В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (первый семестр), страница 5

Таким образом, число a   a будет являться приближением длячисла A по недостатку, а число a   a будет являться приближением для числа A поизбытку. Неравенства a   a  A  a   a часто кратко записывают так: A  a   a . Ониозначают, что число A находится на интервале длины 2 a с центром в точке a .26Разумеется, если    a , то из приближённого равенства A  a   a следует менее точноеприближённое равенство A  a   .Число a , т.е.

точность приближения, выбирается, в основном, исходя изпотребностей решаемой задачи. Это означает, что одно и то же число может бытьприближено с различной точностью (примеры будут даны ниже). Таким образом, частовместо точного значения действительного числа A мы рассматриваем совокупность егоразличных приближённых значений с различными заданными точностями.Определение 7.2. Ещё одна важная характеристика качества приближения –относительная погрешность  приближённого числа a .

По определению, эта величинаравна  AaA.В тех случаях, когда точное значение числа A нам неизвестно, невозможно дать иточное значение числа  . Тогда, как и выше, следует получить оценку сверху дляотносительной погрешности, исходя из оценки сверху для абсолютной погрешности.Например, при условиях A  0, a  o, a   a справедлива такая оценка:    a 7.2.a.a  aДесятичная запись приближенных чиселИз курса средней школы известно, что всякое рациональное число можнопредставить в виде конечной или периодической бесконечной десятичной дроби.Остальные действительные числа (т.е.

иррациональные числа) изображаютсябесконечными непериодическими десятичными дробями.Однако на практике действия с бесконечными дробями приходится заменятьдействиями с конечными десятичными дробями, служащими приближениями длярассматриваемых чисел, т.е. с числами вида a или a , гдеa  am10m  am110m 1  ...  am n 110 m n 1 , am  0 и ai , i  m  n  1,..., m - десятичные цифры.Определение 7.3. В этом представлении числа a значащими цифрами называютсявсе отличные от нуля цифры, все те равные нулю цифры, которые содержатся междуотличными от нуля значащими цифрами, а также равные нулю цифры, необходимые дляобозначения десятичных разрядов целого числа.

Говорят, что n значащих цифрприближённого числа являются верными, если абсолютная погрешность этогоприближённого числа a не превышает половины единицы разряда, выражаемого n -ойзначащей цифрой, считая слева направо.27Таким образом, если для приближённого числа a , заменяющего точное число A ,1известно, что выполняется неравенство A  a  10m n 1 , то, по определению, первые n2значащих цифр этого числа являются верными.Здесь будут уместно следующее замечание.

Во многих случаях верные знакиприближающего числа совпадают с соответствующими цифрами точного числа,например, для точного числа A  411, 23 приближённое число a  411, 20 имеет четыреверных знака, так как A  a  0, 03 10,1 , причём эти знаки совпадают со знаками2точного числа, но для точного числа A  37, 28 приближённое число a  37,30 имеет триверных знака, так как A  a  0, 02 A  100, a  99,9, A  a  0,1 10,1 , а совпадают только две цифры. В примере21у приближённого числа имеется два верных знака, ни2один из которых не совпадает со знаками исходного числа.Рассмотрим такой интересный пример.

Первым приближением, известным ещёАрхимеду в III веке до н.э. для числа  , равного отношению длины окружности к еёдиаметру, служит числополучаем, что  22 3,142857... . Зная разложение числа   3,1415926... ,722 0,0013  0,5  10  2 , что означает, по определению, что три7значащих цифры этого приближённого значения числа  являются верными.Адриан Меций, голландский геометр XVI века, предложил для приближения число355; это число легко запомнить по правилу: написав по два раза нечётные цифры1131,1,3,3,5,5, следует последние три взять цифрами числителя, а первые три - знаменателя.Так как355 3,1415929...

, а, как отмечалось выше,   3,1415926... , то113355355 5 10 7 и приближённое значениедля числа  имеет 7 верных знаков.113113Важным направлением развития современной вычислительной математики являются разработка иреализация алгоритмов, дающих огромные количества верных знаков в десятичном разложении числа.В122002 году их было известно уже 1, 24  10 ! Разумеется, такие вычисления не являются самоцелью илидемонстрацией вычислительных возможностей современных компьютеров. Знание такого большогоколичества десятичных знаков числапредоставляет, огромный выбор псевдослучайных чисел, широко28применяемых при вероятностных расчётах и др. (Интересно, что среди первого миллиона цифр вседесятичные цифры встречаются примерно с одинаковой частотой).7.3.Правила округления чиселОкругление точного или приближённого числа состоит в замене его числом сменьшим количеством значащих цифр.

