book48_1 (А.Ф. Филиппов - сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF)), страница 4

После замены получается линейное уравнение, которое можно решить изложенным выше способом. (Пример см. в (1), гл. 1, 2 4, п. 2, пример 10.) 4. Уравнение Риккати, т, е, уравнение у + а(х)у+ Ь(х)у = с(х), в общем случае не решается в квадратурах. Если же известно одно частное решение уг(х), то заменой у = уг(х) + г уравнение Риккати сводится к уравнению Бернулли и таким образом может быть решено в квадратурах. Иногда частное решение удается подобрать, исходя из вида свободного члена уравнения (члена, не содержащего у). Например, для уравнения у -Ьу = х — 2х в левой части будут члены., подобные г г членам правой части, если взять у = ах+Ь.

Подставляя в уравнение и приравнивая коэффициенты при подобных членах, найдем а и Ь (если частное решение указанного вида существует, что вовсе не всегда бывает). Другой пример: для уравнения у' + 2уг = О/х те же рассуждения побуждают нас искать частное решение в виде У = аггх. ПодставлЯн У = а,гх в УРавнение, найдем постопннУю а. Решить уравнения 136 — 160. 136. ху' — 2у = 2хг. 22 З 5.

Линейные уравнения первого порядка 137. (2х + 1)у' = 4х + 2у. 138. у' + д18 х = вес х. 139. (ту+ е ) Ох — яду= О. 140. тзу'+ ту+ 1 = О. 141. д = х(у' — х сов х). 142 2х(х' + у) Ох = Оу 143. (ху' — 1) 1пх, = 2у. 144. ту'+ (х + 1)у = Зхзе 145. (х+ уз) Ад = ус(т. 146. (2е" — т)у' = 1. 147.

(зсп у+ хс$8у)у' = 1. 148. (2т+ у) с1у = у4х+ 41пуйд. д =а~~ 149. 150. (1 — 2ху)у' = у(у — 1). 151. у'+ 2д = ухе*. 152. (, +1)(д'+д ) = — у. 153. у' = уссозх+усйх. 154. тузу' = хе+ уз. 155. ту с(у = (дз + х) с1х. 156. ху' — 2хз сд = 4д. 157. тд'+ 2у+ таузен = О. 2у' — -* =:4У-. Н ее — 1' 158. 159. у'хз зсп у = тд' — 2д. 160.

(2хзу1ву — т)у' = у. С помощью замены переменных или дифференцирования привести уравнения 161 — 166 и линейным и решить их. З б. Линейные уравнения первого порядка 23 161. х с1х = (хз — 2у + 1) с1у. 162. (х+ 1)(уу' — 1) = у . 163. х(е" — у') = 2.

1 64. (ха — Ц у' а си д + 2х сов у = 2х — 2 хе. т 165. у(х) = ) у(1) сМ+ х+ 1. о 166. )'(х — 1) у(1) сИ = 2х + ) у(Ц Ж о о В задачах 167 — 171, найдя путем подбора частное решение, привести данные уравнения Риккати к уравнениям Бернулли и решить их. 167. хзу'+ ту+ х,'у' = 4. 168. Зд'+ уз+ з, = О. 160 хус (2х+ Цу+ уз хг 170. у' — 2хд+ у = о — х 171. у'+ 2уее — уз = езе + ее. 172. Найти траектории, ортогональные к линиям семейства уз = Сее + х + 1.

173. Найти кривые, у которых площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и ординатой точки касания, есть величина постоянная, равная Заз. 174. Найти кривые, у которых площадь треугольника, ограниченного касательной. осью абсцисс и отрезком от начала координат до точки касании, есть величина постоянная, равная оз.

175. В баке находится 100 я раствора, содержащего 10 кг соли. В бак втекает 5 л воды в минуту, а смесь с той же скоростью переливается в другой 100-литровый бак, первоначально наполненный чистой водой. Избыток жидкости из него выливается. Когда количество соли во втором баке будет наибольшим? Чему оно равно? 176.

