book48_1 (А.Ф. Филиппов - сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF)), страница 2

Найти При делении на хг(у — 1) могли быть потеряны решения х = О и у — 1 = О, т. е, у = 1. Очевидно., у = 1 — решение уравнения (3), а х = Π— нет. 2. Уравнения вида у' = т'(ах+ Ьу) приеоднтся к уравнениям с разделнющимися переменными заменой г = ах+Ьу (или г = ах+ т Ьу -Ь с, где с любое). "З 2. Уравнения с разделяющимися перелзенними 11 также решения, удовлетворяющие начальным условиям (в тех задачах, где указаны начальные условия). 51.

хдс1х+ (х+ 1) Оу = О, 52. ~/уз + 1с1х = хус1у. 53. (хз — 1)у'+ 2хуз = 0; у(0) = 1. 54. у'с18х+ у = 2; у(х) — 1 — 1 при х — 1 О. 55. у' = 3 ~ззуз; у(2) = О. 56. хд'+ д = д'; у(1) = 0,5. 57. 2хзуу'+ уз = 2. 58. у' — ху' = 2хд. 59. — (1+ $) =1. 61. хл, +1= 1. 62. у' = соа(д — х). 63. у' — у = 2х — 3. 60. з' = 10 л' 64. (х -~- 2у)у' = 1; д(0) = — 1. ез. з' = „'ззтзз — ~ В задачах 66 — 67 найти решения уравнений, удовлетворяющие указанным условиям при х — 1 +со.

66. хзу' — сов 2у = 1; у(+ос) = 9яз14. 67. Зузд'+ 16х = 2хуз; у(х) ограничено при х — 1 +со. 68. Найти ортогональные траектории к линиям следукзщих семейств: а) д = Схз; б) у = Се'; в) Схз + уз = 1. В задачах 69* и 70' переменные разделяются, но получаемые интегралы не могут быть выражены через элементарные функции. Однако, исследовав их сходимость, можно дать ответ на поставленные вопросы. 69*. Показать, что каждая интегральная кривая уравнез з з-1-1 ния у' = 1,1 ~с~, имеет две горизонтальные асимптоты. 70*.

Йсследовать поведение интегральных кривых уравНЕНИя у' = лз ( и~ В ОКрЕСтНОСтИ НаЧаЛа КООрдниат. ПОКаз 1е(1-1-и1 вы е зать, что из каждой точки границы первого координатного угла выходит одна интегральнан кривая, проходящая внутри этого угла. 12 3 3. Геометрические и физические задачи В 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ' 1. Чтобы решить приведенные ниже геометрические задачи, надо построить чертеж, обозначить искомую кривую через у = = р(з) (если задача решается в прямоугольных координатах) и выразить все упоминаемые в задаче величины через ш, у и у'. Тогда данное в условии задачи соотношение превращается в дифференциальное уравнение, из которого можно найти искомую функцию у( ). 2.

В физических задачах недо прежде всего решить, какую из величин взнть за независимое переменное, а какую за искомую функцию. Затем надо выразить, на сколько изменится искомая функция у, когда независимое переменное ш получит приращение дел, т. е, выразить разность д(з ф Ьз) — у(з) через величины,. о которых говорится в задаче. Разделив зту разность на Ьш и перейди к пределу при Ьш — з О, получим дифференциальное уравнение, из которого можно найти искомую функцию. В большинстве задач содержатся условия, с помощью которых можно определить значения постоянных, входящих в общее решение дифференциального уравнения.

Иногда дифференциальное уравнение можно составить более простым путем, воспользовавшись физическим смыслом производной (если независимое переменное — — время Г, то лз есть скорость изменения величины 0). В некоторых задачах при составлении уравнения следует использовать физические законы, сформулированные в тексте перед задачей (или перед группой задач). П р и м е р.

В сосуд, содержащий 10 л воды, непрерывно поступает со скоростью 2 л в минуту раствор, в каждом литре которого содержится 0,3 кг соли. Поступающий в сосуд раствор перемешивается с водой., и смесь вытекает из сосуда с той же скоростью. Сколько соли будет в сосуде через 5 минуту Р еще н ие. Примем за независимое переменное время 1, а за искомую функцию у(1) — количество соли в сосуде через 1 минут после начала опыта.

Найдем, на сколько изменится количество соли за промежуток времени от момента 1 до момента г + Ьй В одну минуту поступает 2 л раствора, а в Ьс минут — 2Ы литров; в этих Все задачи этого параграфа сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными. Задачи, приводяшнеся к уревнениям других типов, можно найти в соответствующих параграфах. Необходимые для решения задач значения показательной функции я логарифмов можно брать нз таблицы в конце задачника. 13 3 3. Геолзетрические и физические задачи 2з31 литрах содержитсн 0,3 2З1 = О,бс31 кг соли.

С другой стороны, за времн Ы ич сосуда вытекает 2з31 литров раствора. В момент 1 во всем сосуде (10 л) содержится у(1) кг соли, следовательно, в 2Ьг литрах вытекающего раствора содержалось бы 0,2Ы у(1) кг соли, если бы за время гЗг содержание соли в сосуде не менялось. Но так как оно за это время меняется на величину, бесконечно малую при Ы вЂ” з О, то в вытекающих 2схг литрах содержится 0,2Ы(у(1)-со) кг соли, где о -э 0 при Ы -з О.

Итак, в растворе, втекающем за промежуток времени (г, 1-Ь -Ь йчг), содержится 0,6Ы кг соли, а в вытекающем — 0,2111. (у(г) + + о) кг. Приращение количества соли за это время у(1+ Ы) — у(1) равно разности найденных величин, т, е.

у(1-Ь Ы) — у(г) = 0,6Ьг — 0,2г11. (у(1) -Ь о). Разделим на 111 и перейдем к пределу при г) г — З О. В левой части получится производная у'(г), а в правой получим 0,6 — 0,2у(г), так как о -э 0 при з11 — з О. Итак, имеем дифференциальное уравнение у'(1) = 0,6 — 0,2у(1). Решая его, получим у(г) = 3 — Се К~~.

Так как при г = 0 соли в сосуде не было, то у(0) = О. Полагая в (1) г = О, найдем у(0) = 3 — С; 0 = 3 — С; С = 3. Подстевлня это значение С в (1), получим 1з(1) = 3 — Зе э'г'. При 1 = 5 в сосуде будет у(5) = 3 — Зе ' '" = 3 — Зе — 1.,9 кг соли. 71. Найти кривые, для которых плошадь треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная аз.

72. Найти кривые, для которых сумма катетов треугольника, построенного как в предыдущей задаче, есть величина постоянная, равная Ь. 73. Найти кривые, обладающие следующим свойством: отрезок осн абсцисс, отсекаемый касательной и нормалью., проведенными из произвольной точки кривой, равен 2а. 74. Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касании. 75. Найти кривые, обладающие следующим свойством: если через любую точку кривой провести прямые, параллель- 14 З 3.

Гееззетрические и физические задачи ные осям координат, до встречи с этими осями, то площадь полученного прямоугольника делится кривой в отношении 1: 2. 76. Найти кривые, касательные к которым в любой точке образуют равные углы с полнрным радиусом и полярной осью. В задачах 77 — 79 считать, что втекающий газ (или жидкость) вследствие перемешивания распределяется по всему объему вместилища равномерно. 77. Сосуд объемом в 20 л содержит воздух (80% азота и 20% кислорода).

В сосуд втекает 0,1 л азота в секунду, который непрерывно перемешиваетсн, и вытекает такое же количество смеси. Через сколько времени в сосуде будет 99% азота? 78. В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак непрерывно подается вода (5 л в минуту), которая перемешивается с имеющимся раствором. Смесь вытекает с той же скоростью. Сколько соли в баке останется через час? 79. В воздухе комнаты объемом 200 зчз содержится 0,15% углекислого газа (СОз). Вентилятор подает в минуту 20 мз воздуха, содержащего 0,04% СОз.

Через какое время количество углекислого газа в воздухе комнаты уменьшится втрое? В задачах 80 — 82 принять, что скорость остывания (или нагревания) тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. 80. Тело охладилось за 10 мик от 100' до 60'. Температура окружающего воздуха поддерживаетсн равной 20'. Когда тело остынет до 25'? 81. В сосуд, содержащий 1 кг воды при температуре 20', опущен алюминиевый предмет с массой 0,5 кг, удельной теплоемкостью 0,2 и температурой 75'.

Через минуту вода нагрелась на 2'. Когда температура воды и предмета будет отличаться одна от другой на 1'? Потерями тепла на нагревание сосуда и прочими пренебречь. 82. Кусок металла с температурой а градусов помещен в печь, температура которой в течение часа равномерно повышаетсн от а градусов до 5 градусов. При разности температур З 3.

Геометрические и Лэиэические эадаэи 15 печи и металла в Т градусов металл нагревается со скоростью ИТ градусов в минуту. Найти температуру металла через час. 83. Лодка замедлнет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальнан скорость лодки 1,5 м,/сея, через 4 сек скорость ее 1 м 'сек.

Когда скорость уменьшитсн до 1 см,~сея! Какой путь может пройти лодка до остановки? В задачах 84 — 86 использовать закон радиоактивного распада: количество радиоактивного вещества, распадающегося за единицу времени, пропорционально количеству этого вещества, имеющемуся в рассматриваемый момент.

84. За 30 дней распалось 50?4 первоначального количества радиоактивного вещества. Через сколько времени останется 1?ээ от первоначального количества'? 85. Согласно опытам, в течение года из каждого грамма радия распадается 0,44 лг. Через сколько лет распадетсн половина имеющегося количества радия? 86. В исследованном куске горной породы содержитсн 100 зэг урана и 14 зэг уранового свинца. Известно, что уран распадаетсн наполовину за 4,5 10' лет и что при полном распаде 238 г урана образуется 206 г уранового свинца. Определить возраст горной породы. Считать, что в момент образования горная порода не содержала свинца, и пренебречь наличием промежуточных радиоактивных продуктов между ураном и свинцом (так как они распадаются намного быстрее урана). 87.