Действительно, точность приближенияопределяется не всеми значащими цифрами, а только верными.Обычно используют такое практическое правило: при выполнении приближённыхвычислений число значащих цифр промежуточных результатов число не должнопревосходить числа верных цифр более чем на две единицы.Чтобы округлить число до n значащих цифр все его цифры, расположенные правееn -ой значащей цифры либо отбрасывают, либо заменяют нулями в случае, когда этонеобходимо для сохранения разрядов целого числа.

Кроме того, если первая изотброшенных цифр меньше 5, то предыдущие разряды не меняются. Если первая изотброшенных цифр больше пяти, то к последней оставшейся цифре прибавляют единицу.Если первая из отброшенных цифр равна пяти, причём среди остальных отброшенныхцифр есть не равные нулю, то к последней оставшейся цифре прибавляют единицу. Еслипервая из отброшенных цифр равна пяти, причём все остальные отброшенные цифрыравны нулю, то к последней оставшейся цифре добавляют единицу, если она нечётная ине меняют её, если она чётная. Приведём примеры округления до трёх значащих цифр:123456789=123000000, 34,567=34,6, 12,2500=12,2 35000=12,4Можно доказать следующее утверждение:Теорема 7.1.

Если положительное приближённое числоa  am10m  am110m 1  ...  am n 110 m n 1 , am  0имеетзнаков, то относительная погрешностьпревосходит величины nверных десятичныхэтого числа не10,1n 1 .am1Доказательство. По определению,  a  A  a  10 m n 1 . Значит,21111  11A  a  10 m  n1  a m 10 m  10 m  n1  10 m  2a m  n1   10 m 2a m  1  a m 10 m и222210  21 m n 1 a 2 101(0,1) n 1 , что и требовалось доказать.1Aam10 m am229С помощью этого утверждения можно решать, например, такие задачи.Задача.

Оценить относительную погрешность замены числа  числом 3,14 .1 10 2 . (На самом деле в этом примере можно дать и30, 0016 0, 00051 ).более точную оценку, так как мы знаем, что   3,14  0, 0016 и3,14Решение. am  3, n  3 , поэтому  Задача. Сколько десятичных знаков числа22 следует взять, чтобыотносительная погрешность вычисления не превышала 0, 001 .Решение. Первая цифра этого числа, очевидно, равна 4. Для того, чтобы1выполнялась оценка   10  n 1  0, 001 , достаточно взять n  4 .47.4.Погрешности арифметических действийТеорема 7.2.

Абсолютная погрешность алгебраической суммынескольких приближённых чисел не превышает суммы абсолютныхпогрешностей слагаемых.Доказательство. Пусть A1 ,..., Ak - точные значения, a1 ,..., ak - приближающие ихчисла. Тогда ( A1  ...  Ak )  (a1  ...  ak )  A1  a1  ...  Ak  ak , по свойству 2 абсолютнойвеличины, что и требовалось доказать.Это утверждение означает, что  a1 ... ak   a1  ...   ak . Поэтому обычно правуючасть этого неравенства и принимают за оценку абсолютной погрешности суммы.

Такимобразом, абсолютная погрешность суммы оказывается не меньше, чем наибольшая изабсолютных погрешностей слагаемых. Следовательно, не имеет смысла сохранятьизлишние знаки и в более точных слагаемых.Итак, при сложении приближённых чисел используется такое простое правило. Вопервых, следует найти числа, десятичная запись которых содержит наименьшееколичество знаков после запятой. Остальные числа округлить так же, как найденныевыше, взяв ещё один лишний знак. Произвести сложение полученных округлённых чисели округлить результат.Сложим, для примера, числа 2,173  0, 0005, 0,11  0, 005, 43,1244  0, 00005. Ясно,что точность вычисления определяется вторым слагаемым.

Поэтому, в соответствии свыписанным выше правилом, сохраним первое и второе числа и округлим третьеследующим образом: 43,124  0, 0005 . Тогда первое и третье слагаемые дадут в сумме3045, 297  0, 001 . Добавление второго слагаемого приведёт к 45, 41  0, 0051 .