book48_1 (А.Ф. Филиппов - сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF)), страница 5

202 дгс!т+ (ху+сйху) с(у = О. 203. у(х + у) с!х + (ту+ 1) с!у = О. 204. у(уг + 1) с!х и- х(у — х + 1) с!у = О. 205. (г:г -!- 2х + у) с!т = (сг — Зхгу) с!у. 206. ус!х — хс!у = 2хзгб л с(х. 207. уг с!х + (ел — у) с!у = О. 206 хус!х (уз+ хгд+хг)с!у 209. хгу(ус!х+ хс!д) = 2у с(х+ х Од.

210. (хг — уг + у) с!х + х(2у — 1) с!у = О. 211. (2хгуг+ у) с!х+ (тзу — т) с!у = О. 212. (2хгуз — 1)ус!х+ (4хгуз — 1)хс!д = О. Решить уравнении 195 †2, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных. 17. Существование и единственность ресиекия 29 213. У(х + дг)с1х + хг(у — 1)с1у = О.

214. (хг — яп у) с(х+ хяп2ус1у = О. 215. х(1пу+ 21пх — 1) с(д = 2ус)х. 216. (хг+ 1)(2хс1х+ соаус(у) = 2хяпус1х. 212 (2хзуг у),(з. + (2хгуз — т) с(д О 216 хгуз + д ч (хзз1г х)ус О 219. (хг — у)с1х + х(у + 1)с(у = О. дг(ус(х 2х с(у) = хз(х с(у — 2у с(х) 9 7. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ 1.

Теорема существования и единственности решения уравнения у = 1(х, у) (1) с начальным условием у(хо) =ус. Пусть в замкнутой области ЗС ()х — хо~ ( а, ~У вЂ” Уо( ( Ь) функции ф и гз' непрерывньд. Тогда на некотором отрезке хо— — д < х < хо -~-д существует единственное решение уравнения (Ц, удовлетворяющее начальному условию у(хо) = уо. При этом можно взять д = шш (а;,~ 1, где а и Ь указаны выше, а га любое такое, что (Д < т в Л.

Последовательные приближения, опредевяемые формулами уа(х) = уо, уь(х) = уо -~- / ф(з, уь-с(з)) с1з, Ь = 1, 2, ь равномерно сходятсп к решению на указанном отрезке. 3 а м е ч а н и е. Для существования решения достаточно только непрерывности ф(х, у) в области й, но при этом решение может не быть единственным. ьТребоеаиие непрерывности Р'(у) можно заменить требованием ее ограниченности или условием Липшица; ~~(х,ус) — Г(х,уг)~ < й(ус — уг~ й = сопзь. 30 "37. Существование и единственность решения 2.

Система уравнений Уз = Уз(х1 У~1 ° ° ° 1 У )1 У = уо(х; Уы ° ° ° , Уь) (2) в векторных обозначениих записываетси так: у = ф(х; у) (3) где у = (уы ..., У„) и ф = (уы ..., ~„) — - векторы. Непрерывность вектор-функции ф означает непрерывность всех функций ры ..., 1, а вместо вс РассматРиваетсЯ матРица из частных производных в ', з, Й = 1, ...,п. оь Оеь1 Теорема существования и единственности решении и все утверждения и.

1 остаютсн справедливыми и для системы, записанной в виде (3). При этом ~у~ означает длину вектора у: ~у~ = = Як" +Н 3. Теорема существования и единственности решения для уравнения и;го порядка у'"' = Пх, у, у', "". у'" "). (4) у(хо) = уо, у'(хо) = уо, .; УЩ Н(хо) = уоЩ Н уравнение (4) имеет единственное решение. Уравнение (4) можно свести к системе вида (2), если ввести новые неизвестные функции по формулам у = ум у' = уз. у' = — ы = уз; ., у " ' = у . Тогда уравнение (4) сводится к системе ь ь Р у1 — уз уг — уз у — 1 — у у — ф(х: уз у ) которая явлнется частным случаем системы (2) и к которой применимы все утверждения п.

