book48_1 (А.Ф. Филиппов - сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF)), страница 3

Количество света, поглощаемое слоем воды малой толщины, пропорционально количеству падающего на него света и толщине слоя. Слой воды толщиной 35 см поглощает половину падающего на него света. Какую часть света поглотит слой толщиной в 2 м? Для составления дифференциального уравнения в задачах 88 — 90 за неизвестную функцию удобнее взять скорость. Ускорение силы тяжести считать равным 10 м,~сея . 88.

Парашютист прыгнул с высоты 1,5 км, а раскрыл парашют на высоте 0,5 кль Сколько времени он падал до раскрытии парашюта? Известно, что предельная скорость падении человека в воздухе нормальной плотности составляет 16 З 3. Геометрические и физические задами 50 м,~сея. Изменением плотности с высотой пренебречь. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости. 89. Футбольный мяч весом 0,4 кГ брошен вверх со скоростькз 20 м/сек. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости н равно 0,48 Г при скорости 1 м ~сея.

Вычислить время подъема мяча и наибольшую высоту подъема. Как изменятсн эти результаты, если пренебречь сопротивлением воздуха? 90. Вычислить время падения мяча с высоты 16,3 м без начальной скорости с учетом сопротивления воздуха (см. задачу 89). Найти скорость в конце падения. В задачах 91 — 95 принять, что жидкость из сосуда вытекает со скоростью., равной 0,6чз2дй, где 8 = 10 м,~секз— ускорение силы тнжести, Й -- высота уровня воды над отверстием.

91. За какое время вытечет вен вода из цилиндрического бака диаметром 2Л = 1,8 м и высотой Н = 2,45 м через отверстие в дне диаметром 2г = 6 см? Ось цилиндра вертикальна. 92. Решить предыдущую задачу в предположении, что ось цилиндра расположена горизонтально, а отверстие находится в самой нижней части цилиндра. 93. Цилиндрический бак поставлен вертикально и имеет отверстие в дне. Половина воды из полного бака вытекает за 5 минут. За какое время вытечет вся вода? 94. Воронка имеет форму конуса радиуса й = 6 см и высоты Н = 10 см, обращенного першиной вниз.

За какое время вытечет вся вода из воронки через круглое отверстие диаметра 0,5 сл, сделанное в вершине конуса? 95. В прямоугольный бак размером 60 см х 75 см и высотой 80 см поступает 1,8 л воды в секунду. В дне имеется отверстие площадью 2,5 смз. За какое время наполнится бак'? Сравнить результат с временем наполнения такого бака без отверстия в дне.

96. Резиновый шнур длиной в 1 м под действием силы 1' кГ удлиняется на ?с? метров. На сколько удлинится такой же шнур длины 1 и веса Р под действием своего веса, если его подвесить за один конец'( 17 З 4. Однородные уравнения 97. Найти атмосферное давление на высоте Ь, если на поверхности земли давление равно 1 нГ/смз и плотность воздуха 0,0012 ггхсмз.

Использовать закон Бойля †Мариот, в силу которого плотность пропорциональна давлению (т. е. пренебречь изменением температуры воздуха с высотой). 98. Для остановки речных судов у пристани с них бросают канат, который наматывают на столб, стоящий на пристани. Какая сила будет тормозить судно. если канат делает три витка вокруг столба, коэффициент трения каната о столб равен 1/3, и рабочий на пристани тянет за свободный конец каната с силой 10 нГ? 99. В закрытом помещении объемом о мз находится открытый сосуд с водой. Скорость испарения воды пропорциональна разности между количеством аз водяного пара, насыщающего 1 мз воздуха при данной температуре, и количеством а водяного пара, имеющемся в 1 мз воздуха в рассматриваемый момент (считаем, что температура воздуха и воды, а также величина площади, с которой происходит испарение, оста1отся неизменными).

В начальный момент в сосуде было зпо гРамм воды, а в 1 мз воздУха оо гРамм паРа. Сколько воды останется в сосуде через промежуток времени 1? 100. Масса ракеты с полным запасом топлива равна М, без топлива т, скорость истечения продуктов горения из ракеты равна с, начальная скорость ракеты равна нулю. Найти скорость ракеты после сгорания топлива, пренебрегая силой тяжести и сопротивлением воздуха (формула Циолковского). В 4.

ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Однородные уравнения могут быть записаны в виде у' = = 1 (д), а также в виде М(х., у) дх+?х'(х, у) <1у = О, где М(х, у) и )х'(х, у) — однородные функции одной и той же степени'. Чтобы решить однородное уравнение, можно сделать замену у = 1х, после чего получается уравнение с разделяющимися переменными. П р и м е р. Решить уравнение х ду = (х + у) дх. Функция М(х, у) нззыззетед однородной функцией степени и, если ддн всех Ь З 0 имеем М(дх, Ьу) = Ь"М(х, у). 18 34. Однородные уравнения Это уравнение — однородное.

Полагаем у = Сх. Тогда с!у = = хЖ+ 4с1х. Подставляя в уравнение, получим х! иП+Сдх) =(а+ух)дх; *61=6 . Решаем полученное уравнение с разделнющимися переменными Возвращаясь к старому переменному д, получим у = х(!и ~х~+ С). Кроме того, имеется решение х = О, которое было потеряно прн делении на х. 2. Уравнение вида д' = у (лслт"-ьт — +-'г) приводится к однородн-ьт+, ному с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых ох -~-!нт-~-с = О и осх-'т Ьсд-'те, = О.

