В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (первый семестр), страница 4

Выберем множество B таким, чтоa  A b  B a  b (т.е. B – это множество всех верхних граней А). Докажем,что множество В имеет наименьший элемент. По аксиоме отделимости (см.билет 4) существует такое c  R , что a  A b  B a  c  b . Так как длявсех a  A имеем a  c , число c является верхней гранью А. Так как для всехb  B c  b , число c – наименьшее среди элементов множества B. Такимобразом, c  sup A , что и требовалось доказать.Определение 5.3.

Если множество A ограничено снизу, то наибольшаяиз нижних граней называется точной нижней гранью А и обозначается inf A.Теорема 5.2. Если множество A ограничено снизу, тосуществует точная нижняя грань этого множества.Доказательство. Доказательство можно провести двумя способами.201 способ. По аналогии с теоремой 5.1. рассмотреть множество Dнижних граней множества A.

Применить аксиому отделимости к D и А. Поаксиоме отделимости (см. билет 4) существует такое d  R , что для всехb D , для всех a  A имеет место неравенство b  d  a . Так как для всехa  A выполняется неравенство d  a , d является нижней гранью А. Так какдля всех b D имеем b  d , d – наибольшая среди нижних граней множестваА, т.е. d  inf A .2 способ. Определим множество -A так:  A   a, a  A.

Если Aограничено снизу, то -A ограничено сверху, поэтому  sup(  A) , кроме того,inf A  sup(  A) .5.2.Стягивающиеся отрезкиОпределение 5.4. Система отрезков a k , bk , k  N  называетсявложенной, если k a k , bk  a k 1 , bk 1 .Теорема 5.3. Любая вложенная система отрезков имеет хотябы одну общую для всех отрезков точку, т.е.  a  R :k a  a k , bk .Иными словами,  a : a   ak , bk  илиk 1 ak, bk  O.k 1Доказательство.

Выберем множества A и B так, чтоA  a1 , a 2  a k , B  b1 , b2  bk . Для того чтобы применить аксиомуотделимости, необходимо доказать, что k, l выполняются неравенстваa k  bl .Выберем m так, что m  max( k ,l ) . Тогда ak  am , bm  bl . Значит, c  R : k, l a k  c  bl , полагая l  k , получим: k a k  c  bk . Такимобразом, c - общая для всех отрезков точка. Теорема доказана.Определение 5.5.

Система отрезков a n ,bn , n  1,2 ,3...  называетсястягивающейся системой отрезков, если длины этих отрезков стремятся к 0при, т.е.    0 N (  ) n  N (  ) bn  a n   .21Теорема 5.4. Общая точка стягивающейся системы отрезковединственна.Доказательство.

Допустим, что есть 2 общие точки c1  c 2 c1  c2 .Тогда k a k bk  c1c 2 . Возьмем  c 2  c1. Найдется такое N  , что для2любого n  N   bn  a n   .Одновременно получаем, чтоbn  a n  a n , bn  c1 , c2 bn  a n  c 2  c1c 2  c1 c 2  c1c cc cоткуда 2 1  0 . Но   2 1  0 . Тем222самым, мы пришли к противоречию. Теорема доказана.Замечания:точка c является точной верхней гранью множества левых отрезков иточной нижней гранью множества правых концов этих отрезков;вложенная система интервалов может не иметь общую точку, какпоказываетПример.

Рассмотрим a n ,bn   0 ,1 n , n  1,2 ,... У этих интервалов нетобщей точки – докажем это от противного. Если бы общая точка  была, тоона принадлежала бы первому интервалу, т.е.    0, 1 , 0    1 . Выберемчисло n N так, чтобыпредположению.111  , т.е. n  . Тогда    0 ,  вопрекиnn22Билет 6.

Предельные точкиОпределение 6.1. Окрестностью U (a ) точки a называется любой интервал,содержащий точку a. Чаще всего рассматривают симметричную окрестностьрадиуса  , U  a  a   , a   . Проколотой окрестностью точки a называетсяокрестность точки a, из которой исключена сама точка a, т.е.. U (a)  U (a )  aОпределение 6.2. a - предельная точка множества A, если в любойпроколотой окрестности точки a есть точки из множества A: U (a ) U (a )  В определении не сказано, что a  A .

В приведенных ниже примерахвстретятся ситуации, и когда предельная точка а множества А принадлежитсамому множеству А, и когда она не принадлежит множеству А.Пример 1. Пусть A  a ,b. Любая точка с, не принадлежащая этомуотрезку, не является предельной точкой (рис. 1).[] ( )ab c(рис.

1)xДля любой с  a ,bможно указать окрестность точки с, непересекающуюся с a ,b .[( ) ( ] )abx(рис. 2)Любая окрестность любой точки с  a ,b имеет непустое пересечение сa ,b (рис. 2).Множество предельных точек отрезка - сам отрезок.Определение 6.3. Множество, содержащее все свои предельные точки,называется замкнутым.Пример 2. Пусть A  a ,b . Как и выше, если с  a ,b, то с не являетсяпредельной точкой А.() ( )abxНо любая окрестность любой точки с  a ,bимеет непустоепересечение с a ,b ,(()())ab(рис.

4)xc23Поэтому множеством предельных точек интервала a ,b  являетсяотрезок a ,b . В этом случае концы a, b этого отрезка – предельные точкиa ,b, не принадлежащие a ,b.Теорема 6.1. Если A - бесконечное ограниченное множество,то существует предельная точка множества A.(Примечание к формулировке теоремы: множество A ограниченное это означает, что c ,d a  A c  a  d ; бесконечное, т.е.

содержитбесконечно много точек.)Доказательство. Рассмотрим отрезок c1 , d1  c , d . Разделим его на 2равные части. Хотя бы в одну из половин отрезка входит бесконечноемножество точек A. Возьмем полученный отрезок с2 , d 2 и тоже разделим егона 2 равные части. Хотя бы один из полученных отрезков с3 , d 3 тожесодержит бесконечное множество точек из A.

Продолжим процесс деленияотрезков. В итоге имеем систему стягивающихся отрезков. По теоремам (5.3,5.4) эта система имеет единую для всех отрезков точку с. Утверждаем, чтоточка c - предельная точка множества A. Выберем произвольную окрестностьU (a ) и в ней окрестность U  (c) . После этого возьмем n такое, чтобы длинаотрезка an 1, bn 1 , равнаяd1  c1n, оказалась меньше  , т.е.2dcdc 2 n  1 1  n  log 2 1 1 .([( )an+1])c b n+1(рис. 5)d1  c12nxТак как, очевидно, [ an1 , bn1 ]  U  (c) (см. рис. 5), и так как an 1, bn 1 содержит, по построению, бесконечное множество точек из A, проколотаяокрестность U  c , также содержит бесконечное множество точек из А. Итак,доказано, что произвольная окрестность U c  содержит точки из А.Следовательно, с – предельная точка множества А.В дополнение сформулируем и докажем еще одно важное свойствопредельных точек.24Теорема 6.2.

Если a – предельная точка А, то в любойпроколотой окрестности точки а, содержится бесконечноемножество точек из А.Доказательство. Рассмотрим произвольную окрестность U a  и в нейтакже произвольную U  a   U a . Обозначаем 1   . В U  a  существуетточка a1  A , по определению предельной точки. Пусть  2  min (1 , a  a1 ) .В U  ( a) существует точка a 2  A . Точка a 2 не может совпасть с a1 , т.к.2a 2  a   2  a  a1 . Далее полагаем  3  min ( 2 , a 2  a ) .

В U  3 (a ) существуетточка a 3  A , причем a3  a1 , a3  a 2 , т.к. a3  a   3  a 2  a  a1  a и т.д.В итоге получаем бесконечное множество точек из А, входящих в U (a ) ,что и утверждалось.Следствие. Конечное множество не имеет предельных точек.25Билет 7. Приближенные вычисления7.1.ПогрешностьРезультаты измерений и расчётов редко бывают совершенно точными.Самаматематическая модель, описывающая изучаемое явление, в определённой степениидеализирована, она изображает процесс лишь с некоторой точностью. Параметрыпроцесса так же, как правило, вычислены лишь приблизительно; в частности,источниками ошибок могут быть ошибки измерительных приборов. Наконец, самивычисления содержат округления и т.п.

Поэтому часто приходится использовать ввычислениях не само действительное число, а лишь некоторое его приближённоезначение.Обычно приближённым значением a действительного числа A называется число,незначительно отличающееся от числа A и заменяющее это число A в вычислениях. Нодля того, чтобы сделать результаты приближённых вычислений надёжными, следуетуточнить понятие приближённого значения и соблюдать правила приближённыхвычислений.Поэтому этот и следующие разделы первого параграфа будут посвящены правиламприближённых вычислений, часто используемым на практике.Определение 7.1. Под ошибкой или погрешностью a приближённого числа aобычно понимают разность между соответствующим точным числом A и числом a , т.е.a  A  a . Погрешность может быть положительной, тогда приближение называетсяприближением по избытку.

Если погрешность отрицательная, то приближение называетсяприближением по недостатку. Удобно рассматривать абсолютную погрешность приближённого числа a , равную абсолютной величине погрешности a , т.е.   a .Часто бывает так, что точное значение числа A нам неизвестно. В этом случаеабсолютная погрешность нам также неизвестна, и следует попытаться найти оценкусверху для этой погрешности, т.е. такое число a , про которое известно, что оно неменьше, чем  . Тогда неравенство    a означает, что A  a   a , или, что то же самое,что a   a  A  a   a .