Том 2 (Г.Д. Ким, Л.В. Крицков - Алгебра и аналитическая геометрия (теоремы и задачи) (PDF))

Г. Д . Ким, Л. В. КрицковАЛГЕБРАИ АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯТЕОРЕМЫ И ЗАДАЧИТОМ II (1)КЫч 2 2 . 1 4 7Р ек о м ен д о в а н оС о в ет а м п о п р икладн ой м а т ем а т и к е и инф орм ат ике\ \ (0 п о к ч а сси ч еск о м у у н и в ер си т ет ск о м у об разован июЛ*я ст у д ен т о в в ы сш и х у ч е б н ы х за вед ен и й ,о б у ч а ю щ и х ся п о с п е ц и а л ь н о с т и 0 Ю 2 0 0"П риклад ная м а т ем а т и к а и ин ф о р м а т и к а " и н а пра влени ю 5 1 0 2 0 0"П рикчадная .м ат ем ат ика и и н ф о р м а т и к а "К и м Г .

Д ., К р н и к о в . 1 . В .А л г е б р а н а н а л и т и ч е с к а я г е о м е т р и я : Т е о р е м ы и з а д а ч и . Том IIч а с т ь 1. М .. 11КД “ З е р ц а л о - М ” , 2 0 0 3 . — 1 7 0 с.IS B N 5 -9 4 3 7 3 -0 6 8 -0Книга представляет собо й первую часть в тор ого то м а задачника по объелиненному курсу линейной алгебры и аналитической геометрии. Каждый раздел со.держ ит теорети ческое введение, примеры решения типовы х задач и большое число задач для семинарских занятий и самостоятельной работы студентов.

Задачи снаб­жены ответам и и указаниям и. К нига т е с н о свя зан а с учебником Ильина В. А,Ким Г Д -Л и ней ная алгебра и аналитическая геом етри я” .Для c t y дентов ф изико-м атем атических специальностей университетов.IS B N 5 - 9 4 3 7 3 - 0 6 8 - 0О Ким I'. Д .. Крников Л. В., 2003О И здательство “Зерцало”, 2003О ГЛ А ВЛ ЕН И ЕПредисловие....................................................................................................4Список ли тер атур ы .....................................................................................5ГлаваX II. Л и н ей н о е п р о с т р а н с т в о н ад п р о и зв о л ь ­н ы м п о л е м ........................................................................б§4 4 . Определение и основные сво й ства..................6§45.

Линейное подпространство........................................................ 22§46. Линейное аффинное многообразие.......................................... 38Г л а в а X III. Е в к л и д о в ы и у н и т а р н ы е п р о с т р а н с т в а .. 50§47. Скалярное произведение. Матрица Г р ам а......................... 50§ 48.§49.§50.§51.Ортогональные векторы ..............................................................Ортогональные подпространства...........................................Метрические зад ач и ......................................................................Линейные аффинные многообразия в евклидовом (уни­тарном) п ростран стве...................................................Глава§52.60718393X IV .

Л и н е й н ы е о п е р а т о р ы в л и н ей н ы х п р о ­с т р а н с т в а х ....................................................................... 100Понятие линейного оператора. Матрица линейногооп ер ато р а............................................................................................. 100§53. Матрицы линейного оператора в различных базисах.Эквивалентные и подобные матрицы.....................................115§54.

Образ и ядро линейного оператора.........................................123§55. Линейное подпространство линейныхоператоров.......... 131§56. Умножение линейных операторов. Обратный оператор 136О тветы и ук азан и я..............................................................; .................... 147.лП РЕДИСЛОВИЕН асто я щ ее учебное пособие п р е д с т а в л я е т со б о й п ер ву ю ч асть в-щ.р о го т о м а сбор н и ка за д а ч по об ъ ед и н ен н о м у к у р с у а л г е б р ы и аналити.ческой геом етр и и . О но сод е р ж и т подборку з а д а ч по т е о р и и линейни*п р о с т р а н с т в над произвольны м пол ем , те о р и и е в к л и д о в ы х и унитар.пы х п р о с т р а н с т в , а т а к ж е з а д а ч и , к а с а ю щ и е ся а л г е б р ы линейных оиер а т о р о в в конечномерны х п р о с т р а н с т в а х .Б у д уч и н епоср едственн ы м п р одол ж ен и ем п е р в о г о т о м а [8), посо.бие н асл е д у е т его с т р у к т у р у .

З а д а ч и с г р у п п и р о в а н ы в нараграфы 1нум ераци я к о тор ы х п р о д о л ж а е т н у м ер ац и ю п е р в о г о т о м а . В началек аж д о го п а р а г р а ф а п р и водятся оп редел ени я и ф о р м у л и р о в к и теорем,к асаю щ и еся р а с с м а т р и в а е м ы х п о н яти й , а т а к ж е п р и м е р ы решений ти­п овы х з а д а ч . Т еор ети ч еск ой поддер ж к ой з а д а ч н и к а я в л я ю т ся учебникВ .В .В о е в о д и н а [2], в котор ом залож ены м е т о д и ч е с к и е о сн о в ы объедине­ния к у р сов алгебры и гео м етр и и , и уч е б н и к В .А .И л ь и н а , Г .Д .К и м [7].П о сл ед о в а те л ь н о ст ь р аздел о в, а т а к ж е о п р ед ел ен и я и обозначения соо т в е т с т в у ю т учебни ку [7].

В копие з а д а ч н и к а п о м ещ ен ы ответы кз а д а ч а м , к некоторы м из них д а ю т с я р е к о м е н д а ц и и .Список литературы1. Б е к л с м и ш е в а Л.А ., П е т р о в и ч А.Ю., Ч у б а р о в И.Л.Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре,- М.:Наука, 1987.2. В о е в о д и н В .В . Линейная алгебра,-М.: Наука, 1974,3.

В о е н о д и п В .В ., К у з н е ц о в Ю.И. Матрицы и вычисления.М.: Наука, 1984,4. Г а н т м а х с р Ф. Р. Теория матриц,- М.: Наука, 1988.5. Г л а зм а н И. М., Л юби ч 10 Н. Конечномерный линейный ана­л и з - М.: Наука, 1969.6. И к р а м о в Х .Д . Задачник по линейной алгебре,- М.: Наука,1975.7. И льи н В.А ., К и м Г.Д . Линейная алгебра и аналитическаягеометрия,- М.: Изд-во Моек, ун-та, 1998.8. Ким Г.Д ., К р и ц к о в Л .В , Алгебра и аналитическая геоме­трия: теоремы и задачи. Том 1,- М.: Зерцало, 2003.9. К о с т р и к и н А. И.

Введение в линейную алгебру.- М.: Наука,1977.10. К о с т р и кин А. И,, М анин Ю.И. Линейная алгебра и геомет­р и я - М.: Наука, 1986.11. К у рош А. Г. Курс высшей алгебры.- М.: Наука, 1971.12. П о л и а Г., С е г е Г. Задачи и теоремы из анализа (в 2-хчастях).- М.: Наука, 1978.13. П р а с о л о в В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры.- М.:Наука, 1996.14.

П р о с к у р я к о в И. В. Сборник задач по линейной алгебре.М.: Наука, 1967.15. Сборник задач по алгебре / Под ред. К о с т р и к и н а А. И.- М.:Факториал, 1995.16. Х а л м о ш П. Конечномерные векторные пространства - М.:Фиэматгиз, 1963.17. Х о р н Р., Д ж о н с о н Ч. Матричный анализ-М .: Мир, 1989.18. Ш и лов Г .Е . Математический анализ (конечномерные линей­ные пространства).- М.: Наука, 1969.Г л а в а X II. Л и н е й н о е п р о с т р а н с т в о надп р о и зво л ьн ы м п о л ем§44.Определение и основные свойстваПусть дано поле Р.

Непустое множество V называется линейны* Ивекторным пространством над полем Р , если на этом множестве oiipcJ*лены внутренний закон композиции V х V —* V , называемый сложением*внешний закон композиции Р х V -* V , называемый умножением на чиЛ*из поля Р , удовлетворяющие следующим аксиомам: для любых а, fc, с £ (/ 0а ,0£Р*I J o + fc^fc + ej2 ) (а + fc) + с = а + (fc + с) •,3) существует элемент в £ V такой, что а + в = в + а = а \4) для любого элемента а 6 V существует элемент —а £ V такой, ч^а + (- а ) = (-в ) + а = в ;5) 1 ■о = a ;6 ) а( 3а) = {о0 )а ;7) (а + 0 )в = а а + $ а ;8) а (а + fc) = аа + ofc.Линейное пространство над полем Q называется рациональным, нал по.леы R - вещественным, а над полем С - комплексным линейным простран­ством.Понятия линейной зависимости, базиса и размерности линейного про­странства, линейного подпространства и линейного многообразия, рассмо­тренные применительно к вещественным линейным пространствам в гла­ве IV части 1, сохраняются и в линейном пространстве над произвольнымполем.

Практически неизменными остаются и все теоремы (а также их до­казательства), касающиеся этих понятий. Незначительное изменение кос­нется лишь формулировок: в них добавится уточнение, какое именно полерассматривается. Безусловно, это сходство с вещественными линейнымипространствами относится к тем общим свойствам линейных пространств,которые опираются лишь на аксиомы поля. Частные же особенности полз(такие, иалрнмер, как конечность поля или отличие от нуля его характери­стики) могут сделать свойства линейного пространства исключительнымх(пример 44.4, задачи 44.11-44.1S, 44.93, 45.26, 45.48).Приведем теперь неиоторые дополнительные понятия н фанты, связан­ные с линейными простраистиами над произвольным полем.Линейно независимая подсистема системы веиторон, через которую яяиейио выряжается любой аеятор системы, называется базой этой системывеиторов.Т е о р е м а 4 4 .1 .

Подсистема системы век торов шалеете» базойсистемы векторов тогда и только тогда, когда образует -максимальнуюлинейно независимую подсистему.§■('/.Определение и основные свойства7С л е д с т в и е . Псе базы одной си стем ы вект оров соетомт из одина­кового числа вект оров, равн ого максимальному числу линейно независимыхвект оров системы.Ч исло векторов базы называется рангом системы вект оров.

Очевидно,ранг системы векторов равен максимальному числу линейно независимыхвекторов систем ы . О б о з н а ч е н и е : rg (o i, . . . , а „ ) .Две системы векторов линейного пространства называю тся э кви ва л ен т­ными, если любой вектор каждой из этих систем линейно вы ражается черездругую систему. Из определения следует, что база системы вект оров экви­вал ен тн а самой сист еме.Т е о р е м а 4 4 .2 .