2. 4. Продолжение решений. Во многих случаях решение уравнения (1) или системы (2) существует не только на отрезке, указанвом в п. 1, но и на большем отрезке. Если уравнение (1) или система (2) удовлетворяет условиям теоремы существования в звмкнутой ограниченной области, то Пусть в области 11 функция ф и ее частные ароизводные лервого порядка ио у, у', ..., УЩ Н келрерьзвньб и точка (хо~ уо, уо, ° °, уо ) лежит внутри Ю. Тогда при начальньзх ( -Ц условиях З7. Существование и единственность решения 31 ~У(вь дН < а(*)М + б(х): н функции а(х) и Ь(х) непрерывны, то всякое решение можно про- должить на весь интервал сг < х < ~3.

221. Построить последовательные приближения уо, уы уг к решению данного уравнения с данными начальными условиями: а) у' = х — уг, у(0) = О. б) у' = уг + Зхг — 1. у(1) = 1. в) у' = д + е" ~, у(О) = 1. г) у' = 1+ хшпу, у(гг) = 2н. 222. Построить по два последовательных приближения (не считая исходного) к решениям следующих уравнений и систем: а) у'=2х+г, е'=у; у(1) =1, е(1) =О. б) — = у, †" = хг; х(0) = 1, у(0) = 2.

в) дн + у' — 2у = 0; у(0) = 1, у'(О) = О. г) — х = 31х; 1г х(1) =2, — * = — 1. бс е=г 223. Указать какой-нибудь отрезок, на котором существует решение с данными начальными условиями: а) у' = х+ уз, д(0) = О. б) у' = 2уг — х, у(1) = 1. в) — =1+в*, .х(1) =О. г) — ~=уз, — =хг, х(0)=1, у(0)=2. всякое решение можно продолжить до выхода на границу этой области. Если правая часть уравнения (Ц нлн системы (3) в области сг < х < (1, )гд~ < оо (а и,д могут быть конечными или бесконечнымн) непрерывна н удовлетворяет неравенству 32 З 7. Существование и единственность решения У к в з в н и е. Оценить остаток ряда, сходимость которого доказывается в теореме существования решения, см.

[1), гл. П, г 1; [2), з 15. 225. Пользуясь каким-либо достаточным условием единственности, выделить области на плоскости т, у, в которых через каждую точку проходит единственное решение уравне- ния а) у' = 2ту+ уг, б) у' = 2+ егер 22 х, в) [х — 2)у' = /у — ш, г) у' = 1+сду, е) ту у ! /дг шг д) (у — ш)у' = у!пт,, 226. При каких неотрицательных о нарушается единственность решений уравнения у' = [у[' и в каких точках? 227. С помощью необходимого и достаточного условия единственности для уравнений вида у' = г[у) [см.[Ц, гл. П1, 2 4, п.

1,мелкий шрифт или [2), 2 4) исследовать написанные ниже уравнения. Выделив области, где у[д) сохраняет знак, приближенно изобразить на чертеже решения. Для уравнений д) и е) правые части при у = 0 доопределяются по непрерывности. а) у' = (/гуг, д) у' = д1пу, б) у' = уб у + 1, г) д' = агссозд, е) у' = д1п у. 228. При каких начальных условиях существует единственное решение следующих уравнений и систем? а) ун = 18 у+,)~л в) [ш — у)у'ун' = 1пшу, б) [ш+ 1)ун = у+ гу, г) ун уун' — Ьегу~ ор е) — = уг + 1п[1+ 1) г' — = Ьу — Г 4! еЫ 224*. Для уравнения у' = х — уг с начальным условием у[0) = 0 построить третье приближение к решению и оценить его ошибку при 0 < и < 0.,5.

З?. Существование и единственность решения 33 229. Могут ли графики двух решений данного уравнения на плоскости х, д пересекаться в некоторой точке (хо, уо) а) для уравнения у' = х, + дг? б) для уравнения ун = х + уг? 230. Могут ли графики двух решений данного уравнения на плоскости х, у касаться друг друга в некоторой точке (хо, Уо) а) для уравнения у' = т + дг? б) для уравнения дн = х+ уг'? в) для уравнения ун' = х + у ? 231.

Снолько существует решений уравнения убб = х+ + уг, удовлетворяющих одновременно двум условиям: у(0) = = 1, у'(О) = 2? Рассмотреть отдельно случаи п = 1, 2, 3. 232. Сколько решений уравнения дбй =,?(х, у) (г" и /„' непрерывны на всей плоскости х, у) проходит через точку (хе, уо) по заданному направлению, образующему угол сь с осью Ох? Рассмотреть случаи п = 1, п = 2 и и, > 3. 233. При каких и уравнение дбй = 1(х, у) (?' и ~„' непрерывны) может иметь среди своих решений две функции: уг — — х, уг — — х+х . 4г 234. При каких п, уравнение дрб =- 1(х, д, д', ..., У<в 0) с непрерывно дифференцируемой функцией ?' может иметь среди своих решений две функции: уг — — х, уг = в|ах? 235'.

Пусть 1(х, у) непрерывна по х, у и при каждом х не возрастает при возрастании у. Доказать, что если два решения уравнения д' = ? (хь у) удовлетворяют одному и тому же начальному условию у(хе) = уе, то они совпадают при х > хе. 236. Сколько производных имеют решения следующих уравнений и систем в окрестности начала координат? (Теорему о гладкости решений см. (2), 3 19 или (4), 3 6, теорема 1.4.) а) уь х + дг?з б) у' х~х~ дг в) дн = ~х'~ + у", г) дн' = д — ухь , + „ бд , + г~П Ф '' сМ е) дх — уг + б??4 ос ' <И 34 18. Уравнения, не разрешенные относительна производной 237*. При каких о каждое решение продолжается на бесконечный интервал — ссз < х < +ос а) для уравнения д' = [д[а? б) ддя уравнения д' = (уз + ее) ? В) дая уранивиня у' = [д[а 1+ (Хвь уд) ? г) для системы д' = (уз + зз + 2) ', з' = у(4+ зз)а? 238*. Для следующих уравнений доказать, что решение с произвольным начальным условием у(хо) = уо существует при хо < х < -1-сю: а) у~ „з уз б) у' = хд+ е '".

239*. Пусть на всей плоскости х., д функции «(х, у) и ~„'(х., у) непрерывны и «„'(х., у) < н(х), функция н(х) непрерывна. Доказать, что решение уравнения у' = «(х, у) с любым начальным условием у(то) = уо существует при хо < т, < +ее. 240*. Дана система в векторной записи у' = «(х, у), удовлетворяющая условиям теоремы существования в окрестности каждой точки (х, д). Пусть в области [у[ ) б при всех х д «(х, у) < я(х)[у[, где д « -- скалярное произведение, а функция д(х) непрерывна. Доказать, что решение с любым начальным условием у(ха) = уо существует при хо < х < +со. 38.

УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ 1. Уравнения вида Р(х, у, д') = О можно решать следующими методами. а) Разрешить уравнение относительно у', т. е. нз уравнения Р(х, у, у') = О выразить у' через х н д. Получится одно нлн несколько уравнений вида у = «(х, у). Каждое нз них надо решить. б) Метод введения параметра'. гздесь ивяегаетси простейший вариант этого методе. Более общий ввривит см.

[1[, гл. 111, З 3, п. 1. 58. Уравнения, не разрешенные относительно производной 35 Пусть уравнение Г(х, у, у ) = О можно разрешить относительна у, т. е. записать в виде у = 1(х, у~). Введя параметр пу р= =у нх получим у=йх,р). (2) Взяв полный дифференциал от обеих частей равенства (2) и заменив Йд через рдх (в силу (1)), получим уравнение вида М(х, р) г(х ф Ж(х, р) бр = О. Если решение этого уравнения найдено в виде х = р(р), то, воспользовавшись равенствам (2), получим решение походного уравнения в параметрической записи: х = р(р), у = ~(1о(р), р). Уравнения вида х = )(у, д~) решаются тем же методом. Пример.