В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (первый семестр), страница 9

Тогда, в частности, f x   f x 0   ε 2  d для всех x  U 2 ,где U 2 – δ2 -окрестность точки x 0 . Свойство локальной ограниченностиТеорема 12.5. Если функция f непрерывна в точке x 0 , тоf ограничена в некоторой окрестности U точки x 0 .Полагая в условиях теоремы 6.4 c  f x0   1 и d  f x 0  1 , найдёмна основании её утверждения такие окрестности U 1 и U 2 точки x 0 , чтоf x   f x0  1 для всех x  U1 и f x   f x 0  1 для всех x  U 2 . Согласносвойству 4) окрестностей, пересечение U 1  U 2  U есть окрестность точкиx 0 , в которой выполняется двойное неравенство f x 0  1  f x   f x 0  1 Арифметические действия над непрерывными функциямиТеорема 12.6.

Если функции f и g непрерывны в точке x 0 ,то: 1) f  g непрерывна в точке x 0 ; 2) cf непрерывна в x 0 длявсех c   ; 3) f  g непрерывно в x 0 ; 4)fнепрерывно в x 0 , когдаgg x 0   0 . Доказательство всех четырех утверждений теоремы ведетсяединообразным способом, который продемонстрируем в случае утверждения3)Рассмотрим произвольную последовательность xn , x 0  D f g , n   ,для которой lim x n  x0 . Тогда x n  D f и x n  Dg , n   , и, по критериюn непрерывности функции в точке (пункт 6.1.3), lim f x n   f x0 ,x 53lim g x n   g x0 . Поскольку  f  g x n   f x n  g x n , n   , то по свойствуx  сходящихся последовательностей существует lim f  g xn x lim f xn  lim g xn  f x0  g x0    f  g x0 , и по критерию 12.1функцияxxf  g непрерывна в x 0 .Пусть теперь g x0   0 .

Согласно свойству сохранения знака(теорема 6.4), существует такой индекс N   , что g xn   0 для всех n  N ;т.е., x n  D1 / g , n  N . Поэтому, в силу свойства локальности предела1111x n   lim x0 , иx  x  gg x n  g x0  gпоследовательности и критерия 12.1 limфункция1f1непрерывна в точке x 0 , а вместе с ней и функция f  .gggНепрерывные функцииОпределение 12.3. Точки, в которых функция непрерывна, называютт о ч к а м и н е п р е р ы в н о с т и этой функции. Функцию называютн е п р е р ы в н о й , если все точки её области определения — точкинепрерывности.Билет 13. Определение предела функции, арифметическиесвойства предела, предельный переход в неравенствахЭвристические рассуждения, приводящие к понятию предела функции в точке(приведены для облегчения понимания, что такое предел)Этот пункт на экзамене необязателен.Рассмотрим функцию 1,sgn x   0, 1,Функцияsgn x(читается: знак икс), определяемую выражениемx  0,x  0,x  0.sgn xне является непрерывной функцией в точкеx0  0 , посколькув этойточке не выполняется критерий непрерывности функции (см.

раздел 6.1.3). Действительно,54последовательность x n , xn  1 n ,n  N , сходится к числу 0 ( lim x n  limsgn x , sgn xпоследовательностьnn n 1 ( xn 1 0 ), n  nn 1 0 ),n— постоянная иlim sgn x  1 , но этот предел (число 1) не совпадает со значением функции sgn xв точкеn  x 0  0 ( sgn 0  0  1 ). Аналогично, последовательность ( y n ), y n  сходится к числу1 10 ( lim y n  lim      lim  0 ), последовательность sgn y n ,n  n  n  n nsgn y n  1 , n  lim sgn y n  1— постоянная, имеет 1  0  sgn 0 .иn  В остальных точкахокрестности каждой точкиx0x0функцияsgn xнепрерывна, поскольку в некоторойона постоянная. График функцииysgn xy100xРис.13.2.Рис.13.1Не будет непрерывной в точкеx0  0и функцияf x   sgn x,x  0,x  0,sgn x  sgn y n  1 , n   , и lim sgn x n  lim sgn y n  1, ноn  1  0  sgn 0 .

В остальных точках x  0sgn xy = sgn xx-1посколькуизображен на рис. 7.1.y = sgn x11,sgn x  0 ,1 0, n,nфункцияn  sgn xнепрерывна. График функцииизображен на рис. 7.2.Однако характеры поведения функцийкачественно различные. Для функцииf x  sgn xl  1 ), что l  1  lim f z n   lim sgn z nn n sgn xиsgn xв окрестности точкиможно указать такое числодля любой последовательностиz , znn   , lim z n  0 , поскольку, по определению, sgn z n  1 , z n  0 , n   .n lx0  0(а именно,n 0,Кроме того,55Δx  x  x 0  x  0для любого отличного от нуля приращенияразностьε0гдеf x  l  sgn x  1  0 ,и всехf x  l  и, следовательно,x  x0  0 ; в частности f x   l  аргументадля всехопределенияl  1 будет пределом в точке x0  0Dgкоторой служит множествов точкеx0  0для любого числаx  x0    0 .

Число l  1 называют пределом функции f x  sgn xЧислоxтакже и для функциииx  x0  x  δ ,в точкеx0  0 .g , областью \ 0 (то есть все x  0 ), а значенияg x   sgn x  1 , x  Dg , ( x  0 ), поскольку неравенство g x  1  1  1  0  x  Dgсправедливо для всехАналогичного числаlи0  x  x0  x  δ , где δ  ε  0 .для функцииsgn xв точкеx0  0указать нельзя. В приведённыхвыше рассуждениях важны следующие три обстоятельства. Во-первых, значения приращенияаргумента функцииточкаf x  sgn xв точкевыбираются все отличными от нуля; то естьx  x0  x  x0 .

Во-вторых, поскольку всегда x  0 , то x0изолированной точкой области определенияокрестность точкиfx0  0, отличную отx0Dfфункцииfдолжна содержать хотя бы одну точкуне может быть, а напротив, любая как угодно малаяxиз области определения функцииx0 . И, наконец, в-третьих, перестаёт быть важным само свойствопринадлежности точките значения функцииx0области определенияf x   sgn xDfфункции, ибо вклад в числоl  1 дают лишь, которые принимаются ею в точках, отличных отПоследнее обстоятельство явно проявилось при рассмотрении функцииx0  0 .g , Dg   \0 иg x   sgn x  1 , x  Dg .

Наконец, укажем на ещё одно важное обстоятельство: еслирассмотреть непрерывную функциюhx   l  1 , x    Dh , то h  gдля всехx  D g  x 0 , x0  0 , и hx0   l  1 , где l – предел функции g в точке x0  0 .Пусть f (x) определена в некоторой проколотой окрестности W (a)точки а.Определение 13.1. Функция f (x) имеет при x  a предел, равныйчислу А тогда и только тогда, когда для любой окрестности V(A) точки Асуществует проколотая окрестность U (a) точки а U (a)  W (a)  такая,56что f (U (a))  V ( A) f (U (a)) , или, равносильно, такая, что для любогоx U (a) f ( x )  V( A ) . С помощью логических символов это определениезаписывается так:  V (A)  U (a) x  U (a ) f ( x)  V ( A)Данное определение называется определением предела по Коши.В этом определении можно вместо произвольной V(A) рассматривать ( a ) - проколотуюV  (A) при произвольном   0 и, соответственно, вместо Uокрестность U  (a) .

Тогда оно примет вид: V (A)  U (a) (a) x U  (a) f ( x)  V ( A) .Вспоминая, что условие x  U  ( a) равносильно неравенствам0  x  a   , а условие f ( x ) V  (A) равносильно условию f ( x )  A   ,получаем равносильную определению 13.1 запись определения предела на"языке    ":    0    0 x 0  x  a   f ( x )  A  Теорема 13.1. Если предел функции f (x) приx  a существует, то он единственен, т.е. lim f ( x)  A1 ,xalim f ( x)  A2 , то A1  A2 .xaДоказательство. Пусть снова функция f (x ) имеет при x  a двапредела, A1 и A2 . Тогда, применяя определения предела при x  a получаем,что для  A2  A12существуют числа  1 и  2 такие, что при 0  x  a   1выполняется неравенство f ( x)  A1 неравенство f ( x)  A2 A2  A12A2  A12, а при 0  x  a   2 выполняется. Тогда положим   min( 1 ,  2 ) и потребуем,чтобы 0  x  a   .

При этомA2  A1  A2  f ( x )  f ( x)  A1  A2  f ( x)  f ( x )  A1  f ( x)  A2  f ( x )  A1 A2  A12A2  A12 A2  A157Полученное противоречие доказывает теорему.Определение 13.2. Функция (x) - бесконечно малая при x  a , еслиlim ( x )  0 .x aТеорема 13.2.f ( x)  A   ( x) ,lim f ( x)  Axaтогда и только тогда, когдагде  (x) - бесконечно малая приx  a функция.Доказательство.

Обозначим ( x)  f ( x)  A . Условие lim f ( x)  Axaравносильно тому, что    0    0 x 0  x  a   f ( x )  A   , чторавносильно условию    0    0 x 0  x  a    ( x )   , что, в своюочередь, означает, что  (x) - бесконечно малая при x  a .Определение 13.4.

Функция  (x ) называется ограниченной при x  a ,если она ограничена в некоторой U (a) , т.е. если c :  x  U (a) ( x )  c .Теорема 13.3. (Свойства бесконечно малых)1. Если  1 ( x) и  2 ( x) - бесконечно малые при x  a , то алгебраическаясумма - 1 ( x)   2 ( x) тоже бесконечно малая приx a;2. Если  (x) - бесконечно малая и  (x) - ограниченная при x  a , топроизведение  ( x)   ( x) есть бесконечно малая при x  a ;3.

Если  1 ( x) и  2 ( x) - бесконечно малые при x  a , то произведение  2 ( x)   2 ( x) тоже бесконечно малая при x  a .Доказательство. Доказательство проводим для случая бесконечномалых функций.1.Зафиксируем произвольное   0 и рассмотримопределению предела,2 2  0 x : 0  x  a   2  2 ( x) 2Обозначив   min( 1 ,  2 ) , получаем:a1 0  x  a   120 xa  0xa2a2 2 1  0 x : 0  x  a   1  1 ( x) .

Тогда, по58По свойству модулей: c  d  c  d , обозначив c  a1 ( x), d  a2 ( x) получаем: 1 ( x)   2 ( x)   1 ( x)   2 ( x )     . Таким образом,2 2  0   0 x : 0  x  a   1 ( x )   2 ( x )   , т.е. 1 ( x)   2 ( x) - бесконечно малая.2. (x ) - ограничена при x  a т.е.