book48_1 (А.Ф. Филиппов - сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF))

А. Ф. Филиппов СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Научно-издательский центр лрегулярная и хаотическая динамика» 2000 УДК 517.9 ББК 517.2 «Р 56 Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Ижевск: ИИЦ «Регулнрная и хаотическая динамика>, 2000, 176 стр. Сборник содержит материалы для упражнений по курсу дифференциальных уравнений для университетов и технических вузов с повышенной математической программой. В настоящее издание добавлены задачи„предлагавшиеся на письменных экзаменах на механико-математическом факультете МГУ. 1ВВХ 5-93972-009-0 ББК 017.2 © НИ11 «Регулярнан и хаотическая динамика>, 2000 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 25 29 49 87 97 104 109 П9 122 129 з 1.

э 2. ~ 3. 34. э 5. э 6. э 7. э 8. э 10. з 11. э 12. ~ 13. з 14. ~ 15. э 16. 3 17. з 18. э 20. э 21. Изоклины. Составление дифференциального уравнения семейства кривых . Уравнения с разделяющимися переменными Геометрические и физические задачи Однородные уравнении.............., Линейные уравнения первого порядка Уравнения в полных дифференциалах. Интегриру ющий множитель Существование и единственность решения Уравнения, не разрешенные относительно произ водной Разные уравнения первого порядка ........

Уравнения, допускающие понижение порядка .. Линейные уравнения с постоянными коэффициен тами . Линейные уравнения с переменными коэффициен тами . Краевые задачи Линейные системы с постоянными коэффициентами Устойчивость Особые точки Фазовая плоскость Зависимость решения от начальных условий и па- раметров. Приближенное решение дифференциаль- ных уравнений Нелинейные системы .. Уравнения в частных производных первого порядка Существование и единственность решения 10 12 17 20 34 39 44 62 71 Содержание 152 Ответы 171 Ответы к добавлению Таблицы показательной функции и логарифмов .....

175 Ч22. Общая теория линейных уравнений и систем ~ 23. Линейные уравнения и системы с постоянными зффициентами . 3 24. Устойчивость 3 25. Фазовая плоскость 3 26. Дифференцирование решения по параметру и начальным условиям 327. Уравнения с частными производными первого рядка ... 133 ко- 137 142 144 по 148 по- 149 ПРЕДИСЛОВИЕ Сборник содержит задачи по курсу обыкновенных дифференциальных уравнений в соответствии с программой, приннтой на механико-математическом факультете МГУ. Часть задач взята из известных задачников Н.

М. Гюнтера и Р.О. Кузьмина, Г. Н. Бермана, М. Л. Краснова и Г. И. Макаренко, учебников В. В. Степанова, Г. Филипса; большинство задач составлено заново. Более трудные задачи отмечены звездочкой. В начале каждого параграфа изложены основные методы, необходимые для решения задач этого параграфа, или даны ссылки на учебники. В ряде случаев приведены подробные решения типовых задач. В это издание включено «Добавление» (Я 21-27), содержащее задачи, предлагавшиесн на письменных экзаменах и коллоквиумах на механико-математическом факультете МГУ в 1992 — 1996 годах. Задачи составлены преподавателями МГУ Ю. С.

Ильяшенко, В. А. Кондратьевым, В. М. Миллионщиковым, Н. Х. Розовым, И. Н. Сергеевым, А. Ф. Филипповым. В книге приняты условные обозначения учебников: [1) В. В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений. [2[ И.Г. Петровский. Лекции ао теории обыкновенных дифференциальных уравнений, [3[ Л. С.

Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнен я. [4[ Л. Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. [5[ Б. П. Демидович. Лекции по математической теории устойчивости. ~1. ИЗОКЛИНЬЬ СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ СЕМЕЙСТВА КРИВЬГХ ~р(х, у, См ...,. С ) = О, надо продифференцировать равенство (1) я раз, считая у функцией от х, а затем из полученных уравнений и уравнения (1) исключить произвольные постоянные См ..., С„.

П р и м е р. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых Сгх 4- (д — Сг) = О. (2) Так как уравнение семейства содержит два параметра, дифференцируем его два раза, считая д = д(т): Сг + 2(у — Сг)у = О, 2у' + 2(у — Сг)у" = О. (3) (4) 1.

Решение уравнения д' = Г" (х, у), проходнщее через точку (х, у), должно иметь в этой точке производную у', равную Г(х, д), т.е. оно должно касаться примой, наклоненной под углом о = агссд Г(х, у) к оси Ох. Геометрическое место точек плоскости (х, у), в которых наклон касательных к решениям уравнении у' = = 1(х, у) один и тот же, называется изоклиной. Следовательно, уравнение изоклины имеет вид 1(х, у) = л, где к — постоннная. Чтобы приближенно построить решения уравнения у' Г(х, у), можно начертить достаточное число изоклин, а затем провести решения, т.е. кривые, которые в точках пересечения с изоклинами у(х, у) = йы 1(х.

д) = бг, ... имеют касательные с угловыми коэффициентами соответственно )сг, йг, ... Пример применении этого метода см. [1], гл. 1, 3 1, и. 3, или [4), гл. 1, 3 1. 2. Чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые семейства 21. Изонлинн Исключаем Сы Из уравнения (3) имеем С~ = — 2(у — Ст)у'; под- ставлян это в (2), получим — 2ху (у — Сз) -~- (у — Сз) = О. (5) Исключаем Сз.

Из уравнения (4) имеем у — Сз = — у'~/у"; подставляя это в (5), получим после упрощений дифференциальное уравнение у'+ 2тун = О. 3. Линии, пересекающие все кривые данного семейства под одним и тем же углом 1о, называются изогональными траекториями. Углы 11 и о наклона траектории и кривой к оси Ох свнзаны соотношением Д = о х Эз.

Пусть У =1'(, У) дифференциальное уравнение данного семейства кривых, а у'= Ях, у) (6) — уравнение семейства изогональных траекторий. Тогда Сйо = = .Г(х, у), 18 Д = Ях, у). Следовательно, если уравнение (6) написано и угол ~р известен, то легко найти 18~3 и затем написать дифференциальное уравнение траекторий (Т). Если уравнение данного семейства кривых написано в виде Е(х, у, у ) = О, (8) В задачах 1 — 14 с помощью изоклин начертить (приближенно) решения данных уравнений. 1. у'=у — х. 2.

2(у + д') = х + 3. 4. (уз + 1)у' = у — х. 6. хд' = 2у. э э 3. у' = -' тк- — 1. 2 5. уу' + х = О. то при составлении уравнении изогональных траекторий можно обойтись без разрешения уравнения (8) относительно у'. В этом случае в (8) надо заменить у' на Фйо = 18(И т эз), где сйд = у'— угловой коэффициент касательной к траектории. Если же уравнение семейства кривых дано в виде 1с(х, у, С) = = О, то сначала нужно составить дифференциальное уравнение этого семейства и только после этого дифференциальное уравнение траекторий. З 1. Изоилииы 8 у~+у (х дг)з 10.

у(у'+ х) = 1. 7. ху' + у = О. 9. д' = т — е". , ( Л-зх д: з-зр ' ,г+,г„~ 12. у' = — "--. х-~-р ' 14. (хг + уг)у' = 4х. а) у'=у — тг; в) тг + угу' = 1; б) у'=х — е"; г) у' = 1(х, д). В задачах 17 29 составить дифференциальные уравнения данных семейств линий. еех 19. д=с ' 21.

хг + Суг = 2у. 23. у = С(х — С) . 25. у = ахз + бе", 18. у = (х — С)з. 20. у = з1п(х + С). дг + Сх = хз 24. Су = зш Сх. 26. (х — а)г + буг =- 1. д = охз + 5хг Ч сх 27. 1пу = ах+ Ьу. 29. х = ауг+ Ьу+ с. 30. Составить дифференциальное уравнение окружностей радиуса 1, центры которых лежат на прямой д = 2х. 31. Составить дифференциальное уравнение парабол с осью, параллельной Оу, и касакзщихся одновременно прямых у = 0 и д = х. 32. Составить дифференциальное уравнение окружностей, касающихся одновременно прямых у = 0 и х = О и расположенных в первой и третьей четвертнх, 33.

Составить дифференциальное уравнение всех парабол с осью, параллельной Оу, и проходящих через начало координат. 15. Написать уравнение геометрического места точек (х, у), явлнющихся точками максимума или минимума решений уравнении у' = Г(х, у). Как отличить точки максимума от точек минимума7 16. Написать уравнение геометрического места точек перегиба графиков решений уравнений б 1. Илокликы 34. Составить дифференциальное уравнение всех окруигностей, касающихся оси абсцисс. 35. ах+ 2 = Ь уг+ 22 Ьг 36. хг + уг = 22 — 2Ь2, у = ах + Ь. В задачах 37 — 50 составить дифференциальные уравнениях траекторий, пересекающих линии данного семейства под данным углом у2: 3Т. у = Схл р = 90'.

38. уз=хфС, 42=90'. 39. хг = у + Сх, ~р = 90'. 40 2 2 2 41. у=йх, 42. Зхг+ ух = С, 43. уг = 2рх, ~р = 45'. р = 60'. р = 30 . 22 = 60'. 44. т = а + соа д, ~р = 90'. 45. г = асовг д, ьо = 90'. 46. т = аз1пд, оо = 4о'. 4Т. у = х1пх -~- Сх, ~р = агсги2.

48. дг+ уг = 2ах, ~р = 45'. 49. хг+ Сг = 2Су, р = 90'. 50. у = Сх + Сз, ~р = 90'. гуравиеиин, получаемые в задачах ЗТ вЂ” бп, могут быть решены методами, налагаемыми в дальнейших параграфах. В задачах 35 — 36 найти системы дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют линии данных семейств. 16 "3 2. Уравнения с разделяющимися переменными В 2. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 1. Ураанения с разделяющимися переменными могут быть записаны и виде у' = йх)у(у) а также и виде М(х) дГ (у) Ох -1- Р (х) ()(у) з)у — О. (2) Для решения такого уранненин надо обе ега части умножить или разделить на такое выражение, чтобы и одну часть уравнения аходило только х, и другую только у, и затем проинтегрировать абе части. При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестные х и у,могут быть потеряны решения, обращающие зто выражение и нуль.

П р и м е р. Решить уравнение хгугу ж 1 = у. (3) Приводим уравнение к виду (2): г гну х у — =у — 1; с(х г г Делим обе части уравнения на х (у — 1); г у Йх Йу= у — 1 хг Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения: у / г1х уг 1 О1г=з) — '; — +у+1 Ъ вЂ” й =--+с. у — 1 / хг' х В задачах 51 — 65 решить данные ураннения и длн каждого из ннх построить несколько интегральных кривых.