За время Ь~ (где Ы очень мало и выражено в долях года) из каждого грамма радия распадается 0,00044 Ы грамма 24 Ь 5. Линейные уравнения лервого нарядна и образуется 0,00043 Ьт грамма радона. Из каждого грамма радона за время сгг распадается 70 Ы грамма. В начале опыта имелось некоторое количество хо чистого радия. Когда количество образовавшегосн и еше не распавшегося радона будет наибольшим7 17Т. Даны два различных решения у1 и уз линейного уравнения первого порядка. Выразить через них общее решение этого уравнения. 178. Найти то решение уравнения у' э|п 2х = 2(у + соз х), которое остаетсн ограниченным при х -+ л/2.

1ТО'. Пусть в уравнении ху' + ау = 1(х) имеем а = = сопят > Ог г'(х) †) Ь при т †> О. Показать, что только одно решение уравнения остается ограниченным при х -~ О, и найти предел этого решения при х -~ О. 180'. Пусть в уравнении предыдущей задачи а = сопле < О, 7(х) -~ Ь при х †> О.

Показать, что все решении этого уравнения имеют один и тот же конечный предел при х †> О. Найти этот предел. В задачах 181 †1 искомое решение выражаетсн через интеграл с бесконечным пределом. 181'. Показать, что уравнение ф + х. = Я), где ~У(у)~ < М при † < ~ < +ос, имеет одно решение, ограниченное при -оо < г < +ос.

Найти это решение. Показать, что найденное решение периодическое, если функции Г(г) периодическая. 182". Показать, что только одно решение уравнения ху'— — (2хз+1) у = хз стремится к конечному пределу при х -+ +ос, и найти этот предел. Выразить это решение через интеграл. 183'. Найти периодическое решение уравнения у' = 29 соэз х — эгпх. 184*. Пусть в уравнении Я+а(г)х = Я) а(г) > с > О, 7(г) — ~ 0 при Ь вЂ” ~ +ос. Доказать, что каждое решение этого уравнения стремится к нулю при е — ~ +ос.

3 6. Уравнения в иолных дифференциалах 25 185'. Пусть в уравнении предыдущей задачи имеем о(Ь) > с > О и пусть хо(1) решение с начальным условием хо(О) = Ь. Показать, что длн любого е > О существует такое 5 > О, что если изменить функцию )'(1) и число Ь меньше, чем на Ь (т. е.

заменить их на такую функцию )г(1) и число Ьг, что !.)г(1) — Д1)! < д, (Ьг — Ь) < 5), то решение хо(1) изменится при 1 > О меньше, чем на е. Это свойство решения называется устойчивостью по постоянно действующим возмущениям. ~ 6. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ. ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ 1. Уравнение М(х, у) бх -Ь ггс(х, у) с1у = О (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции Г(х, у). Это имеет место, если = —. Чтобы решить урав- дМ дггг ду дх пение (1),надо найти функцию Г(х, у), от которой полный дифференциал ОГ(х, у) = Г,'с1х -Ь Гсс(уг равен левой части уравнения (1). Тогда общее решение уравнения (1) можно написать в виде Г(х, у) = С, где С вЂ” произвольная постояннан.

И р и м е р. Решить уравнение (2х ф Зт, у) бх -~- (хэ — Зу ) с1у = О. (2) Так как †(2х -Ь Зх у) = Зх , †, (х — Зу ) = Зх, то уравнение (2) д,е . е д э ду ' ' дх явлнется уравнением в полных дифференциалах. Найдем функцию Г(х, у), полный дифференциал которой с1Г = Г' с1х -Ь Ги' с(у был бы равен левой части уравнения (2)., т.

е. такую функцию Г, что Г,' = 2т -Ь За~у, Г„' = хэ — Зуг. (3) Интегрируем по х первое из уравнений (3), считая у постоянным; при этом вместо постоянной интегрирования надо поставить гр(у) — неизвестную функцию от у: Г=~(2х+Зх у)с1х=х +х гс+иг(у). 26 36.