Если же эти прямые не пересекаютсн, то асх -Ь Ьсд = Ь(пх -1- Ьд); следовательно, уравнение имеет вид д' = Р(ах + Ьу) и приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой г = ох + Ьд (нли з = ах + Ьд + с), см. 3 2, и. 2. 3. Некоторые уравнении можно привести к однородным заменой у = з . Число тп обычно заранее не известно. Чтобы его найти, надо в уравнении сделать замену у = з .

Требун, чтобы уравнение было однородным, найдем число тп, если зто возможно. Если же зтого сделать нельзя, то уравнение не приводится к однородному этим способом. Пример. Дано уравнение 2хсуу +у = 4хо. После замены д = = г- уравнение примет вид 2тпх'™-1'+ геп = 4хе. Это уравнение будет однородным в том случае, когда степени всех его членов равны между собой, т. е, 4 + (2сп — 1) = 4пс = 6. Эти равенства удовлетворнются одновременно, если тп = 3/2. Следовательно, уравнение можно привести к однородному заменой у = з~т . Решить уравнения 101 — 129. 101. (х+ 2д) с)х — хс1у = О. 102. (х — д) с)х + (х + у) с)д = О. 103.

(уг — 2хд) с)х + хг с1у = О. 104. 2хзу' = д(2хг — уг). 105. дг + хгу' = хду'. 100 Схг 1 угУ г 4. Однородные уравнения 10T. ху' — у = х ск —,". 108. ху' = д — хевс 109. ху' — д = (х + у) 1п — ~-". 110. ху' = усов)пл. 1П. (д + ссхд) йх = х 4У. 11г, ху' = Й2 — у2+д, 113. (2х — 4д + 6) Йх + (х + у — 3) с1у = О. 114. (2х + у + 1) с1х — (4х + 2у — 3) ссу = О. 115. х — у — 1+ (у — х+ 2)у' = О. (х+ 4у)д' = 2х+ Зу — 5. 11T. (у + 2) Ох = (2х + д — 4) с1д. 118. ц' = 2 ( 119. (д'+ 1) 1п х+3 х+3 1гО.

у' = +28 у+2 у — 2х х+1 х+1 ' 121. хг(у' — х) = уг. 122 2х2д' = уз+ ху 1гз. гх йу+ ( где+ Цсу 4х = О. 124. ус1х+ х(2ху+ 1) с1у = О. 125. 2У'+ х = 4 ссУ. 120 ус уг г 12т. 2.у'д „=д ~/* — * с 2 уус С,.В 94+ г 129. 2у+ (хгу+ 1)ху' = О. 130. Найти траектории, пересекающие кривые данного семейства под углом в 45', причем этот угол от касательной 20 "З 5. г1инебнме уравнения первого порядка к кривой до касательной к траектории отсчитываетсн в отри- цательном направлении, а) д = х)пСх; б) (х — Зд) = Схдв. 131. Найти кривую, у которой точка пересечения любой касательной с осью абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат. 132.

Найти кривую, у которой расстояние любой касательной от начала координат равно абсциссе точки касания. 133. При каких о и )з уравнение д' = ахи+ +бдд приводится к однородному с помощью замены д = зш? 134'. Пусть гео -- корень уравнения 1(к) = к. Показать, что: 1) если д"г(но) ( 1, то ни одно решение уравнения д' = = 1(д/х) не касаетсЯ пРЯмой д = ног в начале кооРдинат; 2) если 1'(ко) > 1г то этой пРнмой касаетсЯ бесконечно много решений. 135. Начертить приближенно интегральные кривые следующих уравнений (не решая уравнений): 2дз г б) д' = хд д(2д — х) а)д= / дз г*) хдг = д+ г)ддзз+ д 2дз хзд в) д'= 2:взд — хз У к а з а н и е.

Тангенс угла между лучом у = йх и пересекающей его интегральной кривой уравнения д = ((д,гх) равен (т(н) — и) г' (1+ Йг (я)) (почемуу). для приближенного построения интегральных кривых надо исследовать знак этой дроби в зависимости от й. 3 5. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1. Уравнение у + а(х)у = Ь(х) д ж а(х)д = б (2) называется линейным. Чтобы его решить, недо сначала решить уравнение З 5. Линейные уравнения первого порядка 21 (это делается путем разделения переменных, см. з 2) и в общем решении последнего заменить произвольную постоянную С на неизвестную функцию С(х). Затем выражение, полученное для у, подставить в уревнение (1) и найти функцию С(х). 2.

Некоторые уравнения становятся линейными, если поменнть местами искомую функцию и независимое переменное. Например, уравнение у = (2х+у )у', в котором у нвляется функцией от х, нелинейное. Запишем его в дифференциалах: удх — (2х+ + у )г1у = О. Так как в это уравнение х и г1х входят линейно, то уравнение будет линейным, если х считать искомой функцией, а у - — независимым переменным.

Это уравнение может быть записано в виде Йх 2 г — — — х=у ду у и решается аналогично уравнению (1). 2. Чтобы решить уравнение Бернулли, т. е. уравнение у -~- а(х)у = Ь(х)у", (и ~ 1), надо обе его части разделить на у" и сделать замену 1/у" ' = г.