В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (первый семестр), страница 3

Рациональные числаКак отмечено выше, уравнение ax  b , где a, b -целые числа имеетцелочисленное решение только в том случае, когда число b делится на числоa без остатка. Для того, чтобы это уравнение можно было решать при всехa, b с условием a  0 , следует расширить множество рассматриваемых чисел,введя дроби и, тем самым, образовав множество рациональных чисел.Это множество состоит из множеств равных дробей (напомним, что дробиa c, называются равными, если ad  bc ).b dИногда это определение вызывает недоумение.

Что же это такое,рациональное число? Всё-таки, это число или множество? Ответ прост – эточисло, которое можно изобразить с помощью любой из бесконечногомножества равных дробей. При этом целые числа, разумеется, тоже2 4 6   ...1 2 3a c ad  bc a c acОперации над дробями определяются так:  ,  .b dbdb d bdявляются рациональными, т.к., например, 2 Для операции сложения дробей это определение означает, что мы сначалаприводим дроби к общему знаменателю, т.е. заменяем каждую из них равнойей дробью, имеющей знаменатель bd , затем складываем числителиполучившихся дробей.Нетрудно проверить, что определение операций корректно, т.е.

чтоa c, равными им дробями, то их суммой будет дробь,b dad  bcacравная, а произведением – дробь, равная.bdbdесли заменить дробиСвойства 1-4 для сложения и свойства 1-4 для умножения, имевшие местодля целых чисел, разумеется, сохранятся и для рациональных чисел.

Этоможно проверить с помощью простых, но громоздких выкладок, которые мыопускаем.16Наконец, для любого отличного от нуля рационального числа aсуществует единственное, обратное по умножению число a 1 , т.е. такое, чтоp, p  0, p  Z , q  N , то a 1  q .qpОперация деления определяется так: для любых рациональных чисел a, b, b  0полагаем a : b  a 1b .aa 1  a 1a  1 . Оно определяется так: если a С алгебраической точки зрения множество рациональных чисел сведёнными в нём операциями сложения и умножения образует поле.На множестве рациональных чисел отношение порядка вводится так.Считаем рациональное число положительным, если его можно представитьдробьюpp, p  N , q  N .

Рациональное число a  , p  Z , q  N считаемqqотрицательным, если число p - отрицательное. По определению a  b , еслиразность a  b  положительное число и a  b , если разность a  b aотрицательное число. Из этого определения сразу следует, чтоположительное число a удовлетворяет неравенству a  0 , отрицательноечисло a удовлетворяет неравенству a  0 .Отношение порядка обладает такими свойствами:1.Если одновременно a  b и b  a , то a  b .2.Если a  b и b  c , то a  c .3.Если a  b , то для всех c выполняется: a  c  b  c .4.Если a  b , то для всех неотрицательных чисел c выполняется: ac  bc ,а для всех отрицательных чисел c - противоположное неравенство ac  bc .Сформулируем ещё одну важную аксиому – «аксиому Архимеда»:Для любого числа a существует натуральное число n такое, что выполняетсянеравенство a  n .Из курса средней школы известно, что рациональное числоизображается либо конечной, либо бесконечной периодической десятичнойдробью.

Это представление единственное за исключением тех случаев, когдачисло можно представить конечной десятичной дробью4.4. Действительные числаОдной из важнейших задач является задача измерения различныхвеличин.Рассмотрим подробнее задачу измерения отрезков. Выберем прямую наплоскости, введем на ней точку отсчёта, обозначаемую O, и отрезокединичной длины, то получим, что любому рациональному числу можносопоставить единственную точку M этой прямой, потребовав, чтобы длинаотрезка OM равнялась абсолютной величине этого числа и чтобы точка Mлежала справа от точки O для положительного числа и слева от точки O для отрицательного числа.

На первый взгляд кажется, что рациональныеточки заполняют собой всю прямую. Однако это вовсе не так. Длина17диагонали квадрата со стороной единичной длины не может быть выраженаникаким рациональным числом.Докажем это утверждение, использовав метод от противного. Для этогопредположим, что эта длина выражается числом видаm, где натуральныеnчисла m, n не имеют общих делителей, кроме числа 1. Тогда, по теореме2mПифагора,    2, m 2  2n 2 .

Из последнего равенства следует, что m nчётное число (иначе квадрат этого числа был бы нечётным числом вопрекиэтому равенству), т.е. m  2m1 . Следовательно, 4m12  2n 2 , 2m12  n 2 . Значит, nтакже чётное число. Получено противоречие с предположением, состоящее втом, что оба числа m, n - чётные.Таким образом, для решения задачи об измерении длин любыхотрезков множества рациональных чисел недостаточно. Придётся расширитьмножество рассматриваемых чисел, дополнив его новыми объектами,иррациональными числами.

Нашей целью сейчас будет построениемножества R действительных чисел (также называемых вещественнымичислами), которое будет объединением множества рациональных чисел имножества иррациональных чисел, причём элементы множествадействительных чисел будут находиться во взаимно-однозначномсоответствии с точками прямой. Для этого нам потребуется дополнительнаяаксиома о непрерывности множества действительных чисел. Непрерывностьмножества R состоит в том, что в R нет “пустот”. А именно, справедливоследующее утверждение, которое мы примем за аксиому.4.5. Аксиома отделимостиДля любых двух непустых множеств A и B в R, таких, что для любыхa  A, b  B выполнено неравенство a  b , существует хотя бы одно такоечисло с, что для любых a  A, b  B выполнено неравенство a  c  b .Впервые точный смысл утверждению, что прямая “непрерывна”, дал в1872 году немецкий математик Ю.

В. Р. Дедекинд. Отметив, что каждаяточка прямой разбивает прямую на две части так, что каждая точка однойчасти расположена влево от каждой точки другой части прямой, Дедекиндпишет: “Я усматриваю теперь сущность непрерывности в обратномпринципе, то есть в следующем: если все точки прямой распадаются на двакласса такого рода, что каждая точка первого класса лежит влево от каждойточки второго класса, то существует одна и только одна точка, котораяпроизводит это разбиение прямой на два класса”. И далее: “… я решительноне в состоянии привести какое бы то ни было доказательство справедливостиэтого принципа, и никто не в состоянии этого сделать. Принятие этогосвойства прямой лишь есть не что иное, как аксиома, посредством котороймы только и признаём за прямой её непрерывность”.Итак, действительные числа представляют собой множество чисел свведёнными в нём операциями сложения, умножения, вычитания и деления,18и отношением порядка, обладающими обычными законами (теми же, что длярациональных чисел).

Кроме того, в нём справедлива аксиома отделимости.Как отмечено выше, если ограничиться множеством рациональных чисел, тоаксиома отделимости окажется неверна. Если A  множество рациональныхчисел, меньших, чем 2 , а B  множество рациональных чисел больших,чем 2 , то эти множества отделяет друг от друга именно число 2 , котороене является рациональным.Как отмечалось выше, десятичные представления рациональных чиселявляются либо конечными, либо бесконечными периодическимидесятичными дробями. Естественно рассмотреть и все остальные, т.е.бесконечные непериодические десятичные дроби, которые представляютиррациональные числа.

Таким образом, действительные числа можнопредставить в виде бесконечных десятичных дробей.Вернемся к задаче об измерении отрезков. Процесс измерения длиныотрезка можно задать следующим алгоритмом. Расположим отрезок так,чтобы его начало совпадало с точкой O, а конец с точкой x. Начнёмоткладывать от точки O единичный отрезок. Пусть точка x окажется междуточками с координатами a0 и a0  1 . Разобьём отрезок [a0 , a0  1] на десятьравных частей. Точка x либо совпадёт с одной из точек деления, либоокажется между двумя из них. В первом случае процесс измерения закончен,во втором мы снова разобьём отрезок на 10 частей и продолжим аналогично.Если на каком-то шаге точка x совпала с одной из точек деления, то онабудет изображена конечной десятичной дробью.

В противном случае будетполучена бесконечная десятичная дробь. И в том, и в другом случае точкепрямой поставлена в соответствие бесконечная десятичная дробь. Задача обизмерении отрезка получила своё решение.Разумеется, выбор числа 10 в качестве основания системы счисленияне является единственным, как уже отмечалось в конце первого параграфа,широко используются двоичная, троичная системы счисления. Мы на этомвопросе останавливаться не будем.19Билет 5. Верхняя и нижняя грани. Стягивающиеся отрезки.5.1.Верхняя и нижняя граниОпределение 5.1. Множество A ограничено сверху, если существуеттакое число M, что a  A a  M .

При этом число M называется верхнейграницей или гранью множества A. Множество A ограничено снизу, еслисуществует такое число m, что a  A a  M . При этом число m называетсянижней границей или гранью множества A.Легко видеть, что если множество A ограничено сверху (снизу), толюбое число, большее M (меньшее m) тоже будет его верхней (нижней)границей.Определение 5.2. Если множество A ограничено сверху, тонаименьшая из его верхних граней называется точной верхней гранью A иобозначается sup A.Теорема 5.1. Если множество A ограничено сверху, тосуществует точная верхняя грань этого множества.Доказательство.