Уравнения в полных дифференциалах Подставлня это выражение для )в во второе из уравнений (3), най- Дем 32(У): (х -1-х у-Ь 12(у)) = х — Зу; х (у)= — Зу; х(д)= — у +сонат. 2 4 3 3 2. Интегрирующим множителем для уравнения М(х, у) е(х -~-)2'(х, у) г(у = О (4) называется такая функция ят(х, у) ф О, после умножении на которую уравнение (4) превращается в уравнение в полных дифференциалах. Если функции М и )2' в уравнении (4) имеют непрерывные частные производные н не обращаются в нуль одновременно, то интегрирующий множитель существует. Однако нет общего метода для его отыскания (когда общее решение уравнения (4) неизвестно). В некоторых случаях интегрирующий множитель можно найти с помощью приемов, изложенных в (1], гл.

П, 3 3, и. 3 или в [4], гл. 1, 2 5. Для решения некоторых уравнений можно применить метод выделения полных дифференциалов, использун известные формулы: г)(ху) = де)х+ хду, г((у~) = 2де(д, П р и м е р. Решить уравнение у бх — (4хеу -> х) г1у = О. (5) Сначала выделяем группу членов, представляющую собой полный дифференциал. Так как у г)х — х бу = — хт г((у/х), то, деля уравнение (5) на — х, имеем г) (-д) -Ь 4(2д') = О.

6 (-д) -ь 4у бд = О, Это — уравнение в полных дифференциалах. Интегрируя непосред- ственно (приводить к виду (1) не нужно), получаем решение У +Зд х Следовательно, можно взять Г(х, у) = хз -1- хзу — уз, и общее ре- шение уравнения (2) будет иметь вид гб. Уравнения е полных дифференциалах 27 Кроме того, при делении на — хг было потернио решение х = О. Замечание. Так как после делении уравнения (5) на — хг, т. е. умножения на — 1ссх, получилось уравнение в полных диффег ренциалах, то интегрирующий множитель длн уравнения (5) равен г 3. Если в уравнении (4) можно выделить полный дифференциал некоторой функции со(х, д), то иногда уравнение упрощается, если от переменных (х, у) перейти к переменным (х, з) или (у, з), где з = ср(хс у).

Примеры. 1) Решить уравнение ус1х — (хзу+ х) с)у = О. Выделив полный дифференциал как в предыдущем примере, получим с1( — ) фхуду = О. Перейдя к переменным з = усх и у, получим уравнение с1з+ — с1у = О, у которое легко решаетсн. 2) Решить уравнение (ху + у ) с1х+ (хг — ху ) с1у = О. Сгруппируем члены так, чтобы выделить полные дифференциалы х(ус1х-Ь хс1у) ф уз(ддх — хс1у) = О, хс)(ху) фузс1 ( — ) = О. Разделив на х и сделав замену ху = и, х/у =- о, получим уравнение г Оо + — с1о = О,которое легко решается. и з В задачах 186 †1 проверить, что данные уравнении являются уравнениями в полных дифференциалах, и решить их. 188.

2,дс(х+ (х — у ) с)у = О. 187 (2 — Охсуг)хс)х+ (4уг — Охз)ус)у = 0 188. е "с1х — (2д + хе ") Оу = О. 189 '~ с1т+ (уз + 1пх) с1у = О. 190 " с) УО =О 1с у З б. Уравнения в иолнасх дифференциалах 191. 2х < 1 + сссхг — У) с!х — 1сС;ег — У бд = О. 192. (1+ уг в!п2х) с!х — 2усовг х с!у = О. 193.

Зтг(1 + !пд) с!х = (2у — — ) с!у. < х 1 (х и- 1) сову бр=О. е!пд ) сов 2у — 1 194 195. (хг + уг + х) с!х + ус!у = О. 196. (х'+ уз+у) с!х — хс!у = О. 197. дбу = (хбд+ ус)х)Л+ Ч'. 198. хдг(ху' + у) = 1. 199. дг с!х — (ху+ хз) с!у = О. с!у 200. у — — ) с!х+ — = О. х, у 201. (хг + 3!ну)де!х = хс!у.