book48_1 (А.Ф. Филиппов - сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF)), страница 6

Решить уравнение у = х+ д' — 1пу~. Вводим параметр р = у: р — 1 (р — 1) йх = бр. р (4) а) Если р ф 1, то сокращаем на р — 1: г(х = —, х = 1пр+ С. бр р' Подставляя это в (3), получаем решение в параметрической записи: (5) х=!пр+С, у=р+С. В данном случае можно исключить параметр р и получить решение в нвном виде. Для этого из первого из уравнений (5) выражаем р через х, т. е.

р = е* ~. Подставляя это во второе уравнение, получаем искомое решение: у=е' -1-С. (б) б) Рассмотрим случай, когда в (4) имеем р = 1. Подставляя р = 1 в (3), получаем еще решение (7) д=х+1. д = х+ р — !пр. (3) Берем полный дифференциал от обеих частей равенства и заменяем бу нарбх в силу (1): бу = бх+бр — эл, рг(х = Ох+бр — эх. Решаем полученное уравнение.

Переносим члены с г(х влево, с г(р — — вправо: 36 З 8. Уравнения, яе разрешенные относите ььло проиэеодяоб Р(х,у,р)=0 (8) удовлетворяет также уравнению дг'(х, у, у') Др! (9) Поэтому, чтобы отыскать особые решения уравнения (8), надо исключить р' из уравнений (8) и (9). Полученное уравнение ф(х, у) = = 0 называется уравнением дискримияаятяоб криной. Длн каждой ветви дискриминантной кривой надо проверить, явлнется ли зта ветвь решением уравнения (8), и если явлнется, то будет ли зто решение особым, т. е. касаютсн ли его в каждой точке другие решения.

П р и м е р. Найти особое решение уравнения у=х-Ьу — !пу. Дифференцируем обе части равенства по р'. (10) 1 0 = 1 — —,. У (11) Исключаем р' из уравнений (10) н (11). Из (11) имеем р' = 1: подставляя зто в (10), получаем уравнение днскриминантной кривой (12) у=я+1. Проверим, будет ли кривая особым решением. Для этого сначала проверяем, является ли она решением уравнения (10). Подставляя (12) в (10). получаем тождество х ф 1 = х -Ь 1. Значит, кривая (12) — решение.

ьЭто определение взято нэ [1). Есть к другие определекня, яе равносильные этому. (Было бы ошибкой в равенстве р = 1 заменить р на у' и, проинтегрировав, получить у = т -Ь С.) 2. Решение у = д(х) уравнении Г(х, у, у') = 0 называется особым, если через каждую его точку, кроме этого решения, проходит и другое решение, имеющее в этой точке ту же касательную, что и решение у = !о(х)., но не совпадающее с ним в сколь угодно малой окрестности этой точки . Если функция Г(х, у, д ) и производные а и а, непрерывны, Р дг дк то любое особое решение уравнении 38. Уроелелил, не разрешеляые относительно лроизеодлоб 37 Теперь проверим, нвляется ли зто решение особым, т. е.

кеса- ются ли его в каждой точке другие решении. В п. 1 было найдено, что другие решения выражаются формулой (6). Пишем условия ка- саниЯ кРивых У = Уг(л) и У = Уг(ш) в точке с абсциссой тэ.' Уг(ло) = Уг(ло) Уг(ко) = Уг(хе) (13) Ф( С) О ПФ(*, „, С) ПС и проверить, будет ли полученная кривая огибающей, т, е, касают- ся ли ее в каждой точке кривые семейства.

Эту проверку можно провести изложенным в конце и. 2 методом, используя условия ка- сания (13). В задачах 241 — 250 найти все решении данных уравнений; выделить особые решения (если они есть); дать чертеж. 241. У' — Уг = О. 242. 8У' = 27У. 243. (у'+ 1)з = 27(ш+ у)з, 245. Уз(У' + 1) = 1, 245 Уг 4уз О 247. лу' = у. 249. У' + Уг = УУ'(У' + 1). 246 у'г 4уз(1 у) 245.

УУ' + л = 1. Для решений (6) и (12) эти условия принимают вид е" ~ -Ь С = = те-~-1, е" ~ = 1. Из второго равенства имеем С = ле, подставляя это в первое равенство, получаем 1 -Ь ее = ло + 1. Это равенство справедливо при всех ко. Значит, при каждом ле решение (12) в точке с абсциссой лэ касается одной из кривых семейства (6), а именно той кривой, для которой С = лэ. Итак, в каждой точке решение (12) касается другого решения (6), не совпадающего с ним. Значит, решение (12) — особое. Если семейство решений записано в параметрическом виде, как в (б), то выполнение условий касания проверяется аналогично.

При этом надо учесть, что у' = р. 3. Если семейство кривых Ф(л, у, С) = О, являющихся решенинми уравнения Г(л. у, у') = О, имеет огибающую у = гг(л), то эта огибающая является особым решением того же уравнения. Если функции Ф имеет непрерывные первые производные, то для отыскания огибающей надо исключить С из уравнений 38 28. Уравнения, не разретеннезе отноеителано производной 250. 4(1 — у) = (Зу — 2)2у' . 252. ху'(ху'+ у) = 2у2.

254. ху' = у(2у' — 1). 256. у' + (х + 2)е" = О. 253. хд' — 2уу' + х = О. 255. у' + х = 2у. 257. у' — 2ху' = 8х2. 258. (хд'+ Зу) = 7х. 259. у' — 2ду' = у (е — 1). 260. у'(2у — у') = уз э1п х. з4+ 2 4 262. х(у — ху')2 = тд' — 2уд'. 263. у(. дз — д)' = у — 2 у'. 264. уу'(уу' — 2х) = хз — 2у2, 265. д' + 4хд' — у2 — 2хлд = х4 — 4х2.

266. у(д — 2хд')2 = 2у'. Уравнении 267 — 286 решить методом введения параметра. 267. х = д' + у'. 268. х(у' — 1) = 2у' 269. х = у'~/у'~ + 1. 271. у = у' 4- 2у' . 270. у'(х — 1пу') = 1, 272. д =!п(1+ д' ). 274. у = (у' — 1)е" . (у + це („з у)2 275 уз4 уз2 у2 277. у' = 2уд'+ уз. 279. бу+ у' = т(т+ д'). 281.

у' 4- у2 = хуу'. 283. у' = еии зо. 276. д' — у' = у2. 278. у' — 2ху' = — 4у. 280. хзу' = хуу'+ 1. 282. 2ху' — у = у'!пуд'. 284. д = ху' — хзу' . Уравнении 251 — 266 разрешить относительно у', после этого общее решение искать обычными методами (Я 2,4,5,6). Найти также особые решении, если они есть. 251. у'2 -> ху = у2 + ху'. З 9. Разные уравнения первого порядка 285.

у = 2ху'+ угу' . 286. у(у — 2хд')з = уж, Решить уравнения Лагранжа и Клеро (задачи 287 — 296). 287. у = ту' — у' . 289. у = 2ху' — 4у' . 288. у + ту' = 4~у'. 290. у = ху' — (2 + у'). 292. у = ху' — 2д' . 291. у' = 3(ху' — д). 293. ху' — у = 1пд'. 294. ху'(у' + 2) = у. 295. 2у' (д — ху') = 1.

296. 2т,у' — у = 1пу'. 297. Найти особое решение дифференциального уравнения, если известно семейство решений етого уравнения: а) у =Схз — С, в) у = С(х — С), б) Су = (х — С), г),у =Су — С . 39. РАЗНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА' Решить уравнения 301 — 330 и построить графики их решений. 301. ху'+ ха +ху — у = О. 302. 2ху'+ уз = 1. 303.

(2хдз — у) с1х + х бу = О. 304. (ху'+ у) = хзу'. 305. у — у' = уз +ху'. 307. у' — д'ез = О. 306. (х+ 2у )у' = у, Все задачи 19 решаются изложенными ранее методами. 298. Найти кривую, каждая касательная к которой образует с осями координат треугольник площади 2аз. 299. Найти кривую, каждая касательная к которой отсекает на осях координат такие отрезки, что сумма величин, обратных квадратам длин этих отрезков, равна 1. 300.

Найти кривую, проходящую через начало координат и такую, что отрезок нормали к ней, отсекаемый сторонами первого координатного угла, имеет постоянную длину, равную 2. й9. Разные уравнения первого нарядна 334. Зу' — ху'+ 1 = О. 335. уу'+ да с18х = совх. 336. (е" + 2ху) е!х + (е" + х) х е!у = О. 337. ху' = у — у'. 338. х(х+ 1)(д' — 1) = у. 339. у(у — ту') =. ~Й~+ уе. 340. ху'+ у =!пу'.

341. х~(е!у — е!х) = (х+ д)ус!х. 342. у' + х,'е у у= Зу. 343. (хсову+ в!п29)у' = 1. 344. у' — уд' + ее = О. 345. у' = — пег ' + у. 346. (ху' — зу)з = д' — 1. 347. (4хд — З)у'+ да = 1. 348. у',/х = ~/у — х+ н/х. 349. ху' = 2 гусоях — 2у. 350. Зд' = у'+ д. 351 уа(д хд') — хздг 352. у' = (4х + д — 3) . 353. (совх — хв!пх)ус!х+ (хсовх — 2у) е!у = О. 354. ха у' — 2хуу' = ха + Зуз. 355.

-*"-+ 2ху1пх+ 1 = О. 356. ху' = х;/у — ха + 2д. ЗЛ. (1- 'у)6х+ .'(д- )Од=о. 358. (2хеи + р4)д' = уе". 19. Разные уравнения первого порядка 359. ху'(1пд — 1пх) = у. 360. 2у' = х+ 1пу'. 361. (2хгу — Зуг)д' = бхг — 2хдг+1. 362. уу' = 4х+ Зу — 2. 363. угд'+ ха в1пг х = дг агах. 364. 2ху' — у = яп у'. (хгуг + 1)у+ (ху 1)гхзз' О 366. уяпх+ у'совх = 1. 367.

хну — уйх = х~/к~+ уге1х. 368. уг+хгу' = ту(у' + у' ). 369. д' =,зз2х — у+ 2. 370. (х — дсоь У) йх+ хсов У е1у = О. ззз. з(.'з+ Озг 'з) з*+..'аз =ю. 372. (д' — х Д) (хг — 1) = ху. 373. у' + (у' — 2у')х = Зу' — у. 374. (2х + Зд — 1) бх + (4х + бу — 5) е1у = О. ЗТЬ. (2хуг — у)бх+ (да + х+ у) бу = О. 376. у = у'~/1+ у' . 377. уг = (хуу'+ 1) 1пх. 378. 4у = хг + у' . 379. 2хе1д+ де1х+ хуг(хйу+ уе1х) = О.

380. хе1х+ (хг сфбу — Зсову) с1у = О. 381. хгу' — 2(ху — 2)у'+ уг = О. 382. ху' + 1 = е 383. у' = 18(у — 2х). 384. Зх' — у = у'их'+ 1. 44 210. Уравнения, допускающие понижение порядка 407. Уу'+ т 2 т „„з 400. (х,Я+1+1) (уз+1)4. = худу. 410. (тз + уз + 1)уу' + (хз + уз — 1) х = О. 411. уз(т, — 1) с1х = х(ху + х — 2у) с1у.

412. (хус — у)з = тзуз — хл. 418..., ' — ' усуз + 1 = (х + 1)(уз + 1), 414. (хз — 1)у'+ у~ — 2хд+ 1 = О. 415. у'сну+ 4хз сову = 2х. Р 416. (:оу' — у)з = у' — — + 1. 417. (х + у) (1 — ху) с1х + (х + 2у) йу = О. 418. (Зху+ х+ у)ус1х+ (4ту+ х+ 2у)хс1у = О.