В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (первый семестр)

1МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТим. М.В. ЛОМОНОСОВАХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТПОСОБИЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯСТУДЕНТОВ ОБЩЕГО ПОТОКАПЕРВЫЙ СЕМЕСТРЛЕКТОР – ПРОФ. ЧИРСКИЙ В.Г.МОСКВА -20082Уважаемый читатель!Это пособие написано на основе тех лекций, которые я прочитал впервом семестре 2008 года студентам первого курса.

Цель его написания– облегчить процесс подготовки к экзамену, оно поможет привести в системуВаши знания. Поэтому в пособие включён не весь лекционный материал, алишь та его часть, которая вошла в экзаменационные билеты и,следовательно, оно не является полной заменой Вашему собственномуконспекту.Обращу Ваше внимание на то, что предыдущие версии якобы«конспекта моих лекций» содержат вопиющие ошибки. Таких «лекций» я нечитал. «Конспектов» тем более не писал. Те, кто рискнут по ним готовиться кэкзамену – смелые, но безответственные люди.Конечно, этот текст тоже может содержать опечатки. Я будублагодарен всем, кто отметит их, или выскажет другие замечания.В заключение выражаю искреннюю благодарность Вашим коллегам,студентам 1 курса 2006г О.

Степановой, П. Рудаковской, Е. Гаранину, А.Климову,В. Пичужкину, А. Плеханову, которые помогли в подготовке этого пособия.Также выражаю благодарность старосте первого курса 2008г. Каменеву Е.И.и студентам первого курса 2008г. Денисову С.С. и Яско И.С.

за редакцию ивнесение изменений в работу предшественников.С наилучшими пожеланиямиВаш лектор В.Г. Чирский3Билет 1. Множества и операции над ними1.1.Понятие множестваПонятиямножества и его элемента относятся к числу первичных,неопределяемых понятий математики. К таким же понятиям относятся точка,прямая линия и др.

Вместо определения такого понятия приходитсяобходиться его описанием. Создатель теории множеств Георг Кантор в 1872году описал понятие множества, как «объединения в одно целое объектов,хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью».Мы будем говорить, что определено некоторое множество М объектов,если указан признак, который позволяет относительно каждого предмета хсказать, принадлежит ли этот предмет множеству М, или нет.Элементы множеств в дальнейшем будем записывать строчнымилатинскими буквами, сами множества – прописными. Обозначение a  Aиспользуется, как краткая запись утверждения: а есть элемент множества А,или: а принадлежит А. Аналогично,обозначение a  A используется, каккраткая запись утверждения: а не является элементом множества А, или: ане принадлежит А.

Множество, не имеющее элементов, называется пустым иобозначается  .Укажем ряд способов задания множеств. Во-первых, можно простоперечислить все элементы множества, если этих элементов – конечное число,т.е. если множество конечное. Например, множество, состоящее из двухчисел, 0 и 1. В этом случае используется обозначение{0,1}.

Дляпроизвольного конечного множества, например, состоящего из различныхэлементов {a1,…am}, используется обозначение {a1,…am},. Подчеркнём, что вэтом обозначении множества элементы a1,…am, должны быть различными,однако они могут быть перечислены в произвольном порядке, например,{1,2,3,4} и {2,1,4,3} - различные обозначения одного и того же множества.4Можно также указать свойство, которому удовлетворяют элементырассматриваемого множества. Например, множество действительных чисел,больших 5.

Обозначим его {x|x > 5}.Некоторые множества определяются с помощью указания способапоследовательного построения его элементов. Например,x1=1, xn=nxn-1, n=2,3,…Новые множества можно получать и в результате операций надзаданными множествами.НаиболеечастоунасбудутрассматриватьсямножествоRдействительных чисел, множество N натуральных чисел, множество Z целыхчисел, множество Q рациональных чисел.1.2.ПодмножестваВажный способ задания множества – выделение его, как частинекоторого основного множества.

Основное множество образуется всемиэлементами какого-нибудь определённого типа. Например, множество целыхчисел, множество простых чисел и т.п.В качестве примера рассмотрим основное множество целых чисел ивыберем в нём те числа, которые делятся на 2, т.е.

чётные числа. Мыполучилимножество чётных чисел, которое является подмножествомосновного множества целых чисел.В общем случае, если все элементы множества А являются такжеэлементами множества B , то мы говорим, что А есть подмножество B , илиА включено в B , и обозначаем это так: A  B .Если оказалось, что одновременно A  B и B  A , то эти множестваназываются равными, что обозначается A  B .Проще говоря, равныемножества состоят из одних и тех же элементов.Из того, что A  B иB  C следует, что B  C (т.е. отношениевключения множеств является транзитивным.

Понятие отношения и егосвойства будут подробнее описаны в билете 2).51.3.Операции над множествамиПусть задано некоторое основное множество M и его подмножества Aи B.Определение 1.1. Объединение A  B этих множеств определяется, какподмножество множества M , состоящее из элементов, входящих хотя бы водно из множеств A и B .Определение 1.2. Пересечение A  B этих множеств определяется, какподмножество множестваM,состоящее из элементов, одновременновходящих как в множество A , так и в множество B .Определение 1.3. ДополнениеCA множества A определяется, какподмножество множества M , не содержащее элементов множества A .Перечислим некоторые свойства операций над множествами.A  B  B  A, A  B  B  A, A  B   C  A  ( B  C ),  A  B   C  A  ( B  C ),A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ), A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ),C( A  B )  C A  C B, C ( A  B )  C A  C B,A  A  A, A  A  A, A  M  M , A  M  A,A    A, A    ,C  M , C M  , C ( C A)  A,.

A  C A  M , A  C A  , .В качестве примера докажем свойствоC( A  B)  C A  C B . Для этогозаметим, что условие x  C ( A  B) равносильно тому, что x  A  B . Это, в своюочередь, равносильно тому, что x  A и x  B , т.е. x  C A  C B . Свойстводоказано.Это утверждение, вместе с утверждениемС( A  B)  C A  C B , называюттеоремами де Моргана.

Доказательства остальных свойств ещё проще и мыих опускаем.6Билет 2. Декартово произведение множеств. Бинарныеотношения.2.1.Декартово произведение множествОпределение 2.1. Пусть даны два множества , A и B . Образуеммножество упорядоченных пар элементов, у которых первый элементпринадлежит A , а второй - B . Полученное множество называетсядекартовым произведением множеств A и B и обозначается A  B .Перечислим некоторые простейшие свойства декартова произведения.Если A  C , B  D , то ( A  B )  (C  D ) ;A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ) .Отметим, что A  B  B  A тогда и только тогда, когда A  B .2.2.Бинарные отношенияОпределение 2.2.

Любое подмножество R множества A  Bназывается бинарным отношением.Изучим понятие бинарного отношения более подробно, так как оноявляется важным не только для математического анализа, но и длякомпьютерной математики.Задавать бинарные соотношения конечных множеств можно, например,с помощью таблиц. Например, пусть A  {1, 2,3}, B  {1, 2,3, 4,5, 6} . Зададимотношение R  A  B свойством: пара ( x, y ), x  A, y  B принадлежитотношению R тогда и только тогда, когда x есть делитель y . Отношение R ,таким образом, состоит из пар: (1,1), (1, 2), (1,3), (1, 4), (1,5), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 6).Изобразим это отношение следующим образом.

Проведём три прямые,соответствующие трём элементам множества A . Проведём шестьперпендикулярных им прямых, соответствующих элементам множества B .Отметим жирной точкой те точки пересечения этих прямых, которыесоответствуют отношению R .(рис.1)7 111111 010101 001001Рис.1Рис.2Рис.3Другой способ задания бинарного отношения – использование стрелок.Элементы A и B изображаются в виде точек плоскости. Стрелкамисоединены те, и только те элементы x  A, y  B , для которых ( x, y )  R .(рис.2)Это же бинарное отношение можно задать матрицей, состоящей из 0 и1.

Её строки соответствуют элементам множества A , столбцы – элементаммножества B . Элемент этой матрицы равен 1 тогда и только тогда, когда онстоит на пересечении строки и столбца, соответствующих паре x  A, y  B ,для которой ( x, y )  R .Определение 2.3. Элемент a называется проекцией элементаa  (a, b)  A  B на множество A . Для произвольного подмножества E  A  Bего проекцией на A называется множество, состоящее из проекций на Aвсех элементов множества E .Определение 2.4.

Сечением x  a множества E называется множествоE ( a ) элементов y  B , для которых ( a, y )  E . Множество сечений отношенияE называется фактормножеством B по отношению E и обозначается B E .Так как отношения представляют собой множества, к ним можноприменить операции, определённые в предыдущем параграфе. Но кроме этихопераций есть ещё важные операции композиции и симметризации.Пусть даны множества A, B, C и отношения E  A  B, G  B  C .8Определение 2.5. Композиция отношений E , G - это отношение GEмежду элементами множеств A и C такое, что для всех x  A сечениемножества GE по x совпадает с сечением множества G по подмножествуE ( x)  B , т.е. (GE )( x)  G ( E ( x )) .Если даны две пары отношений E  A  B , D  A  B и G  B  C , F  B  C ,причём E  D и G  F , то операция композиции обладает следующимсвойством: EG  DF .Определение 2.6.

Отношение, симметричное к некоторому отношениюE  A  B и обозначаемое E 1 , представляет собой подмножество множестваB  A , образованное теми парами ( y , x)  B  A , для которых( x, y )  E . ЕслиE  A  B и G  B  C , то ( EG ) 1  G 1 E 1 .Предположим, что задано некоторое основное множество M .Отношение E  M  M называется отношением эквивалентности, если онообладает такими свойствами:1. Рефлексивностью: всякий элемент a эквивалентен самому себе.Иными словами, для любого a  M пара (a, a)  E .2. Симметричностью: для любых двух элементов a, b  M из того, что aэквивалентен b следует, что b эквивалентен a . Другими словами, если( a, b)  E , то (b, a)  E .

Это означает, что отношение E совпадает со своимобратным, E 1 .3. Транзитивностью: если a эквивалентен b , а b эквивалентен c , то aэквивалентен c . Иначе говоря, если (a, b)  E и (b, c )  E , то (a, c)  E .Очень часто отношение эквивалентности элементов a, b  Mобозначается так: a b .Важным понятием является понятие класса эквивалентности. Класс эквивалентностиэлемента a  M состоит из всех элементов b  M , эквивалентных элементу a . Длянеэквивалентных элементов их классы эквивалентности не пересекаются. Множество классовэквивалентности называется фактормножеством множества M по отношению E иобозначается M / E .