. Например, пусть дано уравнение уун = у' .

Деля обе части на уу', получим х-; (!пу')' = (1пу)' 1пу' = !пу -Ь 1пС; у' = дС. Порядок уравнения понижен. Решить уравнения 421 †4. 421. хгуо = у'г. 422. 2ху'уо = у' — 1. З10. Уравнения, допускающие понижение порядка 424. у' + 2ууо = О. 426. ууп + 1 = у' . 428. ун' = до . 423. узун = 1. 425. уп = 2уд'. 427. уп(ее+ 1) + у' = О. 429. удн = у' — у' . 430.

уо' = 2(уп — 1) с1н х. 432. ди + туп = 2у'. 434. уо+ у' = 2е ". 431. 2удо = у + д' . 433. уо + у' = ту". 436. уо = д' +1. 438. уо — ху" + уо' = О. 435. хуо' = уо — ху". 437. ун = е". 439. 2у'(уп+ 2) = тун . 440 4 3 и 441. у' = (Зу — 2д')у". 442. до(2у'+ х) = 1. 443. ун — 2у'уо'+ 1 = О. 444. (1 — хз)уи + ту' = 2. 445. уун — 2ру'1пу = у' . 446. (у' + 2у)уи = у' . 448. у'оу' = ун . 450. хуо = у' + х(у'з + тз). 447. хуи = д'+хзш — ".

449. дун + у = д' . Решить уравнения 451 — 454, воспользовавшись формулой, сводящей многократное интегрирование к однократному (см. ~1), гл. 1Ъ", З 2, п. 1). 451. ту~~ = 1. 453. у'и = 2хд". 452. хун = з1пх. 454. хд'тс + у'о = е*. 456. у'д'о = 2уо, 458. Зуо' — Зуоу4У = О.

460. дп = ху' + у + 1. 455. уу'о + Зу'уо = О. 457. уун = р'(д' + 1), 459. ууо+ у' = 1. Решить уравнения 455 — 462, преобразовав их к такому виду, чтобы обе части уравнении нвлялись полными производными. З10. Уравнения, допускающие понижение порядка 47 462.г:Ун У =х УУ' 461. хун = 2уу' — у'. В задачах 463 — 480 понизить порядок данных уравнений, пользуясь их однородностью, и решить эти уравнения.

463 хУУн — тУ' = УУ' 464 УУн = У' +15дгигх 465. (хг + 1)(у' — урн) = худ', 467. харуо = (у — ху')'. 466. хуун+ ху' = 2уу'. ~г У У У 468. Ун+ — + — = — ' т х у 469. У(хун+ у') = ху' (1 — х). 470. харуо+ у' = О. 471. хг(у' — 2уун) = уг. 472. хуун = у'(у+ д'). 473 4хгузун хг у4 474 хзуо (у ху )(у ху~ х) г ! 475. — '+ у = Зху + у,г н 2уу тг х 476. у = ~2ху — — ~ у + 4У 1', 51, 4у х .

г' 477. хг(2ууо — у' ) = 1 — 2хуу'. 478. хг(дун — д' ) + хуу' = (2ху' — Зд)ъ'хзз. 479. ха(у' — 2уун) = 4хзуу'+ 1. 480. Уу'+ хуун — ху' = хз. В задачах 481 — 500, понизив порядок данных уравнений, свести их к уравнениям первого порядка. 481. Ун(З+ уу' ) = у' . 482. ун — у'ун' = (~-) ° 483. Уу'+ 2хгуо = ху' . 484. у' + 2хуун = О.

485. 2ту (хун + у') + 1 = О. 48 З10. Уравнения, допуеканпцие понижение порядка 486. х(до + р' ) = д' + у'. 487 рг(р'д'и 2унз) 488. у(2:туп+ у') = ху' + 1. 489. до+ 2уд' = (2х+ ~~) у'. 490. у'у'н = уп + у' д". 2 2 492. ун = д' — ду' д". 494. уо'у' = 1. 491. ууп = у' + 2хуз. 493. 2удо' = у'.

495. узу'о = у' . 496. харуо+ 1 = (1 — у)ху'. 497. уу'р'о+ 2у"уп = Зрдо'. 498. (р'уо' — Здо )у = у' . 499. уз(у'уп' — 2уо ) = уу' до+ 2р' . 500. хз(р ро' — д' ) = 2д'д' — Зхуу' . 502. 2уо' — Зд' = О; у(0) = — 3, р'(О) = 1, уо(0) = — 1. 503. хзуп — Зху' = 1зх — 4у; у(1) = 1, у'(1) = 4.

504. ро' = Зуд', р(О) = — 2, у'(0) = О, до(О) = 4,5. 505. ун сову + у' вшу = р', у( — 1) = — ", д'( — 1) = 2. 506. Найти кривые, у которых в любой точке радиус кривизны вдвое больше отрезка нормали, заключенного между этой точкой кривой и осью абсцисс. Рассмотреть два случая: а) кривая обращена выпуклостью к оси абсцисс; б) вогнутостью к оси абсцисс. 507. Найти кривые, у которых радиус кривизны обратно пропорционален косинусу угла между касательной и осью абсцисс. 508. Определить форму равновесии нерастнжимой нити с закрепленными концами, на которую действует нагрузка В задачах 501 — 505 найти решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям. 501. урп = 2ху'; у(2) = 2, у'(2) = 0,5.

2 11. Линейные уравнения с поотояннвыеи ноэффициентали 49 так, что на каждую единицу длины горизонтальной проекции нагрузка одинакова (цепи цепного моста). Весом самой нити пренебречь. 509. Найти форму равновесия однородной нерастяжимой нити (с закрепленными концами) цод действием ее веса. 510*. Доказать, что уравнение движения маятника ун + + гйн у = 0 имеет частное решение у(х), стремящееся к я цри х — г +со. В 11.

ЛИНЕЙНЫЕ 'УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1. Чтобы решить линейное однородное уравнение с настоянными коэффициентами аоу~ ~Ч агу~ О Ь ... Чьа зу Ьа у=0, (1) надо состввить характеристическое уравнение аоЛ з-агЛ" ж ... + а зЛ ф а = 0 (2) и найти эсе его корни Лы ..., Л„. Общее решение уравнения (1) есть сумма, состонщан из слагаемых вида С;енж для каждого простого корня Л, уравнения (2) и слагаемых вида (С,„зг-ЬСт„,в+Стезх + ...

-ЬС,.„ьх' ')е * (2) длн каждого кратного корня Л уравнения (2), где й кратность корня. Все Сз — произвольные постоянные. Коэффициенты уравнения (1) и корни Л здесь могут быть вещественными или комплексными. Если же все коэффициенты уравнения (1) вещественные, то решение можно написать в вещественной форме и в случае комплексных корней Л. Для каждой пары комплексных сопряженных корней Л = ск х Дг в формулу общего решения включаются слагаемые С хзе"* сов фх -~- С еле"" э1в)1х, если эти корни простые, и слагаемые Рь з(х)е 'сов фх -~- 1)в г(х)е"'сйнфх, 50 311. Линейные уравнения с пошпаянными ноэффициенгпами если каждый из корней о+ Д1 и а — Щ имеет кратность Ь. Здесь Ре-г и Яь е — многочлены степени Ь вЂ” 1, аналогичные многочлену в (3), их коэффициенты — произвольные постоянные.

Пример. Решить уравнение йч — 2у'~ — 16у'+ 32у = О. Пишем характеристическое уравнение Л' — 2Л вЂ” 16Л+ 32 = О. Разлагая левую часть на множители, находим корни: (Л вЂ” 2)(Л вЂ” 16) = О, (Л вЂ” 2) (Л+ 2)(Л + 4) = О, Л~ =Лз=2, Лз= — 2, Л4=2з, Ле= — 21. По изложенным выше правилам пишем общее решение у = (Се -~- Стх)е.

+ Сзе + С4 сое 2х + Се э!и 2х (степень многочлена С|-~-Сзх на 1 меньше кратности корня Л = 2). 2. Для линейных неоднородных уравнений с постоянными коаффициентамн и с правой частью, состоящей из сумм и произведений функций Ье + Ьгх + ... + Ь,х, е"*, сов фх, вшфх, частное решение можно искать методом неопределенных коэффициентов. Длн уравнений с правой частью Р (х)еэ', где Р (х) = Ьо+ -ьбгх